積分變換第講拉普拉斯變換

積分變換第講拉普拉斯變換1第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一拉普拉斯變換2第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一對于一個(gè)函數(shù)j(t),有可能因?yàn)椴粷M足傅氏變換的條件,因而不存在傅氏變換.但是對之進(jìn)行某些處理后，便可進(jìn)行傅氏變換了。

①因此,首先將j(t)乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了；

②而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt(b>0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.

因此,幾乎所有的實(shí)用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在。3第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得5第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一定義設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t0時(shí)有定義,而且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式(簡稱拉氏變換式--單邊拉氏變換),記為

F(s)=L[f(t)]F(s)稱為f(t)的拉氏變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L

-1[F(s)]也可記為f(t)F(s).6第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,而且有7第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).

根據(jù)(2.1)式,有這個(gè)積分在Re(s)>k時(shí)收斂,而且有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)8第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)

2,當(dāng)t時(shí),f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)c1>c上絕對收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).9第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一MMectf(t)tO10第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一證由條件2可知,對于任何t值(0t<),有

|f(t)e-st|=|f(t)|e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-ce>0(即bc+e=c1>c),則

|f(t)e-st|Me-et.

所以根據(jù)含參量廣義積分的性質(zhì)可知,在Re(s)c1>c上拉氏變換的積分不僅絕對收斂而且一致收斂.11第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一在(2.1)式的積分號內(nèi)對s求導(dǎo),則由此可見,上式右端的積分在半平面Re(s)c1>c內(nèi)也是絕對收斂且一致收斂,從而微分與積分可以交換順序。12第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一因此得這就表明,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是可微的.根據(jù)復(fù)變函數(shù)的解析函數(shù)理論可知,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是解析的.13第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例3求f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換14第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一同理可得15第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一G-函數(shù)(gamma函數(shù))簡介,在工程中經(jīng)常應(yīng)用的G-函數(shù)定義為利用分部積分公式可證明16第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例4求冪函數(shù)f(t)=tm(常數(shù)m>-1)的拉氏變換.為求此積分,若令st=u,s為右半平面內(nèi)任一復(fù)數(shù),則得到復(fù)數(shù)的積分變量u.因此,可先考慮積分17第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一積分路線是OB直線段,B對應(yīng)著

sR=rRcosq+jrRsinq,A對應(yīng)著rRcosq,取一很小正數(shù)e,則C對應(yīng)se=recosq+jresinq,

D對應(yīng)recosq.考察R,的情況.qaODCAt(實(shí)軸)虛軸Bv18第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)柯西積分定理,有19第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一20第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一21第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一同理22第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一23第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏變換bOb2b3b4btf(t)24第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一25第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一26第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一對一般周期函數(shù)也成立27第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一滿足拉氏變換存在定理?xiàng)l件的函數(shù)f(t)在t=0處有界時(shí),積分中的下限取0+或0-不會影響其結(jié)果.但如果f(t)在t=0處包含脈沖函數(shù)時(shí),就必須明確指出是0+還是0-,因?yàn)?8第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)f(t)在t=0處有界時(shí),則當(dāng)f(t)在t=0處包含了脈沖函數(shù)時(shí),則29第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一為了考慮這一情況,需將進(jìn)行拉氏變換的函數(shù)f(t),當(dāng)t0時(shí)有定義擴(kuò)大為當(dāng)t>0及t=0的任意一個(gè)鄰域內(nèi)有定義.這樣,原來的拉氏變換的定義但為了書寫方便起見,仍寫成(2.1)式的形式.30第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例6求單位脈沖函數(shù)d(t)的拉氏變換.解：31第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一例7求函數(shù)f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏變換.解：32第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期一在今后的實(shí)際工作中,我們并不要求用廣義積分的方法來求函數(shù)的拉氏變換,有現(xiàn)成的拉氏變換表可查,就如同使用三角函數(shù)表,