第三章行波法與積分變換法

第三章行波法與積分變換法第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式

行波法

第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時(shí)，代表以速度a沿x

軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式5達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法6相關(guān)概念第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四7非齊次問(wèn)題的處理(齊次化原理)利用疊加原理將問(wèn)題進(jìn)行分解：第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四利用齊次化原理，若滿足：則：令：第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四從而原問(wèn)題的解為第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四特征方程第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1解定解問(wèn)題解第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2求解解：特征方程為令：第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3求解Goursat問(wèn)題解：令第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四 思考題：求解如下定解問(wèn)題第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四二積分變換法1傅立葉變換法傅立葉變換的性質(zhì)微分性位移性積分性相似性傅立葉變換的定義偏微分方程變常微分方程第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四2拉普拉斯變換法拉普拉斯變換的性質(zhì)微分性相似性拉普拉斯變換的定義偏微分方程變常微分方程第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例4解定解問(wèn)題解：對(duì)x求傅氏變換對(duì)t求拉氏變換第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例5解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換對(duì)x求傅氏變換第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例6

求方程

滿足邊界條件，的解。解法一：第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解法二：對(duì)y求拉氏變換第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例7解定解問(wèn)題解：對(duì)t取拉氏變換x取傅立葉變換其中第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四3積分變換法求解問(wèn)題的步驟對(duì)方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虒?duì)定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件對(duì)常微分方程，求原定解條件解的變換式對(duì)解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問(wèn)題的解4積分變換法求解問(wèn)題的注意事項(xiàng)如何選取適當(dāng)?shù)姆e分變換定解條件中那些需要積分變換，那些不需取如何取逆變換思考利用積分變換方法求解問(wèn)題的好處是什么？第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四三.三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四球?qū)ΨQ情形所謂球?qū)ΨQ是指與無(wú)關(guān)，則波動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四半無(wú)界問(wèn)題第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四這是關(guān)于v=ru的一維半無(wú)界波動(dòng)方程.第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般情形我們利用球平均法。從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學(xué)上看，總希望把高維化為一維情形來(lái)處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。所謂球平均法，即對(duì)空間任一點(diǎn)（x，y，z），考慮u在以（x，y，z）為球心，r為半徑的球面上的平均值其中為球的半徑的方向余弦，第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四如把x,y,z看作參變量，則是r，t的函數(shù)，若能求出，再令則為此把波動(dòng)方程的兩邊在以x，y，z為中心，r為半徑的球體內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得（*1）第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四同時(shí)有由（*1）(*2)可得（*2）關(guān)于r微分，得（*3）利用球面平均值的定義，（*3）可寫(xiě)成（*4）第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四（*4）又可改寫(xiě)為第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四通解為令r＝0，有代入上式，得（*5）關(guān)于r微分，再令r＝0，有（*6）第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四接下來(lái)，求滿足初值的解。對(duì)（*5）關(guān)于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四從而有第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四Poisson公式第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四四.二維波動(dòng)方程如果我們把上述問(wèn)題中的初值視為重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過(guò)程，將會(huì)發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個(gè)變量。降維法：由高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題的解來(lái)求解低維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的方法。由Hadamard最早提出的。第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期四計(jì)算上述曲面積分。由于初始數(shù)據(jù)與第三個(gè)變量無(wú)關(guān)，因