2021屆高考數(shù)學二輪專題復(fù)習講義（新高考）專題6第3講圓錐曲線的綜合問題

第3講圓錐曲線的綜合問題

「考情研析」1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載

體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點、定值問題，探索性問題.2.

試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對

計算能力也有較高要求，難度較大.

熱點考向探究

考向1最值與范圍問題

角度1最值問題

例1（2020.山東省煙臺市高考適應(yīng)性練習）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線

C：V=2pM?>0）的焦點，過尸且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點，△AOB

的面積為8^2.

（1）求拋物線。的方程；

（2）若尸為C上位于第一象限的任一點，直線/與。相切于點P,連接PR并

延長交。于點M,過P點作/的垂線交C于另一點M求△PMN面積S的最小

值.

方法指導J

解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法.幾何法是根據(jù)已知的幾

何量之間的相互關(guān)系，結(jié)合平面幾何和解析幾何知識加以解決的（如拋物線上的點

到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等）；代數(shù)法是建立求解目標關(guān)于某

個（或兩個）變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值（利用普通方法、基本不等式法或?qū)?/p>

數(shù)法等）解決的.

T對點精練

（2020.山東省日照市高三6月校際聯(lián)合聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，

拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)（2>0）的焦點為￡A為拋物線上異于原點的任意一點，以A。

為直徑作圓。，當直線OA的斜率為1時，|O4|=4&.

(I)求拋物線C的標準方程；

(2)過焦點口作0A的垂線/與圓。的一個交點為M,/交拋物線于P,Q兩

3

點(點M在P,Q之間)，記△QAM的面積為S,求S?+習PQ|的最小值.

角度2范圍問題

例2(2020.河北省衡水中學第九次調(diào)研考試)如圖，橢圓C：樂+方=1(。9>0)

的左、右焦點分別為￡,F2,離心率為個，過拋物線C：r=4勿的焦點F的直

線交拋物線于M,N兩點，當時，M點在x軸上的射影為人連接NO,

MO并延長分別交。于A,B兩點，連接AB,△OMN與△QAB的面積分別記為

S^OMN

S^OMN和S^OAB,設(shè)％=

SAOAB'

⑴求橢圓。和拋物線C2的方程；

⑵求2的取值范圍.

方法指導」與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法

(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出臨界位置后數(shù)形結(jié)合求解.

(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式

求解.

(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.

■對點精練

(2020.山東省濰坊市三模)設(shè)拋物線E：￡=2"，30)的焦點為F,點A是E上

一點，且線段AP的中點坐標為(1,1).

(1)求拋物線E的標準方程；

(2)若8,C為拋物線E上的兩個動點(異于點A),且8A1BC,求點C的橫坐

標的取值范圍.

考向2定點與定值問題

角度1定點問題

例3(2020.中國人民大學附中模擬)已知橢圓C:$+*=1(。＞?！?),四點

Pi(l,l),P2(0,l),尸3(-1,坐)，當中恰有三點在橢圓C上.

⑴求。的方程；

(2)設(shè)直線I不經(jīng)過P2點且與C相交于A,8兩點.若直線PiA與直線P2B的

斜率的和為-1,證明：/過定點.

歷法指導,圓錐曲線中定點問題的兩種解法

(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化的量，再研究

變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.

(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與

變量無關(guān).

提醒：(1)直線過定點，常令參數(shù)的系數(shù)等于0即可.如直線＞'=履+仇若萬

為常量，則直線恒過點(0,by,若《為常量，則直線恒過點(-￡0)

(2)一般曲線過定點，把曲線方程變?yōu)榱?x,＞)+初(匚＞)=0(%為參數(shù)).解方

力(x,y)=0,

程組,，、八即得定點坐標.

y)=0,

「對點精練

（202。河北省保定市二模）已知橢圓C:$+￡=13泌〉0）的離心率為;，且以

橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為24.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經(jīng)過定點。（〃?,0）（〃?＞2）的直線/交橢圓C于不同的兩點M,N,點M關(guān)于

x軸的對稱點為M',試證明:直線M'N與x軸的交點S為一個定點，且QQHOSI

=4（0為原點）.

角度2定值問題

例4（2020?山東省濟南市二模）已知橢圓C:叁+石=13＞?！?）的左頂點和下

頂點分別為A,B,陰=2小，過橢圓焦點且與長軸垂直的弦的長為2.

（1）求橢圓。的方程；

⑵已知M為橢圓。上一動點（M不與A,8重合），直線AM與y軸交于點P,

直線與x軸交于點Q,證明：IAQHBPI為定值.

方法指導」圓錐曲線中定值問題的兩種解法

（1）首先由特例得出一個值（此值一般就是定值）然后證明定值：即將問題轉(zhuǎn)化

為證明待證式與參數(shù)（某些變量）無關(guān).

（2）先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其

絕對值相等的正負項相抵消或分子、分母約分得定值.

「對點精練

已知橢圓C「+營=1（。泌＞0）的離心率為坐，點42,的在橢圓上，。為

坐標原點.

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知點P,M,N為橢圓C上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證

明四邊形。PMN的面積S為定值，并求出該定值.

考向3探索性問題

22

例5（2020.湖北省黃岡市模擬）已知橢圓C:招+方=1（。＞人＞°）的左、右焦

點分別為點Fi,左、右頂點分別為A,B,長軸長為4,橢圓上任意一點P（不

3

與A,B重合)與A,8連線的斜率乘積均為-不

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過點B的直線外與橢圓C交于M,N兩點，過點尸2的直線/2與橢

圓。交于P,Q兩點，且/1///2,試問：四邊形MNPQ可否為菱形？并請說明理

由.

方法指導」

解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決

這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明確化.其步驟為：假設(shè)滿

足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定

系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，

元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.

■對點精練

(2020.廣東省韶關(guān)市二模)在直角坐標系x°y中，已知點A(-2,2),伏2,2),直

線AO,BD交于D,且它們的斜率滿足kAD-kBD=-2.

(1)求點。的軌跡。的方程；

(2)設(shè)過點(0,2)的直線/交曲線。于P,。兩點，直線OP與。。分別交直線y

=-1于點M,N,是否存在常數(shù)九使SMPQ=1^OMN?若存在，求出人的值；

若不存在，說明理由.

真題“押題

『真題檢驗』

1.（2020?全國卷I）已知A,B分別為橢圓E：，+9=1（。＞1）的左、右頂點,

G為E的上頂點，尼?訪=8,P為直線x=6上的動點，布與E的另一交點為C,

與E的另一交點為D

⑴求E的方程；

（2）證明：直線C。過定點.

2.（2020.新高考卷II）已知橢圓C：捻+5=13*0）過點M（2,3）,點A為其

左頂點，且AM的斜率為g.

⑴求C的方程；

（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

3.（2020.新高考卷I）已知橢圓C：5+方=1（。乂＞0）的離心率為筆且過點

A（2,l）.

⑴求。的方程；

（2）點M,N在。上，且AM1AN,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點Q,

使得D0I為定值.

『押題』

4.橢圓C:今=1（。＞匕＞°）的焦距是8啦，長軸長是短軸長的3倍，任

作斜率為;的直線/與橢圓。交于A,B兩點（如圖所示），且點P（3/，啦）在直線

/的左上方.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若|4陰=2①，求的面積；

（3）證明：△出8的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

專題作業(yè)

1.(2020.山東省德州市一模)已知拋物線E：f=2py(p>0)的焦點為尸，圓M

的方程為％2+V_p)，=0,若直線x=4與x軸交于點R,與拋物線交于點Q,且應(yīng)用

=1\RQ\.

(1)求拋物線E和圓M的方程；

(2)過焦點F的直線/與拋物線E交于A,B兩點，與圓M交于C,。兩點(A,

。在y軸同側(cè))，求證：IACHDBI是定值.

?2

2.(2020?山東省泰安市三模)已知橢圓”+%=K。?>°)的右頂點為A,上頂

2R

點為B,。為坐標原點，點。到直線AB的距離為拶，△048的面積為1.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)直線/與橢圓交于C,。兩點，若直線///直線AB,設(shè)直線AC,8。的斜

率分別為M,k2,證明:幾近為定值.

3.已知拋物線C的方程為丁=2*5>0),點R(l,2)在拋物線。上.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點。(1,1)作直線交拋物線C于不同于坐標原點及火的兩點A,B,若直

線AR,)?分別交直線/：y=2x+2于M,N兩點，求|用2最小時直線AB的方程.

4.(2020.山東省泰安市二模)已知橢圓C:^+p=1(。>/?0)的離心率e滿足2e2

-3啦e+2=0,以坐標原點為圓心，橢圓C的長軸長為半徑的圓與直線2x-y+

4小=0相切.

⑴求橢圓。的方程；

⑵過點P((M)的動直線/(直線I的斜率存在)與橢圓C相交于A,B兩點，問

在y軸上是否存在與點尸不同的定點Q,使得船｛=衰恒成立？若存在，求出

定點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

5.(2020.山東省實驗中學高考預(yù)測卷)已知拋物線「：y=2px(p>0)的焦點為

F,尸是拋物線，上一點，且在第一象限，滿足而=(2,2仍).

(1)求拋物線廣的方程；

(2)已知經(jīng)過點A(3,-2)的直線交拋物線廣于M,N兩點，經(jīng)過定點3(3,-

6)和M的直線與拋物線〃交于另一點L,問直線NL是否恒過定點？如果過定點，

求出該定點，否則說明理由.

6.(2020?湖南省常德市模擬)有一種曲線畫圖工具如圖1所示.。是滑槽

的中點，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處較鏈與。N連接，MN上的栓

子?？裳鼗刍瑒樱襉N=ON=T，0M=1.當栓子。在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)

運動時，帶動N繞。轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的曲線記為C.以。為原點，A3所在

的直線為X軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

人

圖2

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)設(shè)B為曲線C的右焦點,P為曲線C上一動點，直線PF2的斜率為k(kWO),

且尸B與曲線。的另一個交點為Q,是否存在點7(0,。，使得NTPQ=NTQP?

若存在，求出f的取值范圍；若不存在，請說明理由.

7.(2020.山東省濟南市一模)在平面直角坐標系xQy中，

①已知點A(小，0),直線/：x=半，動點P滿足到點A的距離與到直線/

的距離之比為竽；

②已知圓C的方程為『+f=4,直線/為圓C的切線，記點4小，0),B(-

3,0)到直線/的距離分別為M,d2,動點P滿足|例=4,\PB\=d2；

③點S,T分另在x軸、y軸上運動，且⑼=3,動點P滿足舁=|示+；而

(1)在①②③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；

(2)記(1)中的軌跡為E,經(jīng)過點。(1,0)的直線/'交E于M,N兩點，若線段

MN的垂直平分線與y軸相交于點Q,求點Q縱坐標的取值范圍.

8.(2020.山東省青島市三模)已知直線/.過坐標原點0且與圓x2+產(chǎn)=4相交

于點A,B,圓M過點A,8且與直線y+2=0相切.

(1)求圓心M的軌跡C的方程；

(2)若圓心在x軸正半軸上面積等于2兀的圓W與曲線C有且僅有1個公共點,

①求出圓W的標準方程；

②已知斜率等于-1的直線/2交曲線。于E,F兩點,交圓W于P,Q兩點,

求\揚EF]｝的最小值及此時直線，2的方程.

第3講圓錐曲線的綜合問題

「考情研析」1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載

體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點、定值問題，探索性問題.2.

試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對

計算能力也有較高要求，難度較大.

熱點考向探究

考向1最值與范圍問題

角度1最值問題

例1(2020.山東省煙臺市高考適應(yīng)性練習)已知。為坐標原點，F(xiàn)為拋物線

C：尸=2*(〃>0)的焦點，過/且斜率為1的直線交拋物線于A,8兩點，XAOB

的面積為872.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若P為C上位于第一象限的任一點，直線/與。相切于點P,連接PF并

延長交。于點M,過P點作/的垂線交。于另一點N,求△PMN面積S的最小

值.

解(1)由已知，得直線的方程為y=

設(shè)AM,yA),B(XB,ye),

yi=2px,

聯(lián)立，n可得y2-2py-p2=0,顯然/>0,

y=x-2，

貝llyA+yB=2p,yAys=-p1.

于是似-ys\=\j(yA+yB)2-4yAyB=^4/72+4p2=2啦p.

S&AOB=gX§X_yn\=坐p2=8^2,

所以P=4.

故拋物線。的方程為V=8x.

⑵設(shè)尸(xo,yo)(>-o>O),喂，y[,戲，”)，切線/的方程為io=r(y-yo),

則有國;=(r2,yi),喬=(三一2,yo),由M,F,P三點共線，可知前//

FP,即值-2卜一停一2卜=0,

因為y()#yi,化簡可得yoy=-16.

\x-xo=t(y-yo),

S],可得y2-8"+8(yo-8xo=0,

tr=8x,

因為直線/與拋物線相切，故/uGM-SZfyo+M”故,=學

所以直線PN的方程為y-yo=-5。-次)，即

yox+4y-4yo_g=0,

,y?yo，“血

Ig+4yi-4yo-^-|

點M到直線PN的距離為d=-----r^=----

\jyi+16

,32“血

16。+貨+不

將6=—而代入可得，

沖Yy6+16

_。4+16)2

81yol由m，

vox+4y-4w-'T-=0,

聯(lián)立￡-'8

)2=8X,

消去X可得，yoy2+32y--32yo=0,

3232

所以y°+”=一品”

16

\PN\=+資伙)->2|=

11僚+16）2

故5=刊取=野而語*

2()j+16)d)3+16）。+卸16出RyoX部3=64,當且僅當

yo=4時，"="成立,

此時，△「?斷面積S的最小值為64.

方法指導」

解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法.幾何法是根據(jù)已知的幾

何量之間的相互關(guān)系，結(jié)合平面幾何和解析幾何知識加以解決的（如拋物線上的點

到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等）；代數(shù)法是建立求解目標關(guān)于某

個（或兩個）變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值（利用普通方法、基本不等式法或?qū)?/p>

數(shù)法等）解決的.

?對點精練

(2020.山東省日照市高三6月校際聯(lián)合聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，

拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為￡A為拋物線上異于原點的任意一點，以AO

為直徑作圓Q,當直線QA的斜率為1時，|。4|=4也.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過焦點尸作04的垂線/與圓。的一個交點為M,/交拋物線于P,。兩

3

點(點M在P,Q之間)，記△OAM的面積為S,求W+習PQ|的最小值.

解⑴當%=1時，可得A(2p,2p),

\'\OA\==\)4p2+4p2=2y12p,.*./?=2,

???拋物線C的標準方程為/=4x.

(2)設(shè)A(xi,yi),M(xo,yo),P(X2,”)，Q(X3,”)，

OAFM=O=>%ixo+ylyo-xi=0,

根據(jù)題意有_一

OM-AM=-x\xo+W-y\yo=0,

即焉+W=xi,

又|AM|2=|0A|2-\OM]2=x?+y?-(^+>6)=x?+y?-xi=x?+3xi,

/.S=^\AM\-\OM\=+3%1??^+

0S2=$I(6+3?),

由題意可知，直線PQ的斜率一定存在且不為0,

x=ny+1,

設(shè)/PQ：x=ny+1,.*.]^y2-4ny-4=0,

9=4x

.??丁2+”=4凡/”=-4,

-\PQ\=ypTr^\y2-y3\

=4]+層.q62+”)2-4y2y3

=4(1+n2),

\PQLOA,

-'-kPQ-^=一1=〃=一導|PQ=4(1+/)=4(1+￡|,

：.S2+^\PQ\=^x\(x?+3xi)+6(^1+T),

令/(x)=1x(x2+3尤)+60+'(x)=+2\~~

令g(x)=犬+2/-32,貝ijg(x)在》>0時單調(diào)遞增，

又g(2)=0,.??當x€(0,2)時，g(x)<0,

x€(2,+8)時,g(x)>0,

即當X6(0,2)時，7U)單調(diào)遞減，

當x€(2,+8)時，4X)單調(diào)遞增.

???當X=2時，fix)min=23.

3

即S2+/Q的最小值為23.

角度2范圍問題

例2（2020.河北省衡水中學第九次調(diào)研考試）如圖，橢圓+1（?>^>0）

的左、右焦點分別為n,Fl,離心率為彳，過拋物線a：f=4勿的焦點尸的直

線交拋物線于M,N兩點，當|M同=（時，M點在x軸上的射影為Q.連接NO,

MO并延長分別交C于A,B兩點，連接AB,aOMN與△048的面積分別記為

、S&OMN

S&OMN和S^OAB,設(shè)％=T?

(1)求橢圓。和拋物線C2的方程;

⑵求％的取值范圍.

解(1)由拋物線定義可得M(-c,(

???點M在拋物線f=4勿上，

.,./=4〃弓-匕)，gpc2=7b-4b2,①

又由、坐，得/=3序，將上式代入①，得加=7d解得8=1,."=小,

.*.67=2,

,橢圓G的方程為］+9=1,拋物線C2的方程為f=4卜

y=kx+1,

(2)設(shè)直線MN的方程為y=辰+1由j,

消去)，整理，得爐-4履-4=0,

設(shè)M（xi,yi）,N（X2,”），則xix2=-4,

i/y2yli1

設(shè)koN-m,koM-m'則相加=xm=

=x2^16-4>

：.m'=--r~,②

4/n

設(shè)直線ON的方程為y=mx(m>0),

y=twc,

由j，解得X2=4m,

〔f=4y,

|CW|=1+m2\x2\=4m\]1+nr,

由②可知，用-七代替加，可得汨=-5，

???QM=寸+（一排刈*/1+春

y=mx,

2

設(shè)4（X4,/），8（XB,沖），由JX9,

彳+9=1，

2

解得必二而47,

：.\OA\=yj1+m2|xA|=

12

用一詬代替加，可得XB=~]

“Aw+1

1

則lOMsin/MON

Sa(MB邸in/AOB

JON\-\OM\

=\OA\-\OB\

?.：的取值范圍為[2,+8).

方法指導J與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法

(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出臨界位置后數(shù)形結(jié)合求解.

(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式

求解.

(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.

?對點精練

(2020.山東省濰坊市三模)設(shè)拋物線E：/=2外。＞0)的焦點為E,點A是E上

一點，且線段AF的中點坐標為(1』).

(1)求拋物線E的標準方程；

(2)若8,C為拋物線E上的兩個動點(異于點A),且剛18C,求點C的橫坐

標的取值范圍.

解⑴依題意，得/(0,2)>設(shè)AQ),加)，

1"2,

由的中點坐標為(1,1),得《2

J=2，

即xo=2,yo=2-2,

所以4=2p(2-用，得〃2一4〃+4=0,即p=2,

所以拋物線E的標準方程為x2=4y

⑵由題意知A(2,l),設(shè)“,&,￡),

mT]

則kBA=j_2=4^'+2)，

4

因為X學一2,所以法=-R，

x?一4

故BC所在直線方程為y-1=77Kx-幻).

f3-4Z\

聯(lián)立『片K(…I),

=4y,

因為得(x+xi)(xi+2)+16=0,即X+(x+2)xi+2x+16=0,

因為/=(x+2)2—4(2%+16)20,即尤2一4%—6020,

故x210或xW-6.

經(jīng)檢驗，當x=-6時，不滿足題意.

所以點C的橫坐標的取值范圍是X210或x<-6.

考向2定點與定值問題

角度1定點問題

例3（2020.中國人民大學附中模擬）已知橢圓C:薩+次=1（。＞。〉0）,四點

尸2（0,1）,P3（-l,孚），P[1,當中恰有三點在橢圓。上.

⑴求。的方程；

（2）設(shè)直線I不經(jīng)過尸2點且與C相交于A,8兩點.若直線尸必與直線P2B的

斜率的和為-1,證明：/過定點.

解（1）由于臼，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題意知。經(jīng)過P3,P4兩點.

1113

又由U++正知，。不經(jīng)過點尸1，所以點尸2在。上.

6=1,[a2=4,

因此I3?解得*L

原+福=1，

故c的方程為5+9=1.

（2）證明：設(shè)直線「皿與直線必3的斜率分別為%,k2,如果/與X軸垂直,

設(shè)/:x=t,由題意知rWO,且罔＜2,

可得A,8的坐標分別為t,,t,—小；

、/4-Z2-2」4-F+2

則處+心=2t-2t二一1，

解得/=2,不符合題意.

%2

從而可設(shè)/-y=kx+1),將y=履+m代入+y2=1得(4F+I)%2+8klwc

+4m2-4=0.

由題設(shè)可知/=16(43-m2+l)>0.

8km

設(shè)A(xi,yi),8(x2,y2),貝lJxi+X2=

4儲+1'

4m2-4

X\X2=T4T公?+1??

y\-1yi-1Axi+m-1kxi+m-12kx\xi+(m-l)(xi+X2)

而％+42++

XIX2XIX2X\X2

由題意ki+ki=-1,故(2Z+1)x1x2+(m-l)(xi+X2)=0.

4m2-4

即3+1).赤7+(〃一).訴7=8

當且僅當加>-1時，/〉0,

故/：y=-2X+機，即y+1=—2(九一2)，

所以/過定點(2,-1).

方法指導J

(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化的量，再研究

變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.

(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與

變量無關(guān).

提醒：(1)直線過定點，常令參數(shù)的系數(shù)等于0即可.如直線y=乙+仇若b

為常量，則直線恒過點(0,by,若工為常量，則直線恒過點￡o).

(2)一般曲線過定點，把曲線方程變?yōu)榱?x,>)+初(x,y)=0(%為參數(shù)).解方

力(x,y)=0,

程組一、八即得定點坐標.

y)=0,

■對點精練

(202。河北省保定市二模)已知橢圓C:5+泌〉0)的離心率為;，且以

橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為2小.

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過定點。(〃?,0)(〃?>2)的直線/交橢圓C于不同的兩點M,N,點M關(guān)于

x軸的對稱點為“，試證明:直線M'N與x軸的交點S為一個定點，且100Hos|

=4(0為原點).

a=2,

解(1)由題意得<gx2ab=2小,解得a=2,b=yj3.

、。2=〃+,2,

所以橢圓C的方程為千+1=1.

(2)證明：由題意知直線/的斜率一定存在，設(shè)為3

設(shè)M(xi,)|),N(X2,y2),則M'(XI,—yi),設(shè)S(〃,0),

y=k(x_m),

聯(lián)立/y2消去y得

自+3=1，

(3+4^2)X2-Sl^nvc+4Zr/?z2-12=0,

3

由/>0得(4一m2/+3>0,即標<京工時，M,N一定存在，

8——4鏟〃?2-12

所以加+尤2=47+3,X1X2=4冒+3.

當斜率左不為0時，因為M',N,S三點共線，版s=kNs,二1

x\-nXi-n

即yi{x\-n)+yi(%2-n)=0,

即k(x2-m)(x)-〃)+k(x\-777)(X2-n)=0,

化簡得2XIM-(〃+m)(xi+X2)+2mn=0,

mn-44

化簡得行+3=0,即加"=4,n=~,

所以毛，o)，且QQHOS|=〃?〃=4.

當斜率Z=0時，直線M'N與x軸重合，直線M'N也過點S像，0),結(jié)論

也成立.

綜上，直線M'N與x軸的交點S為一個定點俱，0),且|OQHOS|=4.

角度2定值問題

92

例4（2020.山東省濟南市二模）已知橢圓C:，+石=1（“泌〉0）的左頂點和下

頂點分別為A,B,\AB\=2yf5,過橢圓焦點且與長軸垂直的弦的長為2.

（1）求橢圓C的方程;

（2）已知M為橢圓。上一動點（M不與4,8重合），直線AM與y軸交于點P,

直線與光軸交于點Q,證明：IAQHBPI為定值.

“一人。=4

解⑴由題意可知2〃解得，.

—=2,b=2

a9i

y22

所以橢圓C的方程為正+:=L

(2)證明：A(-4,0),5(0,-2),

設(shè)M(xo,yo),P(0,yp),Q(XQ.O),

因為M(xo,yo)在橢圓。上，所以好+4^=16,

由A,P,M三點共線得已巧，即?=磊,

同理可得XQ=..

yo+2

所以|40|.|5P|=|XQ+4|.|?+2|

2x0+4yo+82xo+4yo+8

-yo+2xo+4?

4(x6+4網(wǎng)+16+4xoyo+8xo+16yo)

一：(xo+4)(yo+2)

所以|AQ|.|3P|為定值16.

歷法指導,圓錐曲線中定值問題的兩種解法

（1）首先由特例得出一個值（此值一般就是定值）然后證明定值：即將問題轉(zhuǎn)化

為證明待證式與參數(shù)（某些變量）無關(guān).

（2）先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其

絕對值相等的正負項相抵消或分子、分母約分得定值.

『對點精練

已知橢圓C：S+為=13泌>0)的離心率為當，點42,啦)在橢圓上，。為

坐標原點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點P,M,N為橢圓。上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證

明四邊形。PMN的面積S為定值，并求出該定值.

工也

a~2，

解(1)由題有《4上2...?層=8,拄=4,

a2+b2=i>

jC2+〃=

「?橢圓C的方程為g+1.

(2)當直線PN的斜率左不存在時，直線PN的方程為％=啦或x=-啦，從

而有|P7V|=2小，

所以四邊形OPMN的面積

S=^\PN]-\OM\=；X2小X2/=2^6.

當直線PN的斜率k存在時，設(shè)直線PN的方程為y=kx+機(mWO),P(xt,yi),

Ng,yi),

2

將直線PN的方程代入橢圓C的方程，整理得(1+2F)/+4knvc+2m-8=O,

cc_4加

當/二64K-Snr+32>0時，有xi+12=1+2k2，

2〃?2-8,八2m

■1X2=]+，X+V2=Z(xi+-2)+2加=]+23，

-4km

由而=舁+礪，得M

1+2R

將M點的坐標代入橢圓C的方程得/=1+2巳

該關(guān)系式滿足/>().

又點。到直線PN的距離為d=譚云,

|PN|=y1(xi-X2)2+(y\-yi)1=yj1+l^\x\-X2I,

???四邊形OPMN的面積S=d,|P形=|*|xi-閹=寸1+2s.也?+X2)2~4X1X2

綜上，平行四邊形。尸MN的面積S為定值2冊.

考向3探索性問題

例5(2020?湖北省黃岡市模擬)已知橢圓C：$+營=1(。＞匕＞0)的左、右焦

點分別為點B,尸2,左、右頂點分別為A,B,長軸長為4,橢圓上任意一點P(不

3

與A,8重合)與A,8連線的斜率乘積均為-主

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過點Fi的直線八與橢圓。交于M,N兩點，過點正2的直線/2與橢

圓。交于P,Q兩點，且人///2,試問：四邊形MNPQ可否為菱形？并請說明理

由.

解(1)由題意，知。=2,則A(—2,0),B(2,0),

設(shè)尸(xo,yo)(而W4),則點P與點A連線的斜率為=1為，點尸與點8連

線的斜率為％"=肅:，故/]=-*①

又因為點P在橢圓。上，故有手+消=1,②

聯(lián)立①②，解得〃=3,則橢圓。的方程為%9L

(2)由于點份關(guān)于原點對稱且/1///2,故/1,/2關(guān)于原點對稱，又橢圓關(guān)

于原點對稱，所以四邊形MNP。為平行四邊形.

由(1),知R(-1,0),易知直線MN不能平行于x軸.所以令直線MN的方程

為x設(shè)M(xi,yi),Ngyi).

3^+4/-12=0,

聯(lián)立方程

x=my-1,

得(3m2+4)y—6my-9=0,顯然A>0,

6m一9

所以6+券=病大^2=WT4-

若四邊形MNPQ是菱形，則OMION,

即麗?麗=0,

于是有汨垃+y\y2=(nr+1加”-m(yi+產(chǎn))+1=0,

-12/?2-5、

整理得—3〃F+I=0,即12>+5=0,

上述關(guān)于m的方程顯然沒有實數(shù)解，故四邊形MNPQ不可能是菱形.

方法指導」

解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決

這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明確化.其步驟為：假設(shè)滿

足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定

系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，

元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.

■對點精練

(2020.廣東省韶關(guān)市二模)在直角坐標系xOy中，已知點4-2,2),僅2,2),直

線AO,BD交于D,且它們的斜率滿足心。-如。=-2.

(1)求點。的軌跡C的方程；

(2)設(shè)過點(0,2)的直線/交曲線C于P,。兩點，直線。P與。。分別交直線y

=-1于點M,N,是否存在常數(shù)九使SMPQ=1^OWV?若存在，求出入的值；

若不存在，說明理由.

解(1)設(shè)。(乙y),由A(-2,2),8(2,2),得

y-2y-2

kAD——2),kBD—^(xW2),

X+，x—Z

y-2y-2

kAD-k/BD=-2,T—T=-2,

x+2x—2

整理，得V=2MxW±2).

(2)存在常數(shù)％=4,使S^OPQUISAWM

證明如下：

由題意，知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y=kx+2,

P(X1,>1),Q(X2,y2).

y-+2

聯(lián)立，c'得％2-2日-4=0,顯然/>0,

〔d=2y,

貝xi+X2=2k,九1X2=-4.

|xi-X2\=N(Xl+X2)2-4*1X2

=、4必+16=2^標+4,

-

貝lj5\OPQ=22-|xi-X2\

=242+4.

直線OP：y=^x,取/=-1,

A1

但XI

倚M=

直線。Q：y=*，取y=-i,得必=-葭.

X2Xi尢2丁1-X\y2

3一卻=吊一11=1yy?

\xz(kx\+2)-x\(kx2+2)|

\(kx\+2)(te+2)|

|2(X2Tl)|

一|F?尢1X2+2k(x\+X2)+4|一

1J-+4

??S^OMN=11?|心/—XN|=21

S&OPQ-4s△OMM故存在常數(shù)2=4,使S^OPQ=2S&OMN.

真題學押題

『真題檢驗』

9

1.（2020?全國卷I）已知A,8分別為橢圓E:，+尸=1（。＞1）的左、右頂點,

G為E的上頂點,AGGB=S,P為直線x=6上的動點，出與E的另一交點為C,

P8與E的另一交點為D

⑴求E的方程；

（2）證明：直線CO過定點.

解（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程E：]+溜=1(。＞1)可得A(_a,0),B(a,0),G(0,l),：.AG=(a,l),

GB=(a,-1).

：.AGGB=a1-1=S,.-.a2=9.

橢圓E的方程為g+V=L

(2)證明：由⑴得A(-3,0),3(3,0),設(shè)P(6,州),

yo-0

則直線AP的方程為y=。一(一+”3),

VO

即y=7（x+3）,

直線BP的方程為y="（x—3）,gPy=f（x-3）.

f-v22i

§+V=l，

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓的方程可得J,

[y=](x+3),

整理得（的+9*+6ybc+9J8-81=0,

—3y8+27

解得x=-3或x=―及+9.

將*=需子代入）'=/+3）可得>=泰,

.??點c的坐標為（募手,黑；

（3京一3-2y（））

同理可得，點。的坐標為最R.

???直線C。的方程為

6yo1-2yo]

（_2yolM+9ty3+1J（3--3、

，+1J--3）6+273M一3?yo+I/

W+9yi+1

整理可得

_4yo（3H-3]2y（）_4yo（3A

）-3（3-y8）FW+1J貨+1-3（3-2>

故直線CO過定點（I，0）.

2.（2020?新高考卷II）已知橢圓C：%+后=1（。>">0）過點加（2,3）,點4為其

左頂點，且AM的斜率為方

(1)求。的方程;

⑵點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

解(1)由題意可知直線AM的方程為

y_3=g(x—2),即無-2y=_4.

當y=0時，解得x=-4,所以a=4,

由橢圓C:，+方=1(。＞?！?)過點M(2,3),

49

可得讀+7=1,解得從=12.

92

所以C的方程為言+右=1.

(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為x-2y=m,

如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為

N,此時△AMN的面積取得最大值.

/V2

聯(lián)立直線方程x-2y=m與橢圓方程布+右=1,

可得3(m+2?+4;/=48,

化簡可得16y2+12my+3/n2-48=0,

所以/=144*-4X16(3^2-48)=0,

即m2=64,解得加=±8,

與AM距離比較遠的直線方程為無-2y=8,

直線AM的方程為x-2y=-4,

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離,

8+412\[5

利用兩平行線之間的距離公式可得點N到直線AM的距離仆

由兩點之間的距離公式可得|AM=4(2+4)2+32=3小.

所以△AMN的面積的最大值為gx3小X喈=18.

3.(2020.新高考卷I)已知橢圓C：樂+*=1(?！罚?)的離心率為乎，且過點

42,1).

⑴求C的方程；

(2)點M,N在。上，且AM1AN,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點Q,