初中數(shù)學(xué)滬科版七年級(jí)下冊(cè)整式乘法與因式分解8．3完全平方公式與平方差公式-“黃岡杯”一等獎(jiǎng)

中物理滬科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第8章整式乘法與因式分解8.3.1完全平方公式1、回顧整式乘法學(xué)習(xí)經(jīng)歷的三個(gè)過(guò)程。1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式3、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式2、回顧一下他們的法則.

則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

作為積的因式；單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，單項(xiàng)式的乘法法則：知識(shí)回顧與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘,(a+b)(m+n)2+an+bm+bn多項(xiàng)式的乘法法則：再把所得的積相加.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)134=am1234

用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,再把所得的積相加.b

創(chuàng)設(shè)情境問題1

有一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形廣場(chǎng)，現(xiàn)要擴(kuò)建該廣場(chǎng)，要求將其邊長(zhǎng)增加b，試問擴(kuò)建后這個(gè)正方形廣場(chǎng)的面積有多大？aab方法一：擴(kuò)大后正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)是a+b，所以它的面積是

.

(a+b)2方法二：先算4塊小長(zhǎng)方形的面積，再求總面積，擴(kuò)大后正方形廣場(chǎng)的面積是

.

a2+2ab+b2因此，有(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2你能用多項(xiàng)式的乘法法則來(lái)說(shuō)明它成立嗎?(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2思考：(1)式子的左邊具有什么共同特征？式子的左邊為兩個(gè)數(shù)的和的平方;(2)它們的結(jié)果有什么特征呢？

它們的結(jié)果為這兩個(gè)數(shù)的平方和加這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.

創(chuàng)設(shè)情境問題2

如果將正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)縮減b，試問面積又是多少呢？方法一：縮減后正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)是a-b，所以它的面積是

.

(a-b)2方法二：先算出原正方形廣場(chǎng)的面積，然后減去縮減部分的面積，縮減后正方形廣場(chǎng)的面積是

.

a2-2ab+b2因此，有(a-b)2=a2-2ab+b2baab(a-b)2=a2-2ab+b2你能用多項(xiàng)式的乘法法則來(lái)說(shuō)明它成立嗎?(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2思考：(1)式子的左邊具有什么共同特征？式子的左邊為兩個(gè)數(shù)的差的平方;(2)它們的結(jié)果有什么特征呢？

它們的結(jié)果為這兩個(gè)數(shù)的平方和減這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2同學(xué)們，你能用語(yǔ)言敘述這兩個(gè)公式嗎？

兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加（或減）這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.上面兩個(gè)公式，今后可以直接應(yīng)用于運(yùn)算，稱為完全平方公式.探究新知①②這兩個(gè)公式中的②式也可在①式中用-b代替b而得出.口訣：首平方，尾平方,乘積的2倍放中央,符號(hào)看前方。同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x+y)2

運(yùn)用公式計(jì)算，要先識(shí)別a，b在具體式子中分別表示什么.解：(2x+y)2=(a+b)2=a2+2ab+b2(2x)22?2x?y+y2+=4x2+4xy+y2同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(2)(3a-2b)2解：(3a-2b)2=(a-b)2=a2-2ab+b2(3a)22?3a?2b-(2b)2+=9a2-12ab+4b2方法一：同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(2)(3a-2b)2解：原式=[3a+(-2b)]22?3a?(-2b)(-2b)2+=9a2-12ab+4b2方法二：=(3a)2+同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(3)(-x+2y)2解：原式=2?(-x)?2y(2y)2+=x2-4xy+4y2(-x)2+方法一：小小提示：在具體的題目中，有時(shí)題里的a、b代表的項(xiàng)不能和公式里的a、b的位置一一對(duì)應(yīng)，你就要善于識(shí)別，以便和公式中的a、b對(duì)應(yīng)起來(lái)．同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(3)(-x+2y)2解：原式=(2y-x)22?2y?xx2+=4y2-4xy+x2=(2y)2-方法二：同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(4)(-m-3n)2解：原式=2?(-m)?(-3n)(-3n)2+=m2+6mn+9n2=(-m)2+方法一：[(-m)2+(-3n)]2同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(4)(-m-3n)2解：原式=2?m?3n（3n）2+=m2+6mn+9n2=m2+方法二：[-(m+3n)]2=(m+3n)2同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(5)5022解：原式=2×500×222+=250000+2000+4=5002+(500+2)2=252004

提示：一個(gè)數(shù)的平方，可以考慮變形為“兩數(shù)和(差)的平方”的形式。同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(6)4982解：原式=2×500×222+=250000-2000+4=5002-(500-2)2=248004同步練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算：(7)(a+b+c)2解：原式=2?(a+b)?cc2+=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b)2+[(a+b)+c]2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

注意：公式中的a、b