第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

第三節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四道，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，所以如果部分和數(shù)列定義設(shè)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)即則數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；反之，若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，即為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。則稱，若，因而必為單調(diào)增加數(shù)列的部分和數(shù)列有界，則由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則知存在，此時(shí)必有界，由此得到如下定理：第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理二(比較判別法)(1)如果級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)且成立，則有收斂,也收斂;(2)如果級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)發(fā)散,也發(fā)散。和對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理一正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)即“大”的收斂，“小”的一定也收斂即“小”的發(fā)散，“大”的一定也發(fā)散有界。列第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四因此這說明級(jí)數(shù)也發(fā)散。因此對(duì)一切有由定理1可知,也收斂。則有(2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散,(1)如果級(jí)數(shù)則有收斂,級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束都有設(shè)對(duì)一切證:因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨分別表示級(jí)數(shù)和的部分和,則有第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四通俗地說，若一個(gè)級(jí)數(shù)收斂，那么每項(xiàng)都比它小比較判別法需要與一個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)比較，在實(shí)際應(yīng)用中也可以對(duì)級(jí)數(shù)自身相鄰項(xiàng)分析來判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

有時(shí)用比較判別法的極限形式更方便，對(duì)于正項(xiàng)則級(jí)數(shù)有著相同的斂散性。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束項(xiàng)都比它大的那個(gè)級(jí)數(shù)肯定也發(fā)散。的那個(gè)級(jí)數(shù)肯定也收斂；若一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，那么每級(jí)數(shù)和和，若滿足第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四例1.判定調(diào)和級(jí)數(shù)

解:

的斂散性。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四事實(shí)上當(dāng)即調(diào)和級(jí)數(shù)大于一般項(xiàng)為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的正項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)散的。有此外，對(duì)于廣義調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)收斂，=的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。由定理二可得，調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。，也可以證明當(dāng)時(shí)發(fā)散。顯然由于一般項(xiàng)為第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束即故有界，級(jí)數(shù)是收斂的。，，所以有上界，又對(duì)任意n有第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四證明級(jí)數(shù)收斂。證明:因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)滿足例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束而等比級(jí)數(shù)是收斂的，根據(jù)定理二可得，級(jí)數(shù)收斂。第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理三比較判別法(達(dá)浪貝爾判別法)，如果，則（2）當(dāng)（1）當(dāng)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（3）當(dāng)（此時(shí)要用其他方法判定）證明略。時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理四（3）當(dāng)證明略。（1）當(dāng)根值判別法（柯西判別法），設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的一般項(xiàng)（此時(shí)要用其他方法判定）則次根的極限滿足的時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四例3.判定級(jí)數(shù)解利用Mathematica軟件求極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束Out[2]=的斂散性。發(fā)散。由于極限大于１，根據(jù)定理三可得，級(jí)數(shù)第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四由于例4

判別級(jí)數(shù)解

對(duì)于級(jí)數(shù)由于極限小于１，根據(jù)定理三可知，級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性。再根據(jù)定理二可得，級(jí)數(shù)，利用Mathematic軟件求極限收斂。收斂，第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四本節(jié)小結(jié)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法：（1）比較判別法；（2）比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）；（3）根值判別法（柯西判別法）。第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四課堂練習(xí)：習(xí)題10-31.選擇題（1）下列命題正確的是（）；機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束A．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)B．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)必收斂C．若正項(xiàng)級(jí)數(shù)D．若必收斂，則必有，則，則，則級(jí)數(shù)第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題10-31.選擇題（2）下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的是（）.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題10-32.用比較判別法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.用比值判別法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：

第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題10-34.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束