第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量第一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五§5.1預備知識一.向量的內積

在空間解析幾何中,向量的內積(即數(shù)量積或點積)描述了內積與向量的長度及夾角間的關系.

內積定義

：夾角：向量的長度：

第二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五內積的坐標表示式：令稱為向量x與y的內積.定義1設有n維向量第三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(1)向量x與y的內積是一個實數(shù),注:(2)常用符號(x,y)=<x,y>=[x,y]=x·y.(3)零向量與任一向量的內積為0.當x與y都是列向量時,可以用矩陣乘法表示內積為例1已知=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T則·

=[,]=12+23+(1)1+1(1)=6也稱點積,數(shù)量積.“·”[x,y]=xTy=yTx

不可省略.第四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五性質:（其中x,y,z為n維向量，為實數(shù)):（1）（2）（3）（4）當且僅當時等號成立.(以上性質顯然成立)第五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定義2稱為

維向量

的長度（或范數(shù)）.令設x=(x1,x2,…,xn)T顯然||x||0,當||x||=1時,稱x為單位向量,零向量的長度為0.第六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五

=(a1,a2)

=(a1,a2,a3)n維向量的長度是二維、三維的推廣.在R2中，在R3中，第七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五證:向量的長度具有下述性質：

（1）非負性：（2）齊次性：（3）三角不等式：為實數(shù)（1）顯然成立.下面證明（2）和（3）.第八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五即數(shù)乘向量x的長度||x||等于||與||x||的乘積.(2)根據(jù)上式可知，設是非零向量，是一個單位向量.則這是因為任一非零向量除以它的長度后就成了單位向量.這一過程稱為將向量單位化.第九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(3)所以第十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五由此得當且僅當

x與y線性相關時，等號才成立對任意n維向量x,yCauchy-Schwarz不等式：有此不等式還可表示為第十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五如果x與y線性相關，不妨設y=kx,則有證：[x,y]2設x與y線性無關，tx+y0，[tx+y,tx+y]0即t2[x,x]+2t[x,y]+[y,y]

0的判別式一定小于零.即[x,y]2[x,x][y,y]0或[x,y]2[x,x][y,y]那么對于任意實數(shù)t來說，于是最后不等式左端是t的一個二次三項式，由于它對于t的任意實數(shù)值來說都是正數(shù)，所以它=[x,kx]2=k2[x,x]2=[x,x][y,y]第十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定義3

當時，

定義4

當時，稱為維向量

與

的夾角.稱向量與

正交(或垂直).

定義4'，則稱x與y正交.如果x與y的夾角為顯然，零向量與任何向量都正交.第十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五若一個向量組中任意兩個向量都正交，若一個正交向量組中每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為正交規(guī)范向量組或標準正交向量組.則稱此向量組為正交向量組.定義5第十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例2設=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求與的夾角.解:·=1

(1)+00+21=1所以與的夾角的余弦第十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例3解:·=0設=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求與的夾角.例4Rn中的e1,e2,…,en

是一組兩兩正交的向量若ij,顯然有ei·ej=0第十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例5是R4的一個標準正交向量組.可以驗證第十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五的非零向量組，證：k11+k22+…+krr=0

=i·(k11+k22+…+krr)但i·i0,

則1,2,…,r線性無關.若n維向量1,2,…,r是一組兩兩正交設有實數(shù)k1,k2,…,kr

使得因為當ij時,i

·j=0,所以所以1,2,…,r線性無關.定理10=i·0=ki(i·i)所以ki=0,i=1,2,…,n.

第十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理3Rn中任一非零正交向量組中向量的個數(shù)不會超過n.在Rn中,如果與1,2,…,r中每一個向量正交,證：k11+k22+…+krr為1,2,…,r的一個線性組合因為·i=0

(i=1,2,…,r)所以定理2則與1,2,…,r任意一個線性組合也正交.第十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五求非零向量,使成為正交向量組.已知

設則例6解：第二十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五即由得從而有基礎解系

第二十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五取即合所求.第二十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五二.

Schmidt正交化方法設,是Rn中的兩個向量，定義記稱為向量在上的投影純量.記稱向量為向量在上的投影向量.第二十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五Schmidt正交化方法是將一組線性無關的向量作如下的線性變換，化為一組與之等價的正交向量組的方法：……1.

Schmidt正交化令第二十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五可以證明：兩兩正交，向量組與等價.且對任何第二十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五2.

標準化（單位化）令則1,

2,…r就是一組長度都是1的正交向量組.先正交化，后標準化，次序不可顛倒.注：第二十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例7

將

正交規(guī)范化.先將1，2，3進行正交化，取解:第二十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五第二十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五再將它們單位化，取

則即為所求.第二十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例8已知1

=(1,2,2)T,求非零向量2,3,2,3應滿足方程1Tx=0，它的基礎解系為取2=1=使1,2,3成為正交向量組.解:即x1+2x2+2x3=0將1,2正交化,第三十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五3=2則2,3就是所求.第三十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定義6

如果n階方陣A

滿足

正交矩陣（即A1=AT）那么稱A為正交矩陣(簡稱正交陣).第三十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五正交矩陣具有如下性質：1.若A是正交矩陣，則A1和AT也是正交矩陣.2.兩個正交陣的乘積仍是正交陣.3.正交陣的行列式等于1或1.4.正交陣的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交陣的兩不同行(列)的對應元素乘積之和等于0.第三十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五證：1.因為(A')'=A,

所以A'

=A1也是正交陣.2.設A,B都是正交陣,則(AB)(AB)'=3.設A是正交陣,而|AA|=因此|A|2=1,(AB)(B'A')=A(BB')A'=AEA'=AA'=E則AA=E,|AA|=|E|=1|A||A|=|A|2即|A|=1第三十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設A是正交陣,即AA'=E,其中i=(ai1,ai2,…,ain).4.和5.將A寫成行向量的形式第三十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五則A的轉置A'=其中第三十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五其中當i=j時，當ij時，這樣，性質4.和5.得證.列的情況可以通過A'A=E加以證明第三十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理4

A為正交矩陣的充要條件是A的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組.證：由性質4,5可以直接推出正交矩陣舉例：(1)n階單位矩陣En(2)第三十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例9已知A是正交陣，求x.解：根據(jù)定理4設則1·1=1即(2x)2+02+02=1x=設第三十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設為正交變換，則有定義7

若P為正交矩陣，則線性變換這說明，正交變換不改變向量的長度.稱為正交變換.第四十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五

§5.2特征值和特征向量概念定義1

設A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零相應的非零列向量x稱為A的對應于特征值的特征向量.方陣A的特征值；列向量x使關系式Ax=x

(1)成立，則稱是此處可能是復數(shù)，注：也可能是復數(shù).A的元素和x的分量第四十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(E

A)x=0)此為n元齊次線性方程組(AE)x=0|A

E|=0將(1)改寫成(或改寫為它有非零解的充要條件是(2)即第四十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定義稱為A的特征矩陣;其行列式|AE|是的n次多項式,記為f()，顯然，A的特征值就是A的特征方程方程|AE|=0稱為A的特征方程.|AE|=0的根，因此，特征值也稱為特征根.稱為A的特征多項式;A為n階方陣，含有未知量的矩陣AE

方程組(AE)x

=0的每一個非零解向量，都是與相應的特征向量.第四十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理1任一n階矩陣A必有n個復的特征值.證:因為一元n次方程必有n個復數(shù)根(包括重根),所以特征方程|AI|=0有n個復數(shù)根，即A有n個復的特征值.第四十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理2若x是A的關于特征值0的特征向量,證:若Ax=0x，Ax=0x則0x=0x，∵x0，且又是關于特征值0的特征向量,則0=0∴00=0(00)x=0第四十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理3證:(其中k1，k2為任意常數(shù)，且k1

+k20).k1

+k2也是(AE)x=0解.設和均是A的特征值的特征向量，則線性組合k1

+k2也是A的特征值的特征向量.根據(jù)定義,,均為齊次線性方程組(AE)x=0的解,

由齊次線性方程組的解的性質，第四十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五已知試確定參數(shù)

a,b由特征值和特征向量的定義可知，

及特征向量所對應的特征值.例1是的一個特征向量，解:第四十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五即于是所以故第四十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五特征值和特征向量的求法

（1）求出階方陣

的特征多項式

求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每個特征值代入線性方程組即是

的特征值；

求出基礎解系，基礎解系的線性組合（零向量除外）就是A對應于的全部特征向量．(AE)x=0第四十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例2

求矩陣的特征值和特征向量．解:

A的特征多項式為

所以

A的特征值為

當時，對應的特征向量應滿足

第五十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五于是，的對應的全部特征向量為容易求得方程組的一個基礎解系為

當時，

（為常數(shù)）第五十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五解得基礎解系

于是，的對應的全部特征向量為

（為常數(shù)）第五十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五特征值和特征向量的性質

設A是n階方陣，則A與AT有相同的特征值.

(特征向量未必相同)定理4證:因為

(AE)T

|ATE|

所以=AT

(E)T

=AT

E

=|(AE)T|

=|AE|

即A與AT有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.第五十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五*定理5

設是方陣A的特征值，k,m是正整數(shù)，則

(1)c是cA的特征值(c是任意常數(shù)).(2)當A可逆時，1是A1的特征值.(3)k是Ak的特征值.*(4)是的特征值.第五十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五證:(1)所以c(Ax)=c(

x)(2)因為Ax=x,且A可逆,x=(A1x)所以A1(Ax)

=A1(x)即A1x=即(cA)x=(c)x.因為Ax=

x=(A1x)第五十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(3)因為Ax=x,

兩端同時左乘A，得A2x=A(x)=

(Ax)=

2x兩端再同時左乘A，得A3x=A(2x)=

2(Ax)=

3x依此類推，得Amx=mx(4)可由(1)，(3)推出第五十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理6

設階方陣的個特征值為(1)角元之和，稱為矩陣A的跡,(2)n階方陣A可逆的充要條件是它的則推論任一特征值都不等于零.

是A的主對其中記作tr(A)第五十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定義的跡，矩陣的跡有如下的性質：(1)tr(A+B)=trA+trB(3)tr(AT)=tr(A)(2)tr(kA)=ktr(A)n階方陣A的主對角線上元素之和稱為矩陣A記為tr(A).即tr(A)=a11+a22+…+ann(4)tr(AB)=tr(BA)(5)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)A,B,C均為n階方陣第五十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理6的證明：把矩陣A的特征多項式|EA|記為fA(),將這個行列式展開，得到一個關于的n次多項式，其最高次項n出現(xiàn)在主對角元的乘積(a11)(a22)…(ann)中，主對角線上的元素，行列式的展開式中其余的項至多含有n2個因此，第五十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(a11)(a22)(ann)中.fA()=n(a11+a22+…+ann)n1+…(1)這里沒有寫出的項的次數(shù)至多是n2.在(1)式中，令=0,得到fA(0)=(1)n|A|,fA()是(a11)(a22)(ann)因此，fA()中次數(shù)大于n2的項只出現(xiàn)在乘積和一個至多是的一個n2次多項式之和.也就是說，A的特征多項式fA()=|EA|的常數(shù)項等于(1)n|A|.所以第六十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設1，

2，

…，n是矩陣A的全部特征根，fA()=(1)(2)…(n)=n(1+…+n)n1+…+(1)n12…n因此,有1+2…+n=a11+…+ann

12…n=|A|那么,第六十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理7

設是方陣

的個特征值，依次是與之對應的特征向量.如果各不相等，則線性無關.(證明參見教材)注：方陣A的同一特征根的特征向量未必線性相關.第六十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例3三階方陣A的三個特征值分別為求故A可逆而所以解：第六十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五所以(A)的特征值為則(A)的特征值為若A的特征值為于是第六十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設有四階方陣A滿足條件|3E+A|=0,AA'=2E,例4由|3E+A|=0，有|A(3)E|=0,解:又|AA'|=|2E|=24|E|

=16所以|AA'|=|A||A'|=|A|2=16|A|=4A*的一個特征值.|A|<0,其中E是四階單位陣.求方陣A的伴隨陣=3.因為|A|<0,所以|A|=4.得A的一個特征值第六十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設A的屬于=

3的特征向量為，則

A1=又所以|A|A1=即A*=A*=故A*的一個特征值為|A|=4，A*=

|A|A1,第六十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例5設方陣A滿足AA'=E,|A|<0,其中A'是A的轉置,證明:設為A的實特征向量，其所對應的特征值為，(21)'=0'A'A=2'因為為實特征向量，所以，

'>02１=

0||=1'A'='則A=(A)'=()''A'(A)='()由AA'=E'=2'特征值的絕對值等于1.E為單位陣.試證A的實特征向量所對應的第六十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例6設矩陣A滿足A2

3A+2E=0,證明A的特征值只能證:設為A的特征值，=(23+2)

所以23+2=0，故=1或2則A

=，于是取值１或2.為其對應的特征向量(0)0=(A23A+2E)=A2

3A

+2

因為0，第六十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五應用（發(fā)展與環(huán)保問題）為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關系，某地區(qū)提出如下增長模型：

和為第個周期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值.第六十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五即或由此模型及當前的水平，可以預測若干發(fā)展周期后的水平：第七十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五下面利用矩陣特征值和特征向量的有關性質，

A的特征多項式為

所以，A的特征值為來計算A的冪.為此，先計算A的特征值.第七十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五對于特征值，解齊次線性方程組的一個特征向量對于特征值，解齊次線性方程組的一個特征向量可得的屬于可得的屬于第七十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五如果當前的水平恰好等于，則時，即它表明，經(jīng)過n個發(fā)展周期后，工業(yè)產(chǎn)值已達到一個相當高的水平，但其中一半被污染損耗(2n)所抵消，造成資源的嚴重浪費.第七十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五如果當前的水平，則不能直接應用上述方法分析.于是此時由于第七十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五特別地，當時，污染損耗為由上面的分析可以看出：工業(yè)產(chǎn)值為，損耗已超過了產(chǎn)值，經(jīng)濟將出現(xiàn)負增長.盡管的特征向量沒有實際意義但任一具有實際意義的向量都可以表示為的線性組合從而在分析過程中，仍具有重要作用.因中含負分量第七十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五§5.3相似矩陣概念與性質

定義1

設A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，對進行運算稱為對

進行相似變換.可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.使則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似.第七十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五相似矩陣有下列基本性質：(1)反身性:(2)對稱性:(3)傳遞性:A與A相似若A與B相似，則B與A也相似若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(A,B,C為n階方陣)(根據(jù)定義可直接推出上述性質)第七十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五若A與B相似，則

(1)A與B有相同的特征多項式和特征值；

(2)(3)(4)Am與Bm也相似，其中m為正整數(shù).(5)相似矩陣或都可逆或都不可逆，定理1當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似.(證明參見教材)第七十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理2證:若P1AP=B，0是A與B的某個特征值，若x是A關于0的特征向量，P1x是B的關于0的特征向量.根據(jù)已知,Ax=0x

即P1x是B的關于0的特征向量.B(P1x)=P10x兩邊同時左乘P1,PBP1x=0x則A=PBP1所以即又因為P1AP=B得到=0

(P1x)第七十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五定理3證:若n階方陣A與對角陣由定理1,相似陣有相同的特征值,則1,2,…n是A的n個特征值.相似,也是A的特征值.因此1,2,…n既是的特征值,第八十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五矩陣可對角化的條件

使P1AP=為對角陣,若方陣A相似于一個對角矩陣,定義則稱A可以對角化.使為對角陣.把方陣A對角化，即存在可逆陣P,即求相似變換陣P第八十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五如果n階方陣A有n個互不相等的特征值，是A有n個線性無關的特征向量.則A與對角矩陣相似.定理4n階方陣A相似于n階對角矩陣的充要條件推論(證明參見教材)第八十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五從定理的證明過程中，我們可以看出把一個(1)先求出A的全部特征根.*(3)如果對每一個特征根來說,相應的齊次線性(2)對每一個特征根，求出齊次線性方程組(AE)X=0的基礎解系.數(shù),則A可以對角化,否則不能對角化.方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)等于的重矩陣對角化的具體步驟：(4)以這些解向量為列,作一個n階矩陣P,則P1AP為對角形矩陣.第八十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例1求可逆矩陣P,使P1AP為對角矩陣.A=解：A的特征多項式為|EA|=(2)2(+4)(1)當1=4時，

代入齊次線性方程組特征根為1=4，2=3=2(E

A)x=0第八十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五即基礎解系為第八十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(2)當2=3

=2時，代入齊次線性方程組即基礎解系為(E

A)x=0第八十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五A有3個線性無關的特征向量，因此A可以對角化取則P1AP=第八十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例2的特征值為1=2=3，3=12，求x值，已知矩陣A=解:根據(jù)1+2+3=a11+a22+a33于是3+3

+12

=7+7+x得

x=4并問矩陣A是否可以對角化.第八十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五對于1=2=3，解齊次線性方程組(3EA)X=0即得特征向量第八十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五對于3=12，解齊次線性方程組(12EA)X=0即得特征向量因此1,

2,3線性無關，故矩陣A可對角化第九十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例3相似，求x，y值.設方陣A=解(1)2(x)16(x)8(1)+32=0(*)由對角陣的對角元素與原方陣特征值的關系，與對角陣=由|EA|=0有可知=5,=4均為方程(*)的解，于是第九十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五將=4代入方程(*)，得25(x+4)16(x+4)72=0又1+2+3=a11+a22+a33即1+4+1=5+y4x=4y=5第九十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例4已知矩陣與相似.（1）求與；（2）求一個可逆矩陣，使

（3）求第九十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五解：

(1)因A與B相似，故即第九十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五將代入有；（2）的特征值為1，2，2，將代入有解齊次線性方程組可分別求得A的特征值對應的特征向量第九十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五于是所求可逆矩陣

使（3）由于，于是

第九十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五所以第九十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五第九十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設A=使P1AP=再求An

求：An例5解：先求P，容易求出A的特征值為1，1，0=

[PP1]n=PnP1第九十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五§5.4實對稱矩陣的相似矩陣定義設A,B是兩個n階實矩陣,如果存在一個對于正交陣P,

正交陣P,使得P1AP

=B,則稱A與B正交相似.因此,此時有PAP

=B.有P1=P,第一百頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五實對稱矩陣特征值的性質

實對稱矩陣A的特征值均為實數(shù).定理1證：

設是A的特征值，

并設

x=(x1,x2,…,xn)T0是的特征向量,(只需證明即可)(1)式兩邊取共軛，則Ax=x(1)

根據(jù)共軛復數(shù)的性質，有因為A是實對稱矩陣，(2)有第一百零一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(2)式兩邊取轉置，則上式兩邊同時右乘x，所以即但

x0所以因此第一百零二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.定理2證：設1,2是實對稱陣A的兩個不同特征值，1，2分別是1,2特征向量，則由得上式兩邊同時右乘2，有第一百零三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五因此有因為所以即即1，2正交.注：普通方陣A的屬于不同特征值的特征向量線性無關.第一百零四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設是n階實對稱矩陣A的r重特征值，定理3特征值恰有r個線性無關的特征向量.則矩陣AE的秩為nr，從而對應(證明略)第一百零五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五實對稱矩陣的相似理論

定理4

任意實對稱矩陣A都與對角矩陣相似.定理5設A為n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣P,使P1AP=,其中是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣.(以上兩個定理的證明參見教材)第一百零六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五實對稱矩陣對角化方法n階實對稱矩陣A對角化的具體步驟:(2)求出A的屬于各特征值的特征向量，將屬于(3)將所求的正交向量組單位化.(4)用已標準正交化的特征向量作為列向量得到正交陣P.同一特征值的特征向量用施密特方法正交化.(1)求出A的所有特征值第一百零七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例1

設求一個正交矩陣P，使為對角矩陣.A的特征方程為

解:第一百零八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五當時，解方程組得基礎解系單位化后得

當時，解方程組故的特征值為

第一百零九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五得基礎解系

這兩個向量已是正交，故只須將其單位化,得

第一百一十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五于是求得正交矩陣

使第一百一十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五此時須先將正交化值得注意的是，對于的二重特征值上面求得的碰巧是正交的，故不必正交化，只要單位化即可.但如果求得的基礎解系為第一百一十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五取再單位化，得

第一百一十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五于是又得正交矩陣

第一百一十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五使這也說明，定理5中的正交矩陣P是不唯一的.第一百一十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設6,3,3為實對稱陣A的特征值，屬于3例2(1)求屬于6的特征向量.

(2)求矩陣A.

的特征向量為第一百一十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五解:設屬于6的特征向量為

由定理知,屬于實對稱陣的不同特征值的特征向量正交

所以有(1,0,1)=0,(1,2,1)=0第一百一十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五于是有即基礎解系為第一百一十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五可以驗證：已正交將它們單位化第一百一十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五則所求正交陣為第一百二十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五第一百二十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例3A的特征方程為：得A的特征值

1=1，2=2，3=5求正交陣T，使T-1AT為對角陣。為實對稱矩陣，設解：第一百二十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五將

1=1代入方程(A

E)X=0，得一屬于1=-1的特征向量將

2=2代入方程(A

E)X=0，得一屬于2=2的特征向量將

3=5代入方程(A

E)X=0，得一屬于3=5的特征向量第一百二十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五已兩兩正交分別屬于三個不同的特征值所以因為再把單位化：取正交陣于是有T-1AT=Λ第一百二十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五第一百二十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五一關于特征值和特征向量的重要公式和結論第五章小結設A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關系式Ax=x

成立，則稱是A的特征值,非零列向量x稱為A的對應于特征值

的特征向量.可能是復數(shù)，A的元素和x的分量也可能是復數(shù).注：A必須是方陣.(一)概念第一百二十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五1.

是A的特征值|AE|=0(AE)不可逆2.

x是的特征向量x是方程組(AE)x

=0的非零解4.若是A的關于特征值的特征向量,則k(k0)也是A的關于的特征向量.3.若是A的關于特征值的特征向量,則A與線性相關.5.若,都是A的特征值的特征向量，則k1+k2

也是的特征向量.(其中k1，k2為任意常數(shù)，且k1

+k20).第一百二十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(二)重要公式和結論1.任一n階矩陣A必有n個復的特征值.但特征矩陣和特征向量不一定相同.2.A與AT有相同特征多項式、特征方程、特征值,3.設1,2,…,n是n階方陣A=(aij)的特征值，則推論:A可逆的充要條件是A的特征值均不為0.第一百二十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五4.設是A的k重特征值,則knR(AE).6.設1,2,…,n是A的一組特征向量,如果其中屬于同一5.設1,2,…,m是方陣A的m個特征值，且互不相等，p1,p2,…,pm依次是與之對應的特征向量，則注：方陣A的同一特征根的特征向量未必線性相關.p1,p2,…,pm線性無關.特征值的特征向量構成的部分都線性無關，則1,2,…,n也線性無關.第一百二十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五7.設1,2是方陣A的兩個特征值，且12，分別是1,2的特征向量，p1,p2則p1+p2不是A的特征向量.8.設是方陣A的特征值,k是常數(shù)，m是正整數(shù)則kA,

A2,

Am,

aA+bE,

f(A),

A1,A*

分別有特征值為k,2,m,

a+b,

f(),

-1,

設x是A的對應于特征值的特征向量,則x也是kA,

A2,

Am,

aA+bE,

f(A),

A1,A*對應于特征值k,2,m,

a+b,

f(),

-1,的特征向量.第一百三十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五9.設

f(x)是多項式,A是n階方陣，是A的特征值,若A滿足

f(A)=0,則滿足

f()=0.注：若數(shù)c滿足

f(c)0,則c不是A的特征值,從而|AcE|

0，即AcE可逆.但是，當數(shù)c滿足

f(c)=0時,不能確定c是A的特征值,從而不能確定AcE是否可逆.第一百三十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(三)一些特殊矩陣的特征值和特征向量1.n階對角矩陣3.

n階單位矩陣E的特征值都是1.4.n階零矩陣的特征值是0.2.

n階數(shù)量矩陣aE的特征值都是a,且任意n維非零列向量都是它的特征向量.的特征值是1,2,…n.第一百三十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五5.

設n階方陣A(n>1)的秩r(A)=1,則A的n個特征值為證：因為r(A)=1,所以A=0即0是A的一個特征值，其重數(shù)又因為A的n個特征值之和為tr(A),所以，A的n個特征值為第一百三十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五因此，當tr(A)=0時,A的n個特征值均為0，其重數(shù)n>nr(A)=n1此時A不可以對角化.當tr(A)0時,特征值0的重數(shù)為n1，此時A可以對角化.其重數(shù)=nr(A)第一百三十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五如果方陣A

滿足

（即A1=AT）那么A稱為正交矩陣(簡稱正交陣).

三關于正交矩陣的重要公式和結論AAT=E注：通常用定義判斷一個矩陣是否為正交矩陣.

第一百三十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五1.若A是正交矩陣，則A1和AT也是正交矩陣.2.兩個正交陣的乘積仍是正交陣.3.正交陣的行列式等于1或1.4.正交陣的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交陣的兩不同行(列)的對應元素乘積之和等于0.重要公式和結論6.A為正交矩陣的充要條件是A的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組.

第一百三十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五

設A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P

，使

則稱B是A

的相似矩陣，或說矩陣A與B相似.四關于相似矩陣和對角化的重要公式和結論相似矩陣有下列基本性質:反身性,對稱性,傳遞性若方陣A相似于一個對角矩陣,則稱A可以對角化.若有正交陣P,使

則稱A與B正交相似.(此時有PTAP

=B).1.2.3.4.第一百三十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五若A與B相似，則

(1)A與B有相同的特征多項式和特征值；

(2)(3)(4)Am與Bm也相似，其中m為正整數(shù).(5)相似矩陣或都可逆或都不可逆，當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似.(6)AT與BT也相似第一百三十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五A有n個互不相等的特征值A有n個線性無關的特征向量.判斷一個n階方陣A是否可以對角化的常用方法：1.A可以對角化2.A可以對角化對于A的每個特征根，其重數(shù)k=nR(AE).3.A可以對角化第一百三十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五五關于實對稱矩陣的重要公式和結論1.

特征值均為實數(shù).2.屬于不同特征值的特征向量相互正交.3.對每個特征值，其重數(shù)k=nR(AE).4.

實對稱矩陣都可以對角化，且可以正交對角化.第一百四十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五六.典型例題例1

設

(1)求A的特征值

(2)利用(1)的結果求E+A1

的特征值,E是三階單位陣.解：

(1)第一百四十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五

故矩陣A的特征值為：1,1,5.

(2)設矩陣A對應于特征值的特征向量為x,則

Ax=x于是可得矩陣E+A1的特征值為2,2,故知1+1是矩陣E+A1的特征值,將=1,1,5代入1+1,第一百四十二頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五注:

(1)在計算EA時,盡量不要直接展開得一個分解出一次因式.

(2)在計算EA時,如果各行(或列)之和都相等,

例如在例1中,計算EA時,直接展開得分解因式時可能會遇到困難.通常把相等的部分提出來.或把某個不含的元素化為零.三次多項式,通常是在計算EA的過程中,直接第一百四十三頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例2

把|EA|的各列加到第一列,得解：求矩陣的實特征值及對應的特征向量.第一百四十四頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五

有唯一實特征值=1,解得x1=x2=x3,基礎解系為=(1,1,1)T,故對應于=1的全部特征向量為k(1,1,1)T,k為非零常數(shù).對應=1,由(1EA)x=0得第一百四十五頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五例3

選擇題(1)設=2是非奇異矩陣A的特征值,則矩陣有一特征值等于(2)若n階矩陣A的任意一行中n個元素的和都是a,則A的一個特征值為(A)a(B)a(C)0(A)a1()()第一百四十六頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(4)設A為n階可逆矩陣,1,2是A的特征值,

(A)1=2時,1,2一定成比例.(B)1=2時,1,2一定不成比例.(C)12時,1,2一定成比例.(D)12時,1,2一定不成比例.1,2是A的分別對應于1,2的特征向量,則(3)設A為n階可逆矩陣,是A的一個特征值,

則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是(A)

1|A|n(B)

1|A|(C)|A|(D)|A|n()()第一百四十七頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五解：(1)(2)BA2有一特征值22，A有一特征值等于有一特征值所以

把|EA|的各列加到第一列,可提出公因子a,所以，A的一個特征值為a.(3)B第一百四十八頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五(4)D當1=2為重根時,可能有多于一個的線性無關的特征向量，也可能只有一個線性無關的特征向量，所以A,B均不成立.當12時,1,2屬于不同的特征根，因此線性無關，即1,2一定不成比例.第一百四十九頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設1,2是n階矩陣A的不同特征值,1,2是A的分別屬于1,2的特征向量，例4

證明:1+2不是A的特征向量證：

用反證法若1+2為A的屬于某特征值的特征向量,則由定義有A(1+2)=(1+2)根據(jù)已知從而有A1=11,A2=22得A(1+2)=A1+A2=11+2211+22=(1+2)即(

1)

1+(

2)2=0第一百五十頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五因為1,2屬于不同的特征值,所以1,2線性無關,故1+2不是A的特征向量.于是(

1)=0,(

2)=0即有1=2=此與題設矛盾.第一百五十一頁，共一百六十頁，編輯于2023年，星期五設A為三階方陣，有三個不同的特征值1,2,3,對應的特征向量依次為