第六章彈性波波動方程及其解演示文稿

第六章彈性波波動方程及其解演示文稿本文檔共84頁；當前第1頁；編輯于星期六\12點5分§6.1線性彈性動力學的基本方程基本方程運動微分方程幾何方程本文檔共84頁；當前第2頁；編輯于星期六\12點5分本構(gòu)方程分析已知方程數(shù)——15個；未知數(shù)——15個；本文檔共84頁；當前第3頁；編輯于星期六\12點5分邊界條件和初始條件邊界條件

給定了彈性體在其邊界面上所滿足的條件。邊界條件分類位移邊界條件：當S=SU時應力邊界條件：當S=St時混合邊界條件：當S=SU+St時在St上在SU上本文檔共84頁；當前第4頁；編輯于星期六\12點5分初始條件初始條件

給定了彈性體在時刻t=0時的位移和速度，稱為初始條件。在V+S的彈性體上有：定解條件邊界條件+初始條件本文檔共84頁；當前第5頁；編輯于星期六\12點5分彈性波動力學的求解路線彈性波動力學問題的表述：彈性體的形狀、大小以及其物理性質(zhì)(即密度和彈性系數(shù))；彈性體所受外來作用的體力及表面力；彈性體所受的約束性；彈性體各點的初始位移及初始速度，求:彈性體內(nèi)的位移場、應變場及應力場。本文檔共84頁；當前第6頁；編輯于星期六\12點5分按應力求解本文檔共84頁；當前第7頁；編輯于星期六\12點5分按位移求解本文檔共84頁；當前第8頁；編輯于星期六\12點5分2三維三分量波動方程各向同性介質(zhì)三維三分量波動方程本文檔共84頁；當前第9頁；編輯于星期六\12點5分納維方程是線性彈性假設條件下得到的各向同性彈性體中的彈性波最基本方程。指標表示的納維方程向量表示的納維方程線性彈性體的整個理論就是在定解條件下解納維方程。本文檔共84頁；當前第10頁；編輯于星期六\12點5分三維三分量的含義位移場ui是空間坐標x1、x2、x3的函數(shù)，因此，是三維立體空間的；位移場ui有u1

、u2

、u3三個分量，因此，是三分量的；體力為零時的納維方程

通常在研究地震波的傳播時，認為地殼所受的體力為零，即：f=0。此時，納維方程可表示為：本文檔共84頁；當前第11頁；編輯于星期六\12點5分3.彈性流體介質(zhì)中的波動方程彈性流體介質(zhì)中的基本方程幾何方程運動微分方程(不計體力)本構(gòu)方程？彈性流體中的本構(gòu)方程黏滯力：在實際流體中兩層流體間的相互滑動時，流體間有相互作用的阻力，稱其為黏滯力或內(nèi)摩擦力。理想流體介質(zhì)：可以將黏滯力忽略的流體稱為理想流體。在理想流體中只存在脹縮力，而不存在剪切力。本文檔共84頁；當前第12頁；編輯于星期六\12點5分

右圖為理想彈性體內(nèi)的某個體元，其只受外法線方向相反的正應力，而無剪應力。即：上式中P為壓力，當體元為單位體元時，P可視為壓強。PP本文檔共84頁；當前第13頁；編輯于星期六\12點5分彈性流體中的波動方程將上式代入運動微分方程，得上式兩邊取散度將壓力與應變關(guān)系代入上式本文檔共84頁；當前第14頁；編輯于星期六\12點5分§6.2無旋波和無散波斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理

任何一個足夠平滑的矢量場都可以分解成無旋的部分和無散的部分，這稱為斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理。結(jié)論無旋位移場的散度對應彈性休的脹縮應變場；本文檔共84頁；當前第15頁；編輯于星期六\12點5分無散位移場的旋度對應彈性體的切應變情形；在非穩(wěn)定條件下，這兩種場分別以波的形式運動著，故分別叫做無旋波和無散波，也稱之為脹縮波與等體積波。無旋位移場波動方程試證對于任意一階張量都成立！本文檔共84頁；當前第16頁；編輯于星期六\12點5分

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，膨脹擾動以速度VP向外傳播。這種膨脹波稱為縱波或P波。其傳播速度為VP

。如果只研究縱波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時設外力為”0”，則方程可簡化為：本文檔共84頁；當前第17頁；編輯于星期六\12點5分無散位移場的波動方程

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，切變擾動以速度VS向外傳播。這種切變波稱為橫波或S波。其傳播速度為VS

。如果只研究橫波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時設外力為”0”，則方程可簡化為：本文檔共84頁；當前第18頁；編輯于星期六\12點5分體應變表示的縱波方程此時只有脹縮波，波有旋轉(zhuǎn)波！為什么？本文檔共84頁；當前第19頁；編輯于星期六\12點5分如果只研究縱波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時設外力為”0”，則方程可簡化為：上式表示波場是以速度VP向外傳播的無旋場。

轉(zhuǎn)動矢量表示的橫波方程本文檔共84頁；當前第20頁；編輯于星期六\12點5分

彈性體發(fā)生剪切形變時，由于轉(zhuǎn)動很小，由矢量分析可知，定義轉(zhuǎn)動矢量：如果只研究橫波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時設外力為”0”，則方程可簡化為：本文檔共84頁；當前第21頁；編輯于星期六\12點5分§6.3標量勢與矢量勢

拉梅勢(Lame＇)根據(jù)斯托克斯—亥姆霍茲矢量分解定理，位移矢量場可以分解成無旋場與無散場兩個部分。如果位移矢量表示的納維方程二次可微，則存在一個標量勢函數(shù)f和一個矢量勢函數(shù)y，此時位移場可表示為：同理，對于體力也存在一個標量勢函數(shù)F和一個矢量勢函數(shù)A，此時體力可表示為：表示無旋場？表示無散場？本文檔共84頁；當前第22頁；編輯于星期六\12點5分以勢函數(shù)表示的波動方程將勢函數(shù)代入上式，則：因為在空間區(qū)域V及任意時間區(qū)域中有上式成立，則有：本文檔共84頁；當前第23頁；編輯于星期六\12點5分如果對標量勢表示的波動方程兩邊取梯度如果對矢量勢表示的波動方程兩邊取旋度如果F=A=0，則因此，用標量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)表示縱波和橫波的傳播是合理的！本文檔共84頁；當前第24頁；編輯于星期六\12點5分彈性波波動方程的一般表達式

由以上的討論可知，位移矢量u、位移勢函數(shù)f和y、體積應變q及轉(zhuǎn)動角矢量W都具有相同的方程形式，為了方便起見，可以用統(tǒng)一的方程表示。

當有體力時，可表示為達朗貝爾方程當只考慮波的傳播，不考慮體力時此時的縱波波動方程為本文檔共84頁；當前第25頁；編輯于星期六\12點5分橫波波動方程本文檔共84頁；當前第26頁；編輯于星期六\12點5分§6.4三維三分量波動方程的退化處理

以上講到的波動方程都是三維三分量的，與當前地震勘探的實際情況有此差別。由于條件的限制，目前在進行地震勘探時所有的檢波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面的垂向分量的地震波。因此，在處理很多問題時我們將三維三分量波動方程進行退化處理。所謂退化處理就是人為地降低波動方程的維數(shù)或分量。二維單垂向分量波動方程(2D1VC)

二維單垂向分量是目前常規(guī)二維地震勘探數(shù)據(jù)采集的觀測方式，即在地表直測線上采集地震數(shù)據(jù)的觀測方式。OX3X1本文檔共84頁；當前第27頁；編輯于星期六\12點5分上式就是所要求的二維單垂向分量波動方程。i必須等于3本文檔共84頁；當前第28頁；編輯于星期六\12點5分結(jié)論接收點記錄的地震波場中，即有縱波成分又含有橫波成分。所得到的記錄是縱波與SV型橫波的復合型地震波場。但由于地震波的激發(fā)方式和接收方式等因素的選擇設計，會使此復合型波場中的縱波成份占主導地位。因此，通常用如下式所示的聲波方程代替本文檔共84頁；當前第29頁；編輯于星期六\12點5分當接收的是ox1軸分量時的情況又怎樣？i必須等于1本文檔共84頁；當前第30頁；編輯于星期六\12點5分當接收的是ox2軸分量時的情況又怎樣？此時接收的波場中只有橫波分量，沒有縱波分量！i必須等于2本文檔共84頁；當前第31頁；編輯于星期六\12點5分三維單垂向分量波動方程(3D1VC)三維單垂向分量是目前常規(guī)三維地震勘探數(shù)據(jù)采集的觀測方式；即在地表平面上采集地震數(shù)據(jù)的觀測方式；取地表平面為ox1x2x3平面，所接收的分量為u3，平行ox3軸垂直向下。此時，有：X1X2X3O本文檔共84頁；當前第32頁；編輯于星期六\12點5分

上式即為三維單垂向波動方程。分析上式可知，接收點的響應的地震波場中即有縱波成份，同時也包含橫波成份。一維三分量波動方程一維三分量是目前VSP測井中常規(guī)數(shù)據(jù)采集方式；即在一維線上激發(fā)與接收，所接收的分量u=(u1,u2,u3)X1X2X3O本文檔共84頁；當前第33頁；編輯于星期六\12點5分平面波僅沿ox3軸傳播本文檔共84頁；當前第34頁；編輯于星期六\12點5分平面波沿ox2軸傳播平面波沿ox1軸傳播本文檔共84頁；當前第35頁；編輯于星期六\12點5分沿過原點任意射線傳播時當平面波的傳播方向與ox1x2x3坐標系的任意一個坐標軸都不重合時，此時的平面波方程比較復雜。首先，以波的傳播方向為ox3軸建立一個新坐標系；其次，就新坐標系內(nèi)將平面波方程表達出來；最后，通過坐標旋轉(zhuǎn)關(guān)系求出在舊坐標系內(nèi)的表達式。本文檔共84頁；當前第36頁；編輯于星期六\12點5分§6.5波動方程的一般解平面波假設

平面波只是一種理想化模型。波前面離開波源足夠遠時，可以把波前面近似地看作平面，叫做平面波。平面波分類根據(jù)波函數(shù)對時間的依賴關(guān)系：脈沖型、簡諧型；根據(jù)振幅隨場點坐標的變化：均勻平面波、非均均平面波；一維波動方程的解由于平面被的波前面是一系列互相平行的平面，因此，同一波前面上各點振動情況完全相同，所以對于沿某一方向傳播的平面波，我們可以選擇一個坐標系，使得波就象在其中某一個坐標軸方向上傳播一樣。

本文檔共84頁；當前第37頁；編輯于星期六\12點5分行波法解令波傳播方向沿ox1軸，則ui=ui(x1,t)；則此時的波動方程為：由達朗貝爾方程，得一維波動方法為：本文檔共84頁；當前第38頁；編輯于星期六\12點5分上式即為一維波動方程的通解，f1,f2為任意函數(shù)。本文檔共84頁；當前第39頁；編輯于星期六\12點5分上式意義f1(x-vt)表示由波源出發(fā)，以速度v，沿ox軸方向傳播的行波；?f2(x+vt)表示由無窮遠處出發(fā)，以速度v，沿ox軸負方向傳播的行波；?坐標軸上某點處的波是由上述兩種行波干涉波疊加的結(jié)果；上述行波法只考慮了波的傳播，沒有考慮波的初始擾動和邊界情況等因素；因此，所得解沒有太多實用價值。本文檔共84頁；當前第40頁；編輯于星期六\12點5分地震波傳播的邊界條件和初始條件邊界條件給定了彈性體在其邊界面上所滿足的條件，即稱之為邊界條件。位移邊界條件：在彈性體的所有邊界面上都給定了位移Su。此類問題稱為第一類邊值問題。應力邊界條件：在彈性體的所有邊界面上都給定了表面力St。此類問題稱為第二類邊值問題?；旌线吔鐥l件：彈性體的邊界面可以分成兩部分，一部分給定了位移Su，另一部分給定了表面力St。此類問題稱為第三類邊值問題。本文檔共84頁；當前第41頁；編輯于星期六\12點5分初始條件

給定了彈性體在時刻t時的位移和速度，稱為初始條件。如：定解條件

將所給的彈性體的邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件。由波動方程的通解和定解條件，就可以確定特定地震波的傳播。本文檔共84頁；當前第42頁；編輯于星期六\12點5分例題設理想彈性體構(gòu)成的彈性半空間，如圖所示，如果彈性體材料的拉梅系數(shù)和密度已知，所受體力f=ge3(g為常數(shù))，其邊界面上x3=0為自由界面，x3=h時u3=0。試求彈性體在均勻體力作用下的位移和應力分布。解因為彈性體處于靜力平衡狀態(tài)，而且，其在ox1、ox2方向上不受力，僅在ox3方向受力。因此，有：x1x3本文檔共84頁；當前第43頁；編輯于星期六\12點5分由于彈性體處于靜力平衡狀態(tài)，所以其速度和加速度為0。由于x3=0處的界面為自由界面，所以其法向受力為0。本文檔共84頁；當前第44頁；編輯于星期六\12點5分從而由幾何方程和本構(gòu)方程即可求出對應的應變張量和應力張量！本文檔共84頁；當前第45頁；編輯于星期六\12點5分例2.設理想彈性體構(gòu)成的彈性半空間，如圖所示，如果彈性體材料的拉梅系數(shù)和密度已知。在t=0時，處于靜止狀態(tài)；當t>0時，受均勻壓力P(t)，不計體力。試求：t>0時該彈性體的位移場和應力場。x1x3P(t)本文檔共84頁；當前第46頁；編輯于星期六\12點5分定解條件下一維平面波的解本文檔共84頁；當前第47頁；編輯于星期六\12點5分沿任意方向傳播的平面波

一般情況下平面波不一定沿坐標軸方向傳播，這時波函是坐標變量xi的函數(shù)。在直角坐標系下其方程為：本文檔共84頁；當前第48頁；編輯于星期六\12點5分

設平面波在ox'1方向上傳播，n是波前面的法向量，顯然n與ox'1軸的正方向一致。

則平面波的通解為：X1’波陣面上任意一點P都滿足上式，則P點在x'1軸上的坐標為:本文檔共84頁；當前第49頁；編輯于星期六\12點5分

平面波的等相位面為：平面波的傳播條件

在均勻無限彈性空間中，平面波的位移為ui，波傳播的方向為n，由于只有從振源出發(fā)的平面波才有實際意義，則位移可寫為：本文檔共84頁；當前第50頁；編輯于星期六\12點5分

將以上四式代入納維方程，并令體力為零，于是得：選波沿ox3軸傳播，則n1=n2=0,n3=1

上式是關(guān)于振幅a1,a2,a3的三個齊方程，它有不為零解的條件是它們的行列式為“0”。本文檔共84頁；當前第51頁；編輯于星期六\12點5分這一結(jié)果表明，平面波在均勻無限彈性體內(nèi)，只能以速度vP或速度vS傳播。波的質(zhì)點位移與波的傳播方向間的關(guān)系縱波情況位移標量場的標量勢f滿足波動方程當時研究沿n之正方向傳播的波時，有：本文檔共84頁；當前第52頁；編輯于星期六\12點5分

物理意義：在無旋波場中，質(zhì)點位移方向與波的傳播方向一致，通常稱之為縱波。橫波情況位移矢量場的矢量勢y滿足方程當研究沿n之正方向傳播的波時，有：本文檔共84頁；當前第53頁；編輯于星期六\12點5分

物理意義：無散波場中質(zhì)點位移方向與波的傳播方向垂直，通常稱為橫波。波前面的應力分布

當彈性體在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)由于變形產(chǎn)生應力，由廣義虎克定律可知：

本文檔共84頁；當前第54頁；編輯于星期六\12點5分

本文檔共84頁；當前第55頁；編輯于星期六\12點5分平面波的分離變量法解要使上式對于任意的xi和t，都成立，則每一個求和項必為一常數(shù)，令其為-ki2。本文檔共84頁；當前第56頁；編輯于星期六\12點5分解上述4個方程，得：本文檔共84頁；當前第57頁；編輯于星期六\12點5分∴平面波的解可改寫為視速度定理本文檔共84頁；當前第58頁；編輯于星期六\12點5分非均勻平面波

如果波的等位相面各點振動幅值不等，即等位相面和等振幅面并不平行，則稱之為非均勻平面波。

對于一般平面波來說，其波函數(shù)可取為：如果平面波是非均勻平面波時，則波數(shù)為復數(shù)此時，kj為實數(shù)由上式非均勻平面簡諧波的波函數(shù)可知，其振幅不是常數(shù)，與空間點的坐標有關(guān)。本文檔共84頁；當前第59頁；編輯于星期六\12點5分由以上3個等式可知，此時等相位面與等振幅面相互垂直。波的傳播方向為等相位面的法線方向；波的衰減方向為等振幅面的法線方向。本文檔共84頁；當前第60頁；編輯于星期六\12點5分非均勻平面波的特點結(jié)論非均勻波不能在全空間中傳播，它只能存在于介質(zhì)的表面附近。這類波通常稱為表面波。任一非均勻平面波都可看作由許多均勻簡諧平面波迭加而成。本文檔共84頁；當前第61頁；編輯于星期六\12點5分球面波

如果彈性介質(zhì)的位移矢量場具有球?qū)ΨQ性，且僅是空間變量r與時間變量t的函數(shù)，而與方位角q、j

無關(guān)，這樣的波稱為球面波。直角坐標系與球坐標系的關(guān)系可表示為：本文檔共84頁；當前第62頁；編輯于星期六\12點5分本文檔共84頁；當前第63頁；編輯于星期六\12點5分§6.6有源地震波的傳播構(gòu)成半空間的理想彈性體的密度、拉梅系數(shù)已知。當t=0時，彈性體處理靜止狀態(tài)；當t>0時，彈性體受到均勻壓力P(t)的作用，不計體力。求t>0時，彈性體內(nèi)的位移場及應力場。分析：此問題同樣是個一維問題

u1=u2=0u3=u3(x3,t)x1x3本文檔共84頁；當前第64頁；編輯于星期六\12點5分當t>0時，彈性體在x3=0的表面上受力為t1=t2=0,t3=P(t)。當t=0時，彈性體處于平衡、靜止狀態(tài)本文檔共84頁；當前第65頁；編輯于星期六\12點5分本文檔共84頁；當前第66頁；編輯于星期六\12點5分由已知的位移場，即可求出應變張量場和應力張量場。由上式可知，對應特定的時刻t來說，對于x3>vt的區(qū)域，彈性體還沒有開始振動；對于x3≤vt的區(qū)域，彈性體質(zhì)點位移由上式給出。本文檔共84頁；當前第67頁；編輯于星期六\12點5分無界彈性體中球腔振源產(chǎn)生的波無界的理想彈性體內(nèi)有如圖所示的空球腔，半徑為a，受力前處于靜止狀態(tài)。今突然在球腔壁上突然施加均勻壓力p0H(t)，其中p0為常數(shù)，H(t)為階躍函數(shù)。求在該彈性體內(nèi)產(chǎn)生的位移場。在這種情況下使用直角坐標系是否合適？此時球坐標系