初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章圓2直線與圓的位置關(guān)系（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

中物理滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第24章圓24.4.2切線的判定1、直線和圓的位置關(guān)系：知識(shí)回顧

OOOrdrrddABA相交相切相離直線與圓的位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線名稱圓心O到直線的距離d與半徑r的關(guān)系2個(gè)1個(gè)沒(méi)有交點(diǎn)割線切點(diǎn)切線公共點(diǎn)名稱Pd<rd=rd>r0<lll

2、判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：①根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.②根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來(lái)判斷.在實(shí)際應(yīng)用中，常采用第②種方法判定.兩知識(shí)回顧

3、圓的切線具有什么性質(zhì)？∵直線l

是☉O的切線，且A是切點(diǎn)∴

直線l⊥OA切線的性質(zhì)定理：

幾何語(yǔ)言圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．OA連接OA知識(shí)回顧圓中有切線時(shí)常用輔助線添加方法：規(guī)律總結(jié)已知圓的切線時(shí)，即見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直.常常連接圓心和切點(diǎn)，得到與切線垂直的半徑.l4、判定直線與圓相切的方法有哪些？知識(shí)回顧①根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：②根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來(lái)判斷：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。

圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線。

除了這兩種方法以外，我們能不能用其它的方法來(lái)判定一條直線是圓的切線呢？這節(jié)課我們繼續(xù)探索新的判定直線和圓相切的方法.llrd即

d=r相切

Q探究新知

如圖，點(diǎn)P為☉O上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l

與☉O相切，想一想，如何作？能夠作幾條？OP作法：①連接OP；②過(guò)點(diǎn)P作直線l

⊥OP；

則直線l即為所作.思考：1、為什么直線l

即為所作呢？因此，直線l

與☉O只有一個(gè)公共點(diǎn)，由作圖可知，直線l與☉O有一個(gè)公共點(diǎn)P，若取直線l

上除點(diǎn)P之外任意點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ>OP(斜線大于垂線)，所以點(diǎn)Q在圓外.故直線

l

為☉O的切線.l探究新知

如圖，點(diǎn)P為☉O上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線與☉O相切，想一想，如何作？能夠作幾條？OP2、根據(jù)上面的作圖過(guò)程，想一想，滿足什么條件的直線l是☉O的切線？①直線

l

經(jīng)過(guò)半徑OP的外端點(diǎn)P；②

直線l

垂直于半徑OP．作法：①連接OP；②過(guò)點(diǎn)P作直線l

⊥OP；

則直線l

即為所作.思考：1、為什么直線l即為所作呢？則直線l

與⊙O相切由此可以得到：經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.l歸納總結(jié)經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定定理：

利用切線的判定定理判定某條直線是圓的切線，必須滿足

個(gè)條件：知識(shí)拓展：①直線經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)②直線垂直于這條半徑幾何語(yǔ)言：∵

OP是☉O的半徑，∴

直線l

是☉O

的切線OP二者缺一不可兩直線

l

⊥OP于點(diǎn)Pl(1)過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線（）(2)與半徑垂直的直線是圓的切線。（）(3)過(guò)半徑的端點(diǎn)且與該半徑垂直的直線是圓的切線.（）×××

利用切線的判定定理時(shí)，要注意直線必需具備

條件，缺一不可?！?)直徑直徑兩個(gè)①

直線經(jīng)過(guò)半徑外端.②直線與這條半徑垂直.對(duì)應(yīng)練習(xí)1、判斷.

因此只要證OA⊥AC即可.2、已知：如圖，∠ABC=45°，AB是☉O的直徑，AB=AC.求證：AC是☉O的切線.分析：對(duì)應(yīng)練習(xí)因?yàn)橹本€AC經(jīng)過(guò)半徑的一端，∵AB=AC，∠ABC＝45°

∴

∠ACB＝∠ABC＝45°∴

∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°

證明：即OA⊥AC又∵AB是☉O的直徑∴

AC是☉O的切線

判定直線與圓相切的方法有哪些？①根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：②根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來(lái)判斷：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。

圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線。llrd即

d=r相切

歸納總結(jié)切線的判定方法有三種：③切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線必須同時(shí)具備兩個(gè)條件：①

直線經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)②直線垂直于這條半徑二者缺一不可AlO在證明題中，常采用第③種方法判定.連接OC

∵OA＝OB，CA＝CB

∴AB⊥OC又∵

OC是☉O的半徑

∴AB是☉O的切線例1

如圖，AB經(jīng)過(guò)☉O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：AB是☉O的切線.證明：如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，

則連接這點(diǎn)和圓心，半徑，再證所作半徑與這條直線垂直即可.簡(jiǎn)記為：得到輔助方法總結(jié)：有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.

例2

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分線交BC于D，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D.求證：AC與⊙D相切.

ABDC

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC與點(diǎn)F

∵∠B=90°

∴DB⊥AB又∵

AD平分∠BAC

∴

DF=DB

∴

DF為⊙D的半徑

∴

AC與⊙D相切證明：F方法總結(jié)：簡(jiǎn)記為：

如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點(diǎn)，作直線的垂線段，再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng).則過(guò)圓心無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑.ABDCF證明直線是圓的切線通常有

作輔助線的方法：①如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，

則連接這點(diǎn)和圓心，半徑，再證所作半徑與這條直線垂直即可.簡(jiǎn)記為：得到輔助有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.兩種歸納總結(jié)簡(jiǎn)記為：②如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點(diǎn)，作直線的垂線段，再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng).則過(guò)圓心無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑.1、如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點(diǎn)D，DM⊥AC于M．求證：DM是⊙O的切線．鞏固練習(xí)有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.2、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°．求證：DC是⊙O的切線．鞏固練習(xí)有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.3、如圖，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，☉O與AB相切于E.求證：AC是☉O

的切線．BOCEAF鞏固練習(xí)無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑.4、如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE=1，ED=3，求⊙O的半徑．鞏固練習(xí)有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.5、已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF.(1)如圖1，若AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需要添加的條件是(只須寫(xiě)出兩種不同情況)：①

或②

.(2)如圖2，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線．(3)如圖3，若AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，EF還是⊙O

的切線嗎？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)解釋原因.FAB⊥EF∠CAE=∠BMM6、【貴港】如，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，AC與半圓O相切于點(diǎn)D．(1)求證：AB是半圓O所在圓的切線；(2)若cos∠ABC=，AB=12，求半圓O所在圓的半徑．23鞏固練習(xí)E無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑.7、【2018?金華】如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)AD．已知∠CAD=∠B．(1)求證：AD是⊙O的切線．(2)若BC=8，tanB=，求⊙O的半徑．12鞏固練習(xí)有交點(diǎn)，連半徑，證垂直.本節(jié)課你有什么收獲？歸納總結(jié)經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定定理：

利用切線的判定定理判定某條直線是圓的切線，必須滿足

個(gè)條件：知識(shí)拓展：①直線經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)②直線垂直于這條半徑幾何語(yǔ)言：∵

OP是☉O的半徑，∴

直線l

是☉O

的切線OP二