第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論

第一章數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析研究的對(duì)象與特點(diǎn)

誤差的來源與誤差分析的重要性誤差的基本概念

數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則小結(jié)

第一章緒論第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四算法的研究和應(yīng)用正是本課程的主題！現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱理論研究科學(xué)實(shí)驗(yàn)科學(xué)計(jì)算計(jì)算數(shù)學(xué)第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四21世紀(jì)信息社會(huì)的兩個(gè)主要特征：“計(jì)算機(jī)無處不在”“數(shù)學(xué)無處不在”21世紀(jì)信息社會(huì)對(duì)科技人才的要求：--會(huì)“用數(shù)學(xué)”解決實(shí)際問題--會(huì)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)數(shù)值分析研究的對(duì)象與特點(diǎn)

數(shù)值分析也常稱為計(jì)算方法，或者叫數(shù)值計(jì)算方法。是研究用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論，是把理論與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合起來，著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論。它的內(nèi)容包括：第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四建立數(shù)學(xué)模型選取數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算求得結(jié)果科學(xué)計(jì)算解題過程實(shí)際問題第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析具有的特點(diǎn)：第一：面向計(jì)算機(jī)；第二：有可靠的理論分析；第三：有較好的計(jì)算復(fù)雜性；第四：有數(shù)值試驗(yàn)；第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)誤差來源與誤差分析的重要性

模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對(duì)問題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問題有一定的區(qū)別；觀測(cè)誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差；由于計(jì)算機(jī)只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算,因此要將有些需用極限或無窮截?cái)嗾`差過程進(jìn)行的運(yùn)算有限化,對(duì)無窮過程進(jìn)行截?cái)?這就帶來誤差；舍入誤差在數(shù)值計(jì)算過程中還會(huì)遇到無窮小數(shù),因計(jì)算機(jī)受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差。第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四過失誤差由于模型錯(cuò)誤或方法錯(cuò)誤引起的誤差.這類誤差一般可以避免第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值計(jì)算中除了過失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所考慮和分析的就是截?cái)嗾`差和舍入誤差經(jīng)過大量的運(yùn)算之后,積累的總誤差有時(shí)會(huì)大得驚人,因此如何控制誤差的傳播也是數(shù)值方法的研究對(duì)象.第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)誤差的基本概念1．絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限例2:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，大約為1.45米，求1.45米的絕對(duì)誤差。1.45米的絕對(duì)誤差=？不知道！是近似值的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱為誤差。

定義1：設(shè)x是準(zhǔn)確值，x*為x的一個(gè)近似值，稱

（1.5）第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四但實(shí)際問題往往可以估計(jì)出不超過某個(gè)正數(shù)，即，，則稱

為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道x范圍為即x落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來刻劃x*的精度。第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2．相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限（1.6）定義2：設(shè)x是準(zhǔn)確值，x*是近似值，稱滿足

則稱為的相對(duì)誤差限。

為近似值的相對(duì)誤差，相應(yīng)地，若正數(shù)，relativeerror第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限往往未知代替相對(duì)誤差代替相對(duì)誤差限因此第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例1.解:第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例2.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對(duì)誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個(gè)單位第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定義有6位有效數(shù)字有4位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字只有4位有效數(shù)字3有效數(shù)字第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四且因此,可根據(jù)上述分析對(duì)有效數(shù)字有如下結(jié)果:或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式：第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例3.求下列四舍五入近似值的有效數(shù)字個(gè)數(shù).3個(gè)3個(gè)4個(gè)4個(gè)3個(gè)5個(gè)第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理2.證明:第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四即則有則由定理1.可知第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例6:解:第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理3．該結(jié)論可以參照定理2的證明，請(qǐng)同學(xué)們自證第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例7.解:則有定理3,相對(duì)誤差滿足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四即第四節(jié)數(shù)值運(yùn)算中的誤差分析方法與原則第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子相對(duì)誤差增長(zhǎng)因子思考:試分析四則運(yùn)算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四關(guān)于算法的數(shù)值穩(wěn)定性的實(shí)際例子

例8.計(jì)算定積分解:第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四誤差放大5千倍!但如果利用遞推公式第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四因此在計(jì)算公式選用及算法設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注意以下原則1.四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算誤差會(huì)放大誤差不會(huì)放大第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四誤差的傳播與積累例：蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來了？！NYBJ以上是一個(gè)病態(tài)問題第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四(2)作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,會(huì)使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失由于在算法設(shè)計(jì)中,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減,則改變計(jì)算公式,如使用三角變換、有理化等等第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例9.解方程解:由中學(xué)知識(shí)韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長(zhǎng)為8,基底為10的計(jì)算機(jī)上利用求根公式機(jī)器吃了因此在計(jì)算機(jī)上第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四上式是解二次方程的數(shù)值公式第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四(3)避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)由誤差傳播的估計(jì)式在算法設(shè)計(jì)時(shí),要避免這類算法