甘肅省白銀市景泰縣2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

甘肅省白銀市景泰縣2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.2．不等式的解集為（）A. B.C. D.3．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列{}滿足，則（）A. B.C. D.7．直線的斜率是（）A. B.C. D.8．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.49．已知圓，為圓外的任意一點，過點引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點．在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.10．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）A. B.C. D.12．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準(zhǔn)線交于點P.若，，則____________.14．?dāng)?shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.15．已知數(shù)列滿足，則_____________16．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點的雙曲線方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點，橢圓上一點滿足，且的面積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于兩點.過點且平行于的直線交橢圓于點，證明：為定值.18．（12分）某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學(xué)生有180人.（1）請求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.19．（12分）已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.21．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值22．（10分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長為的正方形，點S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點O，點P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點P是SD的中點，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】作出正的實際圖形和直觀圖，計算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【題目詳解】如圖①②所示的實際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【題目點撥】本題考查直觀圖面積的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】根據(jù)一元二次不等式的解法進行求解即可.【題目詳解】，故選：A.3、C【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【題目詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時,周長最小值為故選：C4、C【解題分析】取的中點，連接，易證平面，進一步得到線面角，再解三角形即可.【題目詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C5、B【解題分析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進而由橢圓定義可求出點的軌跡方程.【題目詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點在圓上，所以，因此，點在以、為焦點的橢圓上.其中，，則.從而點的軌跡方程是.故選：B.6、B【解題分析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【題目詳解】因為，.故選：B7、D【解題分析】把直線方程化為斜截式即得【題目詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D8、C【解題分析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【題目詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C9、D【解題分析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因為且，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.10、B【解題分析】求出不等式的等價形式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【題目詳解】由得或，由得，因為或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B11、B【解題分析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【題目詳解】.故選：B12、C【解題分析】根據(jù)題意，求出每個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進而判斷答案.【題目詳解】對A，，為奇函數(shù)；對B，，為奇函數(shù)；對C，，為偶函數(shù)；對D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關(guān)系可求得結(jié)果【題目詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設(shè)，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：14、##3.6【解題分析】先計算平均數(shù)，再計算方差.【題目詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：15、【解題分析】找到數(shù)列的規(guī)律，由此求得.【題目詳解】依題意，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：16、【解題分析】設(shè)雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【題目詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【題目點撥】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉(zhuǎn)化為點在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點，將的面積用表示，求出，進而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出，再將直線的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點，滿足，所以點為圓：與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法二：由橢圓定義；，因為，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)直線AB的方程為：.得設(shè)過點且平行于的直線方程：.18、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號為a、b，將的樣本編號為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.19、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解題分析】（1）將點代入函數(shù)解析再結(jié)合前和即可求解；（2）運用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項變形為，再求和，通過分類討論從單調(diào)性上分析求解即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項和為，則=，當(dāng)n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）當(dāng)時，，求出，可得答案；（2）設(shè)，，，，，設(shè)，求出利用單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】設(shè)，若，則，若，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【題目點撥】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.21、（1）；（2）最大值為，最小值為【解題分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可以求出函數(shù)的最值.【題目詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當(dāng)變化時，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.22、（1）證明見解析（2）存在，點P為棱SD靠近點D的三等分點【解題分析】（1）由的面積為1，得到，，由，點P為SD的中點，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問1詳解】因為點S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因為四邊形ABCD是邊長為的正方形，所以，又因為的面積為