2023高考數(shù)學(xué)大二輪刷題-理數(shù)第一部分考點(diǎn)十七

考點(diǎn)十七直線與圓錐曲線綜合問題

A卷

一、選擇題

?2

1.已知雙曲線方=l（a>0,b>0）的離心率為小，右焦點(diǎn)到一條漸近線的

距離為近，則此雙曲線的焦距等于（）

A.小B.2小C.3D.6

答案B

\bc+0|be

解析由題意,得焦點(diǎn)/CO）到漸近線bx+ay=0的距離為d=r-r—=-=

yjer+0

b=啦，又（=c2=a2+b2,解得c=小,所以該雙曲線的焦距為2c=2仍，

故選B.

2.已知圓。：/+尸=4,從圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段在y軸

上），點(diǎn)M在直線PPi上，且向量百防=2戶力，則動點(diǎn)M的軌跡方程是（）

A.4^+16/=1B.16/+4尸=1

r2v2r2v2

+16-1u16+4-1

答案D

解析由題意可知P是MPi的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（x,y）,P（xo,yo）,Pi（O,y0）,

_L,,

則產(chǎn)*又1+的=4,故（^）2+y2=4,即得+：=1.故選D.

j（）=y.一

3.（2021.云南師大附中高考適應(yīng)性考試（六））已知直線/與拋物線C:f=8y

相交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為（1,2）,則直線/的方程為（）

A.4x-y+7=0B.4x+y-3=0

C.x-4y+7=0D.x+4y-3=0

答案C

君=8ji,

解析設(shè)Ag”)，Bg加貝情(二8必兩式相減得"-正=88-

*旦+211

---

1-=-=二直線/的方程為y—2=((x—D,即X

yD8844

ri-

-4>-+7=0,故選C.

4.已知尸是橢圓C:5+5=1的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，A(1,272),

則|PA|+|PF|的最大值為()

A.4+^2B.4^2

C.4+SD.4s

答案

解析

如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸，則|PM+|PE'|=2S，又F(-1,0),|AF|=

4(-1-1)2+(-2啦)2=

2事,二|PA|+附=2?|PA|-|PF|,根據(jù)圖形可以看出||PA|-|P尸歸AF|,

「?當(dāng)/在線段A尸的延長線上時,|PA|-|P嚴(yán)最大,為|AP|=2小，.?.|PA|+|Pf]

的最大值為2小+2小=4小，故選D.

X2V2b

5.過雙曲線”-次=19〉0,1)〉0)的右焦點(diǎn)/作直線丁=-孑的垂線，垂足為

A,交雙曲線的左支于B點(diǎn)，若聞=2兩，則該雙曲線的離心率為()

A.SB.2C.小D.由

答案C

解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)b的坐標(biāo)為(c,0),由于直線AB與直線y=-力垂

a卜a'a2ab

直，所以直線AB的方程為y=]（x-c）,聯(lián)立ja得點(diǎn)A（5，

y=加-c）>

2/—d2abv-2“2

由已知成=2雙，得點(diǎn)B（―^-,把B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程了-浮=1,得

（2/一c2）24/廠I-

一訪一--=1,整理，得c=V^a,故離心率6=[c=小，故選C.

6.（2021.湖北宜昌模擬）已知拋物線C:V=2pxS>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

M（xo,2啦）（xo>§是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線x=g交于區(qū)G兩

點(diǎn)，若sin/MFG=g,則拋物線C的方程是（）

A.y1=xB.y2=2x

C./=4xD./=8x

答案c

解析作MD1EG,垂足為D.由題意，得點(diǎn)M（xo,2的（次>分在拋物線上，

貝IJ8=Ipxo，所以pxo=4.①

由拋物線的性質(zhì)可知，|M日=&+§，|DM|=xo-f,

因?yàn)閟in/MFG=；,所以|DM|=；豳人.所以M）-g=；（M）+§,解得M）=P.②

由①②，解得xo=p=-2（舍去）或xo=p=2.

故拋物線C的方程是/=4工故選C.

7.（2021.河南焦作3月第三次大聯(lián)考）已知橢圓C:，+營=l（a>b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為Q,Fi,B是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線x=；c與直線BB交于點(diǎn)A,

7T

若/AQF2=a，則橢圓c的離心率為（）

答案A

解析

由題意知，B（0,b）,B（c,O）,所以直線BB的方程為“+力=1,聯(lián)立

f1

X=QC,

3]2121

<解得X=gc,y=gb,即Aqc,gb）,設(shè)直線x=§c與x軸交于點(diǎn)”,

-+^=1,

lcb

42兀42

貝lJ|KM=1c,|MA|=§b,因?yàn)镹AFIF2=W，所以I尸M=|MA|,即于=yb,所以b

=2c,Wa2-c2=b2=4c2,即afc,所以離心率e=，坐.故選A.

8.（2021.安徽馬鞍山第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋

物線C:丁=2。必?>0）的焦點(diǎn)為f，直線x=3與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，|Af]

=4,圓E為APAB的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M,點(diǎn)N在圓E上，則

。加。刀的取值范圍是（）

A.[-H，9]B.[-3,21]C.信,21]D.[3,27]

答案B

解析

由題意，設(shè)A（3,痂），所以|AF|=3+g=4,解得p=2,所以拋物線的方程

為尸=4九，A（3,24），B（3,-2?。?，F(xiàn)（l,0）,所以直線Ab的方程為），=小。-1）,

設(shè)圓心坐標(biāo)為（項(xiàng)0）,所以（祀-1）2=（3-孫）2+12,解得&=5,即E（5,0）,所以圓

的方程為（x-5）2+y2=i6,不妨設(shè)加〉0,設(shè)直線OM的方程為丫=氣，則心0,由

f4

最"解彳"解得/），設(shè)N（4COS（9+

OKAO10

5,4sin0),所以。入?O77='ycose+_^_sine+9=_^_(3cose+4sin8)+9,因?yàn)?cos6

+4sin9=5sin（e+s）€[—5,5],所以威?訊6[-3,21].故選B.

二、填空題

9.（2021?吉林長春高三監(jiān)測（三））已知雙曲線,g=l（a>0,b>0,a#）的左、

右焦點(diǎn)分別為B,Fi,過尸2作漸近線的垂線，垂足為尸，且tan/PBB=；,則

雙曲線的離心率為.

答案小

解析設(shè)N=a，過P點(diǎn)向x軸作垂線,垂足為E,可得△POE與4F20P

帥Cj\PE\\PE\

相似（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則儼崗=京，|0^1=~,則tana=Q=F^=cjic”=

Lc。I，I,*~/l|rj

ab

~^2,所以e=,?

c+~

c

10.（2021.廣東深圳第一次調(diào)研）設(shè)廠為拋物線C:V=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過

E作傾斜角為60。的直線交C于A,B兩點(diǎn)，若|AF|-|BF|=4,則|AB|=.

答案8

解析由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F考，0）,設(shè)直線AB的方程為丫=?。▁

n丁=小U-n））.

-2）.Ag,yi）,B（X2,竺），聯(lián)立2整理可得，12/-20內(nèi)+

-y=2px,

3P2=0,所以陽=多,X2=l，由拋物線的性質(zhì)可得|Af]—|Bfl=xi-尬=咨-看=，

33

p=4,解得〃=3,所以|AB|=九1+12+〃=]義3+%+3=8.

?2

11.（2021?山西長治二中第六次模擬）已知橢圓C：H=l（a>b>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為Q,F2,P是C上一點(diǎn)，且PF2_Lx軸，直線與C的另一個交點(diǎn)

為。，若|P￡I=4|BQ,則C的離心率為.

田3也I

答案y

解析

由PBlx軸，可知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為Pc,如圖所示，過。作QElx軸，垂

直為點(diǎn)已設(shè)。（X0,泗），根據(jù)題意及圖可知，氐△PRBsRt^QEB,?.?瑪=4,

.皿_哨_/I/?IF2|_2C_C._￡_3c_

??|_\QE\-4，??|E/iI—4~4~2f',^0—"c"-2—""2f又加一一I。劇

=一野1=一匕...點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一蕓一力，將點(diǎn)。代入橢圓方程，得言

b1Lr9/-C2?3「rCV2i

+帚=1，即訴+~［彳=1，解得U=T即e=X勺-

12.（2021?“超級全能生”聯(lián)考）已知雙曲線C：5=1的左、右焦點(diǎn)分別為

Fi,F2,直線y=x+〃?與C交于P,。兩點(diǎn)，當(dāng)IPQ最小時，四邊形F1PF2Q的面

積為.

答案12小

y=x^-m,

解析由)可得X2—83一(4〃於+20)=0,貝IJ/=64加2+4(4加2

5爐-4/0=20,

+20)=80(m2+1)>0,設(shè)尸，。的橫坐標(biāo)分別為X2,可得尢1+及=8"，x\X2

=一(4/n2+20),則|PQ=yjl+l2-^(xi+X2)2-4x\X2=y[2-yj64m2+4(4n?2+20)=

V2.^80(/n2+l)>4VT(j,當(dāng)且僅當(dāng)，〃=0時，IPQ取得最小值4回，當(dāng)|PQ|最小時，

四邊形BPBQ為平行四邊形，2(3,0)到直線y=x的距離為d=W=歲，所以

四邊形F"Q的面積為d|PQ|=.x4?=12A/5.

三、解答題

13.(2021?全國乙卷)已知拋物線C:W=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且尸與圓M:

f+。+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

⑴求P；

⑵若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求APAB面

積的最大值.

解⑴因?yàn)榻裹c(diǎn)兄0,目到圓M：9+。+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為尸M

-1=§+4-1=憶+3,所以g+3=4,所以p=2.

(2)解法一：由⑴知拋物線C:x2=4%即y=1.

所以'

設(shè)切點(diǎn)A(xi,y),切點(diǎn)B(X2,竺)，

22

貝I"PA：y=J,IPB：y=￡x一號.

從而可得；決,

由題意可知直線AB的斜率存在，

設(shè)/AB：y=hc+b,與拋物線C：*=4y聯(lián)立,

y=kx+b,

得3_4、,消去>,得f-4辰-4b=0,

貝l]/=16M+16b〉0,即R+b〉0,

且XI+X2=4A,X]X2=-4b,所以P(2A,-b).

因?yàn)閨AB|=yj1+-[(Xi+及)2—4xi無2=y/1+6業(yè)6d+16b,點(diǎn)P到直線AB

12d+2b\

的距離d=不

1

3

]J,--------2

所以SvAB=,AB|-d=54163+16力|2F+2bl=4(R+b).(*)

又點(diǎn)P(2A,-b)在圓M:x2+。+4)2=1上,

1_(Z?_4)2

所以標(biāo)=

4,

3

,一(-b2+nb-15V

將該式代入(*)式，得SVAB=41----------------J

而抄=-b€[-5,-3],所以bW[3,5].

所以當(dāng)b=5時，4PAB的面積最大，最大值為2師.

解法二：由⑴知拋物線C:f=4y,即y=].

x

所以y'=].

設(shè)切點(diǎn)A(xi,yi),切點(diǎn)B(X2,yi),圓M上任意一點(diǎn)P(xo,yo),

則易得/PA：y=^x-y\,/PB：y=^x-y2,

所以須=皆，泗=詈，

又線段AB的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為"坐，上芳

所以SAPAB=glPQ,M-刈

=2-2-"泗,M-X2'

1x?+兄

=4-4—-2yo.M一刈

=看汨-X2p=點(diǎn)?比_才)3

在"1+X2)2-4X1X2)

=春?4君-16泗)3=雙高-4泗＞.(*)

又點(diǎn)P(X。，泗)在圓M：f+0+4)2=1上，所以焉=1-3)+4)2,

3

-

2

代入(*)式，得SyAB=g(—M-12yo—15)

而州€[-5,-3],所以yo=-5時，ZXPAB的面積最大，最大值為2sA.

14.(2021.安徽太和一中二模)已知橢圓C:J+p=l(a>b>0)的長軸長為4,

上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為Fi,且NRAF2=60。，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M,N為橢圓C上的兩個動點(diǎn)，若。羽=0,則點(diǎn)。到直線MN

的距離d是否為定值？若是，求出d的值；若不是，請說明理由.

解(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,由已知可得2a=4,a=2,

O

■.?ZFIAF2=60,在RtaOAB中，

可得可OAF2=30。,|OA|=b,|OF2|=C,

IAF2I=a=2,

.,.cosZOAF2=^=>解得b=S.

(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時，MNlx軸，

由O需.ON=0,可得OM_LON,

結(jié)合橢圓的對稱性，可設(shè)Mx,x),N(x,-x),則d=R,

?7

將點(diǎn)M(x,x)代入橢圓方程，可得]+'=1,

2721

A解得x=±-^—,d=2A/2T.

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為丁=依+%

此時點(diǎn)。到直線MN的距離d=-M=,

W+七

2

即d-=廠工，

設(shè)M(xi,yi),N(X2,yi),

y=kx-i-m,

聯(lián)立X2f

7+3=1，

可得G+dLI+g妨u+4加2-12=0,

由/二64Zrm2-4(3+4^)(4m2-12)>0,

得34V+3,

8km4加2-12

??.X|+X2=-3+4/，X|X2=3+4后，

.\x\xi+y\yi=x\xi+(kx\+m)(te+in)

=(1+F)xiX2+km{x\+X2)+nr

八4m2-128一/

=("必,9).與育—不再加2

7〃?2一12(天+1)

3+4、,

又。筋。然二。，.'.X\X2+>'|J2=0,

7〃/-12(F+1),12,,

=0,解得病=萬(1+d),

即3+4F

,12。2亞

.,.d-=—,即d=-—.

綜上所述，點(diǎn)。到直線MN的距離d=2g是定值.

B卷

一、選擇題

1.雙曲線Ci：,一方=l(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)為個(c,0)(c>0),且雙曲線Ci

的兩條漸近線均與圓C2：a-c)2+y2==相切，則雙曲線C1的漸近線方程為()

A.x±y[3y=0B.y[3x±y=0

C.y[5x±y=0D.x±\[5y=0

答案A

hbec

解析根據(jù)題意知，焦點(diǎn)ECO）到漸近線y=-X的距離為d=-廠，,=b=5,

a'er+b~/

故a2=3b2,故雙曲線Ci的漸近線方程為N>=0.故選A.

2.（2021.貴陽市、黔東南州部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知拋物線M：f=2py（p>

3

0）的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與拋物線M交于A（點(diǎn)A在第二象限），

IAF1

B兩點(diǎn)，則麗=（）

11

A.§B.4C.4D.5

答案A

￡

解析十—

如圖，直線CD為拋物線M的準(zhǔn)線，AC1CD,BD1CD,AE1BD.設(shè)|BE|

=3x,貝|慶8|=5二舊用=口口|一八0=出7:1—4月=3%,八8|=4川+舊用=5二解

得|AF|=x,故盟=寺=g.故選A.

3.已知橢圓C：+f=l,若直線/經(jīng)過M（0,l）,與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

且戒=-1用瓦則直線/的方程為（）

A.y=±^x+1B.y=±^x+1

2

C.y=±x+1D.y=±^x+1

答案B

y=kx+],

解析依題意，設(shè)直線/：>=履+1,點(diǎn)A（xi,yi）,B（X2,y2）.則由f以

忖+彳=1，

消去y,整理，得(9/+5)/+18依-36=0,1=(18Z)2+4x36x(9F+5)>0,

(儂

Xl+X2=-9A2+

,36

<2-汨M由此解得z=±g,即直線I的方程為y=±%+1.故選B.

2

龍1=—3尤2,

4.（2021.四川德陽二診）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是雙曲線C:三-5=l（a>0,

b>0）的左焦點(diǎn)，A,B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且尸產(chǎn)lx軸,

過點(diǎn)A的直線與線段Pb交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E,直線BM與y軸交于點(diǎn)N,

若|0同=用。朗，則雙曲線C的離心率為（）

答案C

解析

由題意知，F(xiàn)（-c,0）,不妨取點(diǎn)尸在第二象限，設(shè)點(diǎn)M為（-c,m）,則m>0,

YYI

■■-A(-a0),B(a,0),.??直線AM的方程為尸——(x+a),直線BM的方程為丁=

(U-C

氣…,詈）,N（。,篙）—"詈…鬻

c1+2

即l）c=（l+Qa,.?.離心率e=7=「.故選C.

aZ—1

5.（2021?吉林長春高三監(jiān)測（三））第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將于2022年

02月04日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一

次舉辦冬季奧運(yùn)會，北京成為奧運(yùn)史上第一個舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動會和冬季奧

林匹克運(yùn)動會的城市.同時中國也成為第一個實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫’'（先后舉辦奧運(yùn)

會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家.根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成

為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示,

內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端

9

點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD（如圖2）,且兩切線斜率之積等于-布，則

橢圓的離心率為（）

A-4B4Cl6D2

答案B

解析設(shè)內(nèi)層橢圓方程為￡+%=l（a〉b>0）,因?yàn)閮?nèi)外橢圓離心率相同，所以

外層橢圓可設(shè)成次p+1（機(jī)>1）,設(shè)切線AC的方程為y=h（x+機(jī)a）,與會+

3=1聯(lián)立得（b2+a?好if+Znza?后x+"22a4后一a2b2=0,由/=0,得好=/.1,

9cim—1

/ch49s

同理想=>"2-1）,所以解解=7=（-后）2,所以6=學(xué).故選B.

6.（2021?山西太原二模）已知直線x-2y+n=0（*））與雙曲線\-=1（a>0,

b〉0）的兩條漸近線分別相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（〃,0）,若|PA|=|PB|,則

該雙曲線的離心率是（）

A幣B.小C.-^^D.李

答案C

解析雙曲線營=l（a>0,b〉0）的漸近線方程為'-￡=（）,由

x-2y+n=0,

<=?（4b2-a2）/-4b2?y+b2n2=0,設(shè)點(diǎn)A（xi,yi）,B（x,竺），線

b-jr-ay=02

e_1_一八y\+yi2trn_c^n

段AB中點(diǎn)Q（x（）,泗），yi+/=4Z?2_a2，澗==4b2_標(biāo)，*。=2yo-n=如_后，

2bln

4b1-a2

因?yàn)閨PA|=|PB|,則PQ1AB,所以直線PQ斜率為-2,即二V二o二-^~2~-------

xo-n〃/

4b2-a2~n

=-2=>3b2=2a2=>^2=|,所以/=1+*=1+|=|=>6=華.故選C.

7.（2021?江西景德鎮(zhèn)市第三次質(zhì)檢）已知A,B分別為拋物線Ci：/=4x與

圓C2：/+9-4啦y+7=0上的動點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為尸，P,Q為平面兩點(diǎn)，

當(dāng)|AP+|AB|取到最小值時，點(diǎn)A與P重合，當(dāng)|AP|-|AB|取到最大值時，點(diǎn)A

與。重合，則直線的斜率為（）

A也?D空

/>..3?1L-X.3

答案D

解析

如圖所示，圓C2：%2+/-4yf2y+7=0,即x2+（y-2y[2）2=1,圓心為

C2（0,2啦），拋物線Ci：V=4x的焦點(diǎn)為F（l。），記Ci的準(zhǔn)線為/,連接代2,|AF|

+|AB|>|AF|+（|AC2|-1）>|FC2|-1,當(dāng)且僅當(dāng)F,A,B,C?按此順序在同一條直

線上時，等號成立，即A為線段PC2與拋物線Ci的交點(diǎn)，而直線82的方程為y

2^2-0「y=-272(%-1),

-T—--(%-])=-2^2(%-1),聯(lián)立,“解得

u-1=4，

x=2,在第一象限，也，即號也，過點(diǎn)

或2.0,

)=-2?。?也，

A作AD垂直拋物線Ci的準(zhǔn)線于D,由拋物線的定義知，|AF|=|AD|,

|AB|<|AD|-（|AC2|-1）<|DC2|+1,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C2,D按此順序在同一條直線

r-r-r-2"\[i—\/2

上時，等號成立，止匕時＞A=)C2=2啦，」.A(2,26)，即2(2,272),：.kPQ=~~+

2-2

平，故選D.

8.（2021.安徽蚌埠第三次教學(xué)質(zhì)量檢查）已知橢圓C:U+R=l（a>b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為尸2,以尸2為焦點(diǎn)的拋物線E：V=i2x與橢圓C在第一象限的

交點(diǎn)記為P,直線PE與拋物線E的準(zhǔn)線/交于點(diǎn)Q,若|PQ|=2|K?|,則橢圓C

的長軸長為（）

A.4幣+8B.2市+4

C.市+2D當(dāng)+1

答案B

解析

由題意知，啦（3,0）,a2-b2=9①，過點(diǎn)尸作PM1/于點(diǎn)M,由拋物線的定

義知，\PF2\=\PM\,-：^\=2\^\,：.\PQ\=2\PM\,：.^QPM=60°,即直線PQ

rrb=_小（》_3）,

的斜率為-小，直線PQ的方程為曠=-?。▁-3）,聯(lián)立2口解

1廠=⑵，

x=1,尤=9,

得"丫=2仍或1v=_6?。狐c(diǎn)「在第一象限，:/（1，2?。?，將其代入橢圓C

I12

的方程，有”+乒=1②，由①②解得，a2=11+4巾（負(fù)值舍去），二a=2+小,

橢圓C的長軸長為2a=4+2巾.故選B.

二、填空題

9.（2021.湖南長沙一中、廣東深圳實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月聯(lián)考）已知直線y=2x-2與

拋物線y2=8x交于A,B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為R則成?或的值為

答案-11

y=2%-2,X=2-小,

解析由V=8x可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),由解得

y=8x,Ly=2-2小

x=2+y[3,

或,廠即A（2—S，2—2?。?，B（2+小，2+2?。?，...成=（一小，2

y=2+2-\]3,

-273),或=(蜴2+2回2-2陋>(小，2+24)=-3

+(4-12)=-11.

10.(2021.陜西西安八校聯(lián)考(二))已知橢圓C:，+g=l(a>b>0)左、右焦

點(diǎn)分別為￡,Fz,過R且傾斜角為30。的直線人與過尸2的直線/2交于點(diǎn)P,點(diǎn)P

在橢圓上，且NRPB=90。，則橢圓C的離心率6=.

答案^3-1

解析由題意可知^尸尸應(yīng)是直角三角形，且2所1尬=30。，二尸尸2|=3內(nèi)尸2|

=2c,\PF\\=y[3c,\PF\\+\PFo\=2a,即^/§?+?=2@,.a.e=y[3—1.

11.(2021?“江南十?！币荒Ｂ?lián)考)如圖，A,尸分別為雙曲線C:J-^=l(a>0)

的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過尸作x軸的垂線交雙曲線于“，且"在第一象限，A,F,

“到同一條漸近線的距離分別為山，d2,d3,且5是ch和d3的等差中項(xiàng)，則C

的離心率為.

答案1

解析因?yàn)閐l是d2和(13的等差中項(xiàng)，所以2dl=d2+d3,點(diǎn)A到漸近線的距

X2V2

離等于尸”的中點(diǎn)到漸近線的距離，由于網(wǎng)C,O),A(a,0),將X=c代入方程”一太

=l（a>0）易得H（c,華），所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為（c,1）,因?yàn)檫^"/的中點(diǎn)和

8

4?

點(diǎn)A的直線與漸近線平行，即片——，故c-a=2.又因?yàn)閏2-a2=16,所以a=

"c-Cl

cu5

3,c=5,e=§.

12.（2021.江西上饒二模）過拋物線產(chǎn)=〃的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB,

CD,且|AB|+|CD|=RABHCD|,貝J12的值為.

答案\

解析焦點(diǎn)為F（1,0）,p=\,設(shè)直線AB的傾斜角為仇直線CD的傾斜

JTjr7Ti

角為8+2或。顯然印0且隨，記％=tan。，直線AB的方程為y=4（x-2）,

,y=k（》一彳），必

設(shè)A（xi,yi）,B（X2,>2）,由，2得M%2-（后+2）x+1=0,貝ljxi+

y=2x,

M+2111F+222

%2=J,X\X2—4,IAB|=|AF1|+IB/^I=xi+X2+正+1=2+^2=2+

2cos2。22p

2+高府=病，AB|=^,ICDI2P2P

2z+

sin2（田與cos0',~\AB\\CD\~

sin?。cos2?11

~2p~+2p=2p=2-

三、解答題

13.（2021.四川九市二診）如圖，已知橢圓C:最+V=i（a>l）的左焦點(diǎn)為尸,

、行

直線丁="（攵>0）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且質(zhì)曲=0時，k+

⑴求a的值;

（2）設(shè)線段AF,B/的延長線分別交橢圓C于D,E兩點(diǎn)，當(dāng)&變化時，直線

DE是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

解⑴設(shè)A（m，yo）,則B（-x（）,-yo）,

由題意可得焦點(diǎn)尸（一病二L0）,

所以產(chǎn)才?=（X0+-1,然）.（_刈+m2_],一加）=一看一y8+a2-1,

當(dāng)門.尸》=0時，有高+y8=a2-l,

y=日,

2一

聯(lián)立/得需二需17,人后77,

/+y1,

2

從而斷7

將％=、當(dāng)/3代入得4a彌2=a2—l,

JCl-r3

所以a2=3（a>