2023年河南省濮陽市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（理科）及答案解析

2023年河南省濮陽市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（理科）（3月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）2z=3+4i,則在復(fù)平面內(nèi)z的共軌復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知全集U={xeZ\x2-9x-10<0},集合4={xeZ|（x-1）（8-x）>0},B=

{1,2,4,5,7,8},則集合{0,3,6,9}為（）

A.B.4n（QB）C.QG4UB）D.Cu（AnB）

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點為。，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與圓x?+

y2=9相交于點（等,t）,則sin?+2a）=（）

A.-JB.-IC.在D.迪

5555

4.將半徑為6的半圓卷成一個無底圓錐（鋼接處不重合），則該無底圓錐的體積為（）

A.27b兀B.277rC.9遮兀D.97r

5.計算機是20世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，被廣泛地應(yīng)用于工作和生活之中，在進行計算和信

息處理時，使用的是二進制,已知一個十進制數(shù)n（neN*）可以表示成二進制數(shù)

kk-1xfc-2

（。。。但…初2（々eN）,且ri=a0x2+x2+a224---Fakx20.其中a。=L

a,e=1,2,3,k）.記a。，%,a2,以中1的個數(shù)為f（n）,若k=9,則滿足f（n）=6

的n的個數(shù)為（）

A.126B.84C.56D.36

6.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項

要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘

用車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eu/cert提出鉛酸電

池的容量c、放電時間t和放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：c=ih,其中;I為與蓄電池結(jié)構(gòu)有

關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為154時，放電時間為

30恒當(dāng)放電電流為504時，放電時間為7.5/1,則該菩電池的Peukert常數(shù)；I約為（參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.301,lg3?0.477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

7.將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排成數(shù)第I行％

第2行o,a.a,

表，已知表中的第一列由,。2，。5,…構(gòu)成一個公差為3的等差數(shù)列，°

從第2行起，每一行都是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，若。3=-8,(^4=80,貝叼=()

A.2B.V3C,V2D.y

8.已知F是拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點，過點F且斜率為2的直線，與C交于4,B兩點，

若?|BF|=20,貝。=()

A.4B.3C.2D.1

9.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+，)(3>0)，9，%2eR,對VxWR,/Qi)W/(x)</(盯)恒

成立，且比-工2|的最小值為*將/(x)的圖象向右平移9(0<W<0個單位長度，得到函數(shù)

y=sina)x—acostox的圖象，則膽=()

A-R-r-n—

c.34j612

10.在正三棱錐P-ABC中，AB=6,PA=4^3,若球。與三棱錐P-48c的六條棱均相切，

則球。的表面積為()

A.(16-8A/3)7TB.(19-8V3)TTC.(76-32遮)TTD.(19+8K)幾

11.設(shè)雙曲線E：冒一\=l(a>0,b>0)的焦距為2c,離心率為e,且a,c,a+c成等比

數(shù)列，力是E的一個頂點，F(xiàn)是與4不在y軸同側(cè)的焦點，B是E的虛軸的一個端點，PQ為E的任

意一條不過原點且斜率為*0)的弦,M為PQ中點，0為坐標(biāo)原點，則下列判斷錯誤的是()

A.E的一條漸近線的斜率為正

B.AB1.BF

C.k°M,kpQ=e(k0M，kpQ分別為直線。M,PQ的斜率)

D.若。P_LOQ，則就?+看i=e恒成立

12.若0<b<a<],則()

A.bea-eb<aeb—eaB.eb+-^+2a>ea+-^+2b

C.asinb+b<bsina+aD.sinbcosa>sina

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知平面向量a1滿足?五?=2,五?石=1/五+3|=夕，則日石夾角的大小為一.

14.已知直線八xcos。+ysin。=2與圓C：(x-3>+(y-4產(chǎn)=16相切，則滿足條件的直

線/的條數(shù)為―.

15.已知函數(shù)/(%)=Q"+3%+l(a>0且aH1),若曲線y=f(x)在點(OJ(O))處的切線與

直線％+2y-1=0垂直，則/(%)在上的最大值為一.

a

16.在數(shù)列｛。九｝中，g=1，⑥=2,an>0,對VneN*,W+n+2=2a"i恒成立，若%=

2

心+.十如、，則數(shù)列｛%｝的前n項和又=_.

\an'^an+l)“\.a0n+l^J'an+2)\an'^an+2)

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在△力BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a2cosB+abcosA-c2=a2—b2.

⑴求B；

(2)若a=2,c>1,延長4B到。，使得BD=2c,當(dāng)受取得最大值時，求c.

18.(本小題12.0分)

2023年春節(jié)期間，科幻電影而浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成

績,某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結(jié)果僅有“好評”“差評”)，從平臺所有參

與評價的觀眾中隨機抽取400人進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示(單位：人)：

好評差評合計

男性80200

女性90

合計400

(1)把2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有

關(guān)”？

(2)若將頻率視為概率，從抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變

量X表示被抽到的女性觀眾的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

參考公式：K2="(ad-加)其中幾a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

(X>/Co)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小題12.0分)

在直四棱柱ABCD-ABiCiDi中，四邊形4BC0為平行四邊形，平面Z^BC1平面久8。.

(1)求證：BC1BD-,

(2)若=2B。=2BC=4,探索在棱441上是否存在一點E,使得二面角E-BD—D1的大

小為30。？若存在，求出新的值；若不存在，請說明理由.

20.(本小題12。分)

已知產(chǎn)為橢圓C：提+，=l(a>b>0)的右焦點，M為右頂點，N為上頂點，離心率為舁

直線I與C相切于點4與y軸相交于點8(異于點4),|。*=|。8|(。為坐標(biāo)原點)，且△OAB的

面積為6.

⑴求也

⑴小|MN|'

(2)求C的方程.

21.(本小題12.0分)

已知/(x)=Inx+axcosx—asinx^aER).

(1)證明：當(dāng)aWO時,f(x)在(0,加上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a=l時，關(guān)于x的不等式"x+xcosx—及2f(x)在(0,芻上恒成立，求實數(shù)上的取值范

圍.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以。為極點，》軸的正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為p(cosO-2s譏0)-3=0.

(1)求C的普通方程和直線，的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點P(3,0),I與C交于A,B兩點，求圜+翳)的值.

23.(本小題12.0分)

已知a,b,c均為正數(shù)，且2Q+b+c=1.證明:

(1)若8=的則;+能28；

(2)2ab+2ac4-he<

答案和解析

I.【答案】A

■5上，sc/曰3+4/3+4i(3+4i)x(-i)4-3i03.

==2lf

【解析】解：由(1+i)2z=3+43得z=(]+曉==2~2

所以W=2+|t,則其在復(fù)平面內(nèi)其所對應(yīng)的點為(2,|),位于第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)除法計算出z,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)定義得出W,最后確定對應(yīng)點在復(fù)數(shù)平面的位置即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由題意知U={xeZ|-1<x<10}={0,1,2,3,456,7,8,9},>1={xeZ|1<x<8}=

[1,2,3,4,5,6,7,8},

4選項，(CuA)nB={0,9}n{1,2,457,8}=0,4錯誤；

B選項，An(CyB)=(1,2,3,4,5,6,7,8)n{0,3,6,9}={3,6},B錯誤；

C選項,AUB={1,2,3,456,7,8},C^AUB)={0,9},C錯誤；

所以4nB={1,2,4,5,7,8},Cu(AnB)={0,3,6,9}.

故選：D.

計算出U,A,從而根據(jù)交集，并集和補集概念計算出四個選項，得到正確答案.

本題主要考查了集合的交集，并集及補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因為a的終邊與圓/+y2=9相交于點洋,t),

Wcosa=+3=g，

所以sin6+2a)=cos2a=2cos2a—1=2x(^)2—1=—1.

故選:B.

先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出cosa,再由二倍角公式和誘導(dǎo)公式求出答案.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由題意知，所卷成的無底圓錐母線長為6,

設(shè)該無底圓錐的底面半徑為r,高為九，貝1」2仃=6兀，所以r=3,

所以/i=V36-9=36，所以V=1TTX32X3V3=96n.

故選：C.

求出無底圓錐的半徑和高，從而得到圓錐的體積.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】4

【解析】解：由題意得劭，%,a2,■■；中1的個數(shù)為6,

因為劭=1,所以%,a2,…，&9中1的個數(shù)為5,

所以滿足/"(n)=6的n的個數(shù)為琦=?配*冷=126

故選：A.

根據(jù)題意，由條件結(jié)合組合的定義即可得到結(jié)果.

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意知C=IS1x30=50Ax7.5,

所以盛?=券=4,兩邊取以10為底的對數(shù)，得說學(xué)=2仞2,

，2lg22x0.301..

所以入=昂"匚詼"L15r.

故選：D.

根據(jù)題意可得C=15%x30=50Ax7.5,再結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可求解.

本題主要考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】4

【解析】解：由題意知CI3=a2(?=一8

8

所以=

q'

第n行的項的個數(shù)為2n—l,

所以從第1行到第n行的所有項的個數(shù)之和為丐0=n2,84=92+3,

所以是第10行第3個數(shù)，

所以。84=。82勺2=(a?+8x3)?q2=(―1+24)<?2=-8g+24<?2=80,

解得q=2,或q=_|(舍).

故選：A.

根據(jù)題意，由等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的定義即可求得公比q.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：???直線1的斜率為2,設(shè)其傾斜角為9,則tan。=2,

sind-cos。=高

p,

x=-+—t

???直線，的參數(shù)方程為《5?為參數(shù))，代入y2=2px,

整理得4t2—2y/5pt—5P2=0，顯然/>0,

設(shè)4,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t2，

則tm2=_孚，

1z4

\AF\■\BF\=歸也1=軍=20，：?p=4.

故選：A.

寫成直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義得到方程，求出答案.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，直線參數(shù)方程中t的幾何意義的應(yīng)用,

屬中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：法1：由題意知片加為函數(shù)/(%)的最小正周期)，則7=兀，所以3=竿=2,

將f(%)的圖象向右平移0個單位長度得到V=2sm(2x—2g+》即y=sin2x-acos2x,

又函數(shù)y=sin2x—acos2x=V1+a2sin(2x—6),其中tan6=赤彳涓，

所以2=A/1+『2,則@=+V3;

當(dāng)a=遮時，y—sin2x—V3cos2x=2sin(2x—^)=2sin(2x—2<p+^),

則一2(p+^=——+2kn(kEZ),所以w=--kn(kEZ),

又。<3<1,所以9=全

當(dāng)a=一百時,y=sin2x4-y/3cos2x=2sin(2x+與)=2sin(2x—2*+,)，

則—2小+*=?+2/czr,/c￡Z,所以<p=——kn,k￡Z,又0<cp<%故無解.

O31Zz

綜上，3=a

法2：由題意，彳;段“:乳7為/⑴的最小正周期)，解得3=2.

zza>z

將f(%)的圖象向右平移9個單位長度得到y(tǒng)=2sm(2x-2口+*=2sin2xcos{-2(p+++

2cos2xsin(-2(p+,

即y=sin2x—acoslx,可見2cos(—2卬+^)=1,BPcos(—2<p+3)=2.

由0<3<a得_2?+"(-稱,勺，從而_2w+.=號，所以0T.

乙obo。J

故選:B.

法1：根據(jù)題意得到最小正周期，得到3,求出平移后的解析式，利用輔助角公式求出2=vrm,

求出a=±V3,分兩種情況討論得到S=p

法2：求出最小正周期，得到?=2,求出平移后的解析式，結(jié)合三角函數(shù)和角公式求出y=

2sin2xcos(-2(p+1)+2cos2xsin(-2(p+1),求出cos(-2w+$=g，求出W=*.

本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換，輔助角公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：取AABC的中心E,連接PE,

則PE1平面48C,且與棱均相切的球的球心。在PE上，

連接AE并延長交BC于。，則。為8c的中點，ADLBC,

連接。D,易證BC_L0D,

過。作0FJ.P4交R4于點凡

設(shè)球。的半徑為r,則。。=0F=r,

由勾股定理得PE=\/PA2—AE2-A/48-12=6,

在RtAPAE中，sinzAPE=空=繚=2所以4APE=30。，

AP4v32

設(shè)OE=t(0<t<6),則P。=2OF=2r,

因為r=OD='ED2+。勿=7t2+3,從而t+2Vt2+3=6,所以t=2j5—2,

所以產(chǎn)=(2V3-2產(chǎn)+3=19-8V3.

故球。的表面積為(76-32V3)?r.

故選：C.

作出輔助線，找到球心。的位置，求出三棱錐的高，設(shè)出棱切球的半徑，求出NAPE=30。，由半

徑相等列出方程，求出半徑，進而求出球的表面積.

本題主要考查了與球有關(guān)的內(nèi)切，棱切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外

切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心

到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的

直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑，而棱切球，要注意切點的位置和球心的位置，利用半

徑相等得到方程，求出答案，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：4選項,因為a,c,a+c成等比數(shù)列,所以c?=ac+a2,所以爐=ac且e?—e—1=0,

解得3=等(負(fù)根舍)，所以<)2=%=(=e,所以?=偲，即E的一條漸近線的斜率為正，故

A正確；

8選項，不妨設(shè)F為左焦點，8為虛軸的上端點，則4為右頂點,

則BF的斜率kBF=的斜率心8=-，所以kBF.匕18=-1=一1，

所以ABLBF,故B正確；

(且_比=1

In2.2L

C選項，設(shè)PQi，yi)，Q(x2,y2)<M(x0,y0)>則Q:

償一奈=1，

OO

作差后整理得Q1."1=4即紇力.%=《

%2一%]%2+%]a%2—X1x0a

所以“故C正確；

。選項，設(shè)直線。P：y=kx,貝！]直線。Q；y=—x,將y=依代入雙曲線方程//-a2y2=a2b2,

a2b2則y2=..Q。女a(chǎn)2b2(k2+l)

Jyb2-a^?,■\OP\2=x2+y2=

廬-a2k2M-a2必'

將k換成一彳導(dǎo)|OQ|2=空軍學(xué)，

Kbk-a2

(廬一。2)(必+1)_廬一。2_C2-2Q2

則---2-------2=與b的值有關(guān),故。錯誤.

|OP||OQIa2b2(/c2+l)a2b2。2廬

故選：D.

A選項，由等比中項的性質(zhì)得到離心率，進而得到2=正，A正確；B選項，求出和48的斜率,

a

得到施廣?以B=-1=-1，得到ABJ.BF；C選項，利用點差法得到koM，kpQ=e；。選項，設(shè)直

11

線。P：y=kx,與雙曲線方程聯(lián)立，求出|OP|2,再求出|OQ|2,計算出記評+麗，判斷出結(jié)論.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了點差法解決中點弦問題，同時考查了學(xué)生的運算求解能力，

屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：對于4令f(x)=￡且0<x<今則(。)=三飛>0,

故/(%)在(04)上單調(diào)遞增，則〃a)>r(b),即言〉名，

所以"(b+1)>eb(a+1),即be。—eb>aeb—e。，故A錯誤；

對于8,令/Xx)=ex2x且。<x<*則,(x)=ex+^-2>2卜4一2=0，

故/(x)在(0,今上單調(diào)遞增，則f(a)>/(b),即eb_*_2b<e。—去一2a,所以》+或+2a<

e。+[+2br故B錯誤；

對于C,令且0<x<*則((x)=一學(xué)±1>0,

故/(x)在(06)上單調(diào)遞增，則f(a)>/(b),即吟11>包”，

所以匕(sina-1)>a(sinb—1),則asinb+b<bsina+Q,故。正確;

對于D,當(dāng)b=*,Q=，時，s譏bcosa=。<sina=噂，故。錯誤.

故選：C.

A選項，構(gòu)造f(x)=5且0<x<*求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出加。一外>ae〉—ea,A錯誤；B選

項，構(gòu)造/0)=靖一且0<x<去求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出e〃+卷+2。<6。+或+2b；

C選項，構(gòu)造/(x)="^匚且0<x<，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出asinb+b<bs譏a+a；。選

項，舉出反例即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在不等式大小比較中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和

難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)

式的大小，屬于中檔題.

13.【答案】I

【解析】解：,?,|a+b|=V7，

.,.五2+2五?B+片=7，又|町=2,五,b=1，

,一￡、.

,|/7)*|.=y1，.■.cos<a,b>=^=-1>

又<d,b>G[0,7t]>

?,?<a,b>=宗

故答案為:1.

將|2+3|=V7兩邊平方，代入已知條件可得區(qū)|=i，再根據(jù)向量的夾角公式求解即可.

本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)與夾角公式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】2

,|-2|

【解析】解：因為原點到I的距離d2,C到I的距離為4,

cos20+sin20

所以滿足條件的/既與圓/+y2=4相切，又與圓C相切,

故，是圓/+y2=4和圓C的公切線.

因為4-2=2<V32+42=5<6=2+4，

所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2,

即符合條件的直線I有2條.

故答案為：2.

由題意可知，直線I既與圓久2+y2=4相切，又與圓C相切，只需判斷出兩圓的位置關(guān)系即可得答

案.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線問題，屬中檔題.

15.【答案】7+J

【解析】解："f'(x)=axlna+3,f'(0)=Ina+3,

又切線與直線工+2y-l=0垂直，而x+2y-1=0的斜率為一，

二切線斜率為2,二)a+3=2,；.a=eT,

???f(x)=e~x+3x+1,且尸(x)=-e~x+3,

顯然/'(x)是增函數(shù)，

當(dāng)xe［-1,2］時,f'(x)>f(-l)=3—e>0,

???/(x)在［—1,2］上單調(diào)遞增，

故/(X)max=f(2)=7+~

故答案為：7+點.

求導(dǎo)，根據(jù)兩直線垂直得到切線在(0)(0))的斜率為2,得到方程，求出a=e-i,由f'(x)是增函

數(shù)求出/Q)>f(-l)=3-e>0,得到/(x)的單調(diào)性，得到最大值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究與最值，屬中檔題.

16.【答案】1+gi—Si+1

【解析】解：??,對Vn6N*,W+硅+2=2忌+1恒成立,即W+2-an+l=an+l~

???數(shù)列｛忌｝是等差數(shù)列，

'又1a2=1,Q5=2,

等差數(shù)列｛W｝的公差d=亨="=1，

???=?2+(n-2)d=l+n—2=n—1,

又an>0,???an=Vn—1,

2_Vn+l-Vn-1_(Vn+T+Vn)-(Vn—1+Vn)

?*,bn=(Vn-l+Vn)(Vn+Vn+1)(Vn-l+Vn+1)(Vn-l+Vn)(Vn+Vn+1)(Vn-l+Vn)(Vn+Vn+1)

1_________1

Vn-l+VnVn+Vn+lr

"Sn=(V0+7i-7T+V2)+(7TT7?-+(7^-73+75)+…+(VH=T+vn-

Vo+Vl-V1+V2+通+V2-V2+V3+通+V5一通+V5+…+而=T+訴-Vn+Vn+T,

=1-^+T=1+^-AA?TI-

故答案為：1+—迎+L

根據(jù)題意得到｛Q分成等差數(shù)列，求出｛W｝的公差，求出Qn=NT，利用裂項相消法得到bn=

11即可得出答案.

Vn—1+VnVn+Vn+l'

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中

檔題.

17.【答案】解：(1)因為a2cos84-abcosA—c2=a2—b2,

所以a2cos8+abcosA=a2+c2—62,

所以a(acosB+bcosA)=laccosB,

所以acosB+bcosA=2ccosB,所以si/L4cosB+sinBcosA=2sinCcosB,

所以sin(8+B)=2sinCcosB,BPsinC=2sinCcosB,

因為Ce(0,7r),所以sinCKO,所以cosB=g,

又Be(0,〃)，所以B=?

(2)在4中，AC2=a2+c2-2accosB=44-c2—2c；

在^BCD中,CD2=M+(2c)2-2a?2c?cos乙DBC=44-4c2+4c,

6斤I'J里_4c2+4+4c_4(C2-2C+4)+12C-12_12(c-l)

AC2-C2+4-2C-C2-2C+4-(.1)2+3，

―12(1)12,12、k

因為c>l,所以c—l>0,所以不訴=d)+言工訪=2次,

當(dāng)且僅當(dāng)c-1=3,即C=b+1時等號成立.

c—1

故當(dāng)縱取得最大值時，c=b+L

【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換化簡即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由余弦定理分別表示出CD,AC,再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.

本題主要考查了余弦定理，和差角公式及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)根據(jù)題意得2x2列聯(lián)表補充完整如下:

好評差評合計

男性12080200

女性90110200

合計210190400

.*2_400x(120x110-90x80)2

"K-210X190X200X200~9023>7.879,

??.有99.5%的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”；

(2)???從抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取1人為女性的概率P=嘉=5,

且各次抽取之間互相獨立，故X?8(3,%

P(X=0)=x(|)°x(》3=磊,p(x=i)=禺x(I)1x(》2=淺，

P(X=2)=廢x(|)2X?1=翡P(X=3)=廢x(|)3X(令。=磊，

??.X的分布列為：

X0123

6414410827

P

343343343343

E(X)=3x3,=9*

【解析】(1)完善列聯(lián)表，計算卡方，與7.879比較后得到結(jié)論；

(2)計算出所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取1人為女性的概率，得到X?8(31)，得到X的可能

取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望值.

本題考查獨立性檢驗原理的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列與期望的求解，屬中檔題.

???BC1平面ABD,又BDu平面DiBD,

BC1.BD：

(2)由(1)知BC1BD,「D/V/BC,4DJ.0B,

又。。i1平面ABCO,B.DA,08u平面ABC。，

???DD11DA,DDi1DB,

???以直線DA,DB,CD1分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖，

設(shè)4E=；l(0W4<4),則E(2,0,；l),8(0,2,0),

DE=(2,0,A),DB=(0,2,0),

易知平面BO內(nèi)的一個法向量為訪=(1,0,0),

設(shè)平面BDE的一個法向量記=(x,y,z),

則朽％=2y=0,取元=(_尢0,2),

In-DE=2%4-Az=0

./一fi|m-n||-A|V3

；?|cos〈m,n)|=而而=j==y,解得a=2通(負(fù)根舍)，

???在棱44i存在點E,使得二面角E-BD-5的大小為30。，且蕓=竽=冬

【解析】(1)作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進而得到線線垂直，證明出結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出4E=4(0W2W4),求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角列出方程,

求出;I的值，得到答案.

本題考查線線垂直的證明，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，向量法求解二面角問題，

向量夾角公式的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：⑴???C的離心率為給.Ja2T2_瓜...b2=12,

3-T3

|NF|_a_a_V3

‘麗=用=向

(2)由題意知直線I的斜率存在且不為0,

，設(shè)直線/的方程為y=kx+t(kw0),

由(1)知橢圓c的方程為親+，=1,

聯(lián)立｛；2+/：:3b2,可得(31+1)久2+6ktx+3t2-3b2=o,

二△=36k2t2_4(3fc2+1)(312_3b2)=0,

??.t2=b2(3k2+1)①，設(shè)4(&,yo)，

則"。=一忌‘%=依。+￡=舟,

???|。川=1。8|，"-爵)2+(舟)2=產(chǎn)，

化簡得/=g②，又204B的面積為6,

1lt|

???2XX萬由I-堵小仁百③,

1+k2

由①②③得嚴(yán)=4,b2=2,從而/=6,

??.C的方程為1+4=1.

6L

1\NF\aV3

【解析】(1)由離心率得到?jīng)_=ga2,表達(dá)出兩==

(2)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到切點坐標(biāo)，結(jié)合|。*=|。8|與aOAB的面積，列出方程

組，求出a2=6,b2=2,得到橢圓方程.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)而不求法與韋達(dá)定理的應(yīng)用，方程思想,

化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：S=Inx+axcosx—asinx,

所以「(x)=：+acosx—axsinx—acosx=：-axsinx,

因為xe(0,n],

所以sinx>0,

又a<0,

所以/'(x)>0,

所以/(%)在(0,捫上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)Q=1時，Inx4-xcosx—^>/,(%),

即，nx+xcosx——7"％+xcosx—sinx,

ex

所以及<sinx,即e*sinx-kx>0在(0,芻上恒成立.

令9(%)=exsinx—kx,則g'(x)=exsinx+excosx—k,

令九(x)=exsinx4-excosx—k,

貝!J九’(x)=exsinx+excosx+excosx—exsinx=2excosx.

因為工€(0勻,所以cos%NO,所以九'(%)10,

所以九⑶在(0,芻上單調(diào)遞增，所以九(%)>/i(0)=1-fc.

①當(dāng)l-kZO,即上工1時，在(0,且上，/i(x)>0,即“。)>0,

所以g(x)在(0,月上單調(diào)遞增,

所以對V%E(0苧,g(%)>g(0)=0,即g(x)>0在(0,芻上恒成立，符合題意；

②當(dāng)1—ZV0,即左>1時，h(0)<0,

又破=/一匕

若九d)=附一kWO,則在(0,芻上，ft(x)<0,即7(%)W0,

所以g(x)在(0,芻上單調(diào)遞減，

所以g(x)