高中數(shù)學北師大版必修對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)4指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較 優(yōu)秀獎

§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較1859年，當澳大利亞的一個農(nóng)夫為了打獵而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災難爆發(fā)了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番.兔子每年能生產(chǎn)4到6次，一窩6-10只1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失.絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子.整個20世紀中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過.這種現(xiàn)象能否用我們所學的數(shù)學知識來解釋呢？請進入本節(jié)的學習！1.理解指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度；2.對指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長進行比較.通過對指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).

體會課堂探究的樂趣，汲取新知識的營養(yǎng)，讓我們一起吧！進走課堂探究點1冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長情況

冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長速度的比較冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0)比對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)增長快,而且快很多.當b>1,c>0時,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增長快.探究點2指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長情況

指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的比較當x的值充分大時,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)比冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0)增長快,而且快很多.當a>1,c>0時,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增長快.例(1)畫出一次函數(shù)y=2x,對數(shù)函數(shù)y=lgx和指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象,并比較它們的增長差異;(2)試著概括一次函數(shù)y=kx(k>0),對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)和指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的增長差異;(3)討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.答案:(1)①y=2x的圖象在(0,+∞)上勻速上升;②y=2x的圖象在(0,+∞)上上升越來越快;③y=log10x的圖象在(0,+∞)上上升越來越慢.(2)①y=kx(k>0)的圖象在(0,+∞)上勻速上升;②y=logbx(b>1)的圖象在(0,+∞)上增長越來越慢;③y=ax(a>1)的圖象在(0,+∞)上增長越來越快.(3)直線上升→勻速上升,對數(shù)增長→緩慢增長,指數(shù)爆炸→增長越來越快.1.對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增長,增長的越來越慢,圖象漸漸地接近與x軸平行,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),logbx可能會大于xc,但是由于logbx的增長慢于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時就會有l(wèi)ogbx<xc.2.對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0),在區(qū)間(0,+∞)上,無論c比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),ax會小于xc,但由于ax的增長快于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,就會有ax>xc.3.當?shù)讛?shù)a>1時,由于指數(shù)函數(shù)y=ax的值增長非?？?人們稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”.【總結(jié)提升】辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)函數(shù)y=的衰減速度越來越慢. (

)(2)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型. (

)(3)對應任意x∈(0,+∞),總有2x>x2. (

)提示:(1)√.由函數(shù)y=的圖象可知其衰減速度越來越慢.(2)√.增長速度不變時圖象為直線,故是一次函數(shù).(3)×.當x=2時,22=22.【即時訓練】三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)解析式y(tǒng)=ax(a>1)y=logbx(b>1)y=xc(c>0)單調(diào)性在(0,+∞)上單調(diào)遞增圖象(隨x的增大)趨向于和x軸_____趨向于和x軸_____逐漸上升增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越___y的增長速度越來越___y的增長速度_____歸納總結(jié)總會存在一個x0,當x>x0時,___________垂直平行快慢較快ax>xc>logbx1.下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)A.y=2020x B.y=2020xC.y=log2020x D.y=2020

B2.下列各項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數(shù),從足夠長遠的角度看,更為有前途的生意的序號是().

A.y=3×1.04xB.y=20+x10C.y=40+lg(x+1)D.y=80.

A3.有一組實驗數(shù)據(jù)如表所示:下列所給函數(shù)模型較適合的是(

)A. B.y=ax+b(a>1)C.x12345y1.55.913.424.137

C【解析】選C.通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大,其增長速度越來越快,而A,D中的函數(shù)增長速度越來越慢,B中的函數(shù)增長速度保持不變