2022年河南省開封市第三十中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年河南省開封市第三十中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的實(shí)部是（

）

A．

B．

C．

D．．參考答案：B略2.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},則(ＣＵA)∪B為()A.{1,2,4} B.{2,3,4}C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}參考答案：C略3.在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（）A．b=10，A=45°，C=70° B．a(chǎn)=60，c=48，B=60°C．a(chǎn)=7，b=5，A=80° D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】A、由A和C的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，再由b的值，利用正弦定理求出a與c，得到此時(shí)三角形只有一解，不合題意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，得到b2小于0，無解，此時(shí)三角形無解，不合題意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此時(shí)B只有一解，不合題意；D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此時(shí)B有兩解，符合題意．【解答】解：A、∵A=45°，C=70°，∴B=65°，又b=10，∴由正弦定理==得：a==，c=，此時(shí)三角形只有一解，不合題意；B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024＞0，∴此時(shí)三角形有一解，不合題意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理=得：sinB=，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合題意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理=得：sinB==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有兩解，符合題意，故選D4.已知是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則中點(diǎn)到直線距離的最小值是（

）A．8

B．9

C．10

D．7參考答案：B5.右圖所示的算法流程圖中，輸出的S表達(dá)式為（

）A．

B．C．

D

參考答案：A6.定積分等于

A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c滿足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，則c＝()A．(2,1)

B．(1,0) C.

D．(0，－1)參考答案：A8.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)(

)A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線對稱參考答案：A【分析】由題意可得z1，z2的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z1，Z2的關(guān)系即可得解．【詳解】復(fù)數(shù)滿足，可得z1，z2的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S﹣ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S﹣ABC的體積為V，則R=（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】類比推理．【分析】根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．【解答】解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．則四面體的體積為∴R=故選C．10.有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是（

）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為． 參考答案：（0，1]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)題意，先求函數(shù)的定義域，進(jìn)而求得其導(dǎo)數(shù)，即y′=x﹣=，令其導(dǎo)數(shù)小于等于0，可得≤0，結(jié)合函數(shù)的定義域，解可得答案． 【解答】解：對于函數(shù)，易得其定義域?yàn)閧x|x＞0}， y′=x﹣=， 令≤0， 又由x＞0，則≤0?x2﹣1≤0，且x＞0； 解可得0＜x≤1， 即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]， 故答案為（0，1] 【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意首先應(yīng)求函數(shù)的定義域． 12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于

．參考答案：0.36.

13.在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式

.參考答案：14.將三項(xiàng)式（x2+x+1）n展開，當(dāng)n=0，1，2，3，…時(shí)，得到以下等式：

（x2+x+1）0=1

（x2+x+1）1=x2+x+1

（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1

（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

…

觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù)．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項(xiàng)的系數(shù)為67，則實(shí)數(shù)a值為________．

參考答案：

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理【解答】解：由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，

所以（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項(xiàng)的系數(shù)為15+30a=67，

所以a=．

故答案為：．

【分析】由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項(xiàng)的系數(shù)為15+30a=75，即可求出實(shí)數(shù)a的值．

15.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且其中一條漸近線為y=x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方程，求出a，b，即可得到雙曲線方程．【解答】解：雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)（，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，雙曲線的一條漸近線為，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求雙曲線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計(jì)算能力．16.長為（）的線段AB的兩端在拋物線上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于________。

參考答案：

17.已知，則=____________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，正三棱柱的側(cè)棱為2，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；

(2)證明：平面平面；

(3)求三棱錐的體積．參考答案：（1）證明：連接，則，且∴四邊形是平行四邊形，,∵平面，平面∴平面（2）證明：∵是等邊三角形∴∵平面，平面∴∵∴平面∵平面∴平面平面（3）解：，三棱錐的體積分ks5u

略19.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分別是AC、BB1的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：BD∥平面AEC1；（Ⅱ）若這個(gè)三棱柱的底面是等邊三角形，側(cè)面都是正方形，求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（Ⅱ）取、的中點(diǎn)、，連接、，證明出平面以及，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)為，連接、.、分別為、的中點(diǎn)，，且，為的中點(diǎn)，且.

且，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面；（Ⅱ）解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，為等邊三角形，∴側(cè)面都是正方形，，，、平面且，平面，平面，，，平面.取中點(diǎn)為，連接，則.以為原點(diǎn)，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，取平面的法向量為.則，結(jié)合圖形可知，二面角為銳角，其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角的求解，證明直線與平面平行，常用以下三種方法：①利用中位線平行證明線線平行；②證明四邊形為平行四邊形，利用對邊平行得出線線平行；③證明面面平行，由面面平行得出線面平行.20.（本小題滿分12分）設(shè)為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（Ⅰ），∴∴

-----------------------2分∴

-----------------------3分對于令可得，解得----------------5分∴

-----------------------6分（Ⅱ）

-----------------------7分①②

-----------------------8分①-②得-----------------------10分∴

-----------------------12分21.（10分）在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值

參考答案：略22.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足（1）求的取值范圍；（2）求z=x2+y2的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】（1）先根據(jù)約束條件畫出可行域，根據(jù)的幾何意義求最值，（2）根據(jù)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，即可求出最值．【解答】解：（1）滿足y滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1）