根據(jù)方程函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型

如何認(rèn)識(shí)和把握模型思想---以方程、不等式和函數(shù)為例綦春霞北京師范大學(xué)教育學(xué)部本講目錄一、如何把握《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的模型思想二、幾種典型的模型思想舉例方程與不等式、函數(shù)三、教學(xué)中如何滲透模型思想一、如何把握《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的模型思想史寧中：通過(guò)抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。四基中的基本數(shù)學(xué)思想---抽象、推理、模型核心關(guān)鍵詞：模型思想模型思想的含義數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型思想的意義及流程

“模型思想”的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)?！睌?shù)學(xué)建模的流程二、幾種典型的模型思想舉例1、方程與不等式價(jià)值及其內(nèi)容通過(guò)方程與不等式的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成建模思想，發(fā)展他們的化歸能力，同時(shí)對(duì)后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)也有重要的作用.一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組（選學(xué)）一元二次方程、可化為一元一次方程的分式方程、一元一次不等式（組）.2、方程與不等式內(nèi)容的變化在方程部分變化的內(nèi)容如下：（1）與實(shí)驗(yàn)稿相比，有些內(nèi)容適當(dāng)增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但作為選學(xué)內(nèi)容.（2）三元一次方程組作為選學(xué)內(nèi)容.（3）一元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過(guò)兩個(gè).

在不等式部分變化的內(nèi)容為：

（4）強(qiáng)調(diào)結(jié)合具體問(wèn)題，在具體情境中探索不等式的意義.而且增加了過(guò)程目標(biāo)“探索”

，要求對(duì)于不等式組解的幾何意義的理解.（5）刪除了一元一次不等式組的應(yīng)用.3、方程模型舉例

方程作為生活中的模型，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如存貸問(wèn)題、打折銷(xiāo)售、盈虧問(wèn)題、工程問(wèn)題、平均增長(zhǎng)率問(wèn)題、人員調(diào)配等問(wèn)題。我們往往給予學(xué)生的是把模型建立起來(lái)，讓學(xué)生去解它，而對(duì)于如何建立是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn),也是一個(gè)重點(diǎn)。見(jiàn)案例1、案例2、案例3案例1—一元一次方程模型一家商店將某種服裝按成木價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣(mài)出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元?案例2：二元一次方程組《孫子算經(jīng)》下卷第31題“雉兔同籠”題為:“今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問(wèn)雉兔各幾何?”案例3—一元二次方程

一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米。如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米4、不等式模型舉例不等式（組）模型。

是一種數(shù)量間大小關(guān)系的模型。如在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中，估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量、核定價(jià)格范圍、盈虧平衡分析、投資決策等，則可挖掘?qū)嶋H問(wèn)題所隱含的數(shù)據(jù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解。案例4：不等式小麗去文具店買(mǎi)鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢(qián)，能買(mǎi)幾支鉛筆、幾塊橡皮？

這是一個(gè)求整數(shù)解的不等式問(wèn)題，并且問(wèn)題是開(kāi)放的，通過(guò)列表具體計(jì)算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。5、函數(shù)的價(jià)值及其內(nèi)容（1）價(jià)值常量數(shù)學(xué)---變量數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)直觀（2）內(nèi)容及其重點(diǎn)函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).重點(diǎn)是在現(xiàn)實(shí)的情境中理解函數(shù)概念，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)多種表示之間的聯(lián)系，突出函數(shù)的圖象功能及其意義，在實(shí)際問(wèn)題中研究函數(shù)的自變量取值范圍.6、函數(shù)內(nèi)容的變化（1）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.如要求“結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式.”（2）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.（3）強(qiáng)調(diào)對(duì)于一次函數(shù)圖象變化的探索.例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖象的變化情況.”

（4）強(qiáng)調(diào)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義.（5）突出反比例函數(shù)的圖象功能.能畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式

(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖象的變化情況.（6）強(qiáng)調(diào)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.如要求在實(shí)際問(wèn)題中分析體會(huì)二次函數(shù)的意義，并運(yùn)用于實(shí)際，在實(shí)際問(wèn)題中考慮自變量的取值范圍.7、函數(shù)模型舉例案例5：這些函數(shù)在刻畫(huà)什么？案例6設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存.如果存款額是100元，那么請(qǐng)你寫(xiě)出兩年后的本息和Y(元)的表達(dá)式(不考慮利息稅).

三、教學(xué)中如何滲透模型思想

1、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貼近學(xué)生的生活（見(jiàn)案例7）2、讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用、拓展”的數(shù)學(xué)活動(dòng)（見(jiàn)案例8）3、教學(xué)中要把握好模型內(nèi)容的要求。（案例9）4、借助于多種方式和手段，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模搭建平臺(tái)。（案例10—幾何畫(huà)板）1、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貼近學(xué)生的生活例如商場(chǎng)購(gòu)物遇到打折問(wèn)題，怎樣消費(fèi)才合算；家庭的教育儲(chǔ)蓄利率問(wèn)題，以怎樣的方式儲(chǔ)蓄能增加收入；家里的電話費(fèi)、水費(fèi)、電費(fèi)問(wèn)題，又是如何計(jì)算出來(lái)的；乘出租車(chē)問(wèn)題，如何知道所付的錢(qián)的多少以及行使的里程；決策方案問(wèn)題；有獎(jiǎng)銷(xiāo)售問(wèn)題等等，都是學(xué)生身邊的事，容易引起學(xué)生的探索興趣。案例7--案例1.doc

案例7一輛賽車(chē)在一個(gè)周長(zhǎng)為3千米的封閉跑道上高速行駛.下圖反映了它在整個(gè)第一圈的行駛過(guò)程中速度與行駛路程之間的關(guān)系:

2、教學(xué)中要把握好模型內(nèi)容的要求。按照《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求來(lái)進(jìn)行方程、不等式與函數(shù)的教學(xué)。比如一次函數(shù)中要求“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k?0和k?0時(shí)，圖象的變化情況”案例8，案例9案例8案例9：圖1是一個(gè)移動(dòng)步行道(moving-walkway)，圖2是一個(gè)人在平地上行走和在移動(dòng)步行道上行走時(shí)的圖象表示，假設(shè)移動(dòng)步行道的速度不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出該人站立在此移動(dòng)步行道上時(shí)的圖象。3、借助于多種方式和手段，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模搭建平臺(tái)。綜合實(shí)踐活動(dòng)中的課題研究；實(shí)踐活動(dòng)計(jì)算機(jī)支持下的學(xué)習(xí)，見(jiàn)案例10案例10IMG_2574.MOV

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IMG_2582.MOV00—3：40，操場(chǎng)中去活動(dòng)、拍照、測(cè)量，在這個(gè)過(guò)程中，體驗(yàn)一些可能用到的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)（半徑、半圓、弧長(zhǎng)、周長(zhǎng)、直角三角形邊長(zhǎng)）3：40-11：30，回到教室用計(jì)算機(jī)去處理，抽取其中可能的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中不斷去提煉、討論、交流11：30-14：00數(shù)學(xué)化，主要是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的表示方面。

4、讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用、拓展”的數(shù)學(xué)活動(dòng)

“問(wèn)題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用、拓展”方式展開(kāi)的，這個(gè)活動(dòng)呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，通過(guò)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)歷，不僅綜合了他們的知識(shí)，而且提升他們提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。見(jiàn)案例11、案例12案例11：---街燈

一個(gè)城鎮(zhèn)的理事會(huì)決定在一個(gè)三角形狀的小公園設(shè)一盞街燈，使得它能照亮整個(gè)公園，街燈應(yīng)設(shè)在哪里?

這個(gè)問(wèn)題的解決可以用一個(gè)數(shù)學(xué)家稱(chēng)為“數(shù)學(xué)化”的策略來(lái)解決，數(shù)學(xué)化有五個(gè)特征(步驟):①?gòu)囊粋€(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境開(kāi)始:確定一個(gè)公園里街燈的位置。②根據(jù)數(shù)學(xué)概念組織:公園可以表示成一個(gè)三角形，一盞燈的照明表示成以街燈為圓心的圓。③推斷問(wèn)題哪些特征是重要的，然后歸納、形式化(就是提煉現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)特征，把現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化成為表示情境的數(shù)學(xué)問(wèn)題)，這樣得到:確定一個(gè)三角形外接圓的圓心。④解數(shù)學(xué)問(wèn)題:根據(jù)三角形外接圓的圓心就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，構(gòu)造三角形任兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)就是圓心。