2023年交通大學高考仿真卷數學試題含解析

2023年高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,則集合4（/仆為中的元素共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.已知tana=,貝汁()

V2Jy2J1-sin2/3

c71八冗

A.2a+0=—B.a+(3^—

C兀

C.a—0二一D.a+2j3=^

4

3.在一個數列中，如果都有叫《田可+2=女（A為常數），那么這個數列叫做等積數列，%叫做這個數列的

公積.已知數列｛4｝是等積數列，且4=1,4=2,公積為8,則4+%+…+%)20=()

A.4711B.4712C.4713D.4715

4.過拋物線f=2py（。>0）的焦點且傾斜角為a的直線交拋物線于兩點4B.\AF\=2\BF\,且A在第一象限,

則cos2a=（）

A石R2rZn2G

5595

-）

5.已知函數人x）=一、-2"+3，”4］若關于丫的方程兀0=乙一_1恰有4個不相等的實數根，則實數A的取值范圍

lnx,x>l2

是（）

6.總體由編號01,,02,…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是隨機數表第1

行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

7.定義在K上的偶函數/(x)滿足/(工+2)=f(x),當x￡[-3,-2]時，/(x)=-x-2,則()

A./卜i吟卜/[cos?]B./(s加3)V/(cos3)

C./(si”/)〈/(cos?)D.f(2020)>f(2019)

8.在等差數列{叫中，若4=4,%=8,則%=()

A.8B.12C.14D.10

9.已知集合知={刈丁=Ji藁},N={xeN|4—爐20},則用心"為()

A.[1,2]B.{0,1,2}C.{1,2}D.(1,2)

10.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復.若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）

共論傳驚&￡9%

4業(yè)—.匕56%

—<18歲蟹幼童IX

AMw/MW?

>18"在it

從此人

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶

c?riv

11.已知函數/■（x）=「7—的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重

1+2sinx

合的變換方式有（）

①繞著x軸上一點旋轉180°;

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對稱；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

12.已知色一=a+2i(awR),i為虛數單位，則。=()

l-2i

A.6B.3C.1D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.正四面體A—BCD的各個點在平面M同側，各點到平面M的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長為

14.在棱長為2的正方體ABCO-ABCQi中，E是正方形BBC。的中心，/為G。的中點，過4加的平面。與

直線OE垂直，則平面a截正方體ABC。-所得的截面面積為.

15.已知實數a力滿足a+6,=泮|9(i為虛數單位)，則。+力的值為.

16.已知函數/(x)=ae'+x2—8x的圖象在(0,7(0))處的切線斜率為T,貝心=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某公司打算引進一臺設備使用一年，現有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元，乙設備每臺9000

元.此外設備使用期間還需維修，對于每臺設備，一年間三次及三次以內免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數，得到下面的頻數分布表，以這兩種設備分別在

50臺中的維修次數頻率代替維修次數發(fā)生的概率.

維修次數23456

甲設備5103050

乙設備05151515

(1)設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為x和y,求x和y的分布列；

(2)若以數學期望為決策依據，希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數盡量少，則需要購買哪種

設備？請說明理由.

18.(12分)選修4-5：不等式選講

已知函數“力=卜_2|

(I)解不等式/(X)+/(2X+1)N6；

/、41

(H)對a+》=l(a,Z?＞0)及\7xeR,不等式/(x-m)—/(-刈4一+：恒成立，求實數〃?的取值范圍.

ab

19.(12分)如圖，在正四棱錐P-ABC。中，底面正方形的對角線AC,80交于點。且。

2

(1)求直線BP與平面PC。所成角的正弦值；

(2)求銳二面角B-PD-C的大小.

221

20.(12分)已知橢圓C：鼻r+方=1(。＞力＞0),點A是C的左頂點，點P(2,3)為。上一點，離心率e=,

(1)求橢圓。的方程；

(2)設過點A的直線/與。的另一個交點為8(異于點P),是否存在直線/,使得以AB為直徑的圓經過點P,若

存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

21.(12分)已知函數4(x)=e'"sin3x),設力(x)為九(x)的導數，〃eN*.

(1)求工(力，力(%);

(2)猜想力(x)的表達式，并證明你的結論.

22.(10分)設數列｛%｝是等比數列，1,=叫+(〃—1)4+~+261+?！?，已知工=1,4=4,(1)求數列｛q｝的首

項和公比；(2)求數列｛7；｝的通項公式.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

【解析】

試題分析：。=4。8={3,4,5,7,8,9},4r^3={4,7,9},所以&(4r^3)={3,5,8},即集合Q(Ac8)中共有3個

元素，故選A.

考點：集合的運算.

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數的商數關系式，化簡可得tana=2t=tan[f+/?],即可求得結果.

1-sin24

【詳解】

cos2^_cos?用一sin?/_1+tan（3

=tan匕+尸,

1-sinIpcos2/?+sin2/？-2sin/ycos/?1-tan/?

所以。=々TT+尸，即。一萬=T^T.

44

故選:C.

【點睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數，難度較易.

3.B

【解析】

計算出生的值，推導出％+3=4(“eN*),再由2020=3x673+1,結合數列的周期性可求得數列{4}的前2020項

【詳解】

4

由題意可知44,+巡“+2=8，則對任意的〃eN*，鳳工0，則^a2a3=8,：.%=---=,

aia2

由=8,得4+4+24+3=8，???《4+4+2=%%+2%+3，?.?%=an，

:2020=3x673+1,因此，4+/H---1~。2020=673（q+/+/）+q=673x7+1=4712.

故選：B.

【點睛】

本題考查數列求和，考查了數列的新定義，推導出數列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等

題.

4.C

【解析】

AF

作BBJI；BEJ.AA,,由題意sina=^1,由二倍角公式即得解.

【詳解】

由題意，尸［仇日＞準線/：y=-g

作AA|J_/,BB,VI-BELAA,,

設怛q=忸4|=乙

故I蜴=|A4j=2r,|AE|=r,

.AE1cic?27

sina==—=cos2a=1—2sin~a=—.

AB39

故選：C

【點睛】

本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.

5.D

【解析】

由已知可將問題轉化為：y=f(x)的圖象和直線》=履一；有4個交點，作出圖象，由圖可得：點(1,0)必須在直線

一』的下方，即可求得：《＞?；再求得直線和y=/〃x相切時，*=—；結合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關于X的方程/(x)=丘一!恰有4個不相等的實數根,

則y=/(x)的圖象和直線有4個交點.作出函數y=/(x)的圖象，如圖,

.\Jlxl-l>0,解得

22

當直線y=Ax—；和相切時，設切點橫坐標為，”，

,11

,lnm+—1.r

則nilA=2=9,?m=Ie?

m

m

此時，《=▲=立，式X)的圖象和直線y=有3個交點，不滿足條件,

me2

故選D..

【點睛】

本題主要考查了函數與方程思想及轉化能力，還考查了導數的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題.

6.D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數劃去大于20的數分別為：08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.

考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數表法，考查學習能力和運用能力.

7.B

【解析】

根據函數的周期性以及xG[-3,-2]的解析式，可作出函數/(1)在定義域上的圖象，由此結合選項判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/(x),得/(x)是周期函數且周期為2,

先作出f(x)在xG[-3,-2]時的圖象，然后根據周期為2依次平移，

并結合/(x)是偶函數作出/(X)在R上的圖象如下，

y(

7XZ<7\7V-

-4-3-2T01234

選項A,0<sin—=—<=cos—<1,

6226

所以『選項A錯誤;

選項B,因為一3V%，所以OVs023V—cos3V1,

42

所以/(si〃3)<f(-cos3),即f(si〃3)<f(cos3),選項B正確;

立木c?4〃64萬I1.4〃4萬八

愈壩C9sin——----,cos———,I>—sin—>—cos—>()，

323233

所以/(一si〃午47，即/(si〃當

-cos——

3

選項C錯誤;

選項D,/(2020)=/(0)</(l)=/(20l9),選項D錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數性質的綜合運用，考查函數值的大小比較，考查數形結合思想，屬于中檔題.

8.C

【解析】

將的，%分別用4和。的形式表示，然后求解出q和d的值即可表示的?

【詳解】

設等差數列｛4｝的首項為4,公差為4,

4+1=4,

則由a,=4,%=8,得°,。解得4=2,4=2,

%+3"=8,

所以%=q+6d=14.故選C.

【點睛】

本題考查等差數列的基本量的求解，難度較易.已知等差數列的任意兩項的值，可通過構建％和d的方程組求通項公式.

9.C

【解析】

分別求解出M,N集合的具體范圍，由集合的交集運算即可求得答案.

【詳解】

因為集合力={%|%之1},N={xeN|-24x42}={0,1,2},

所以Mp|N={l,2}

故選：C

【點睛】

本題考查對數函數的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算，考查基本運算能力.

10.D

【解析】

根據給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶），B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基

礎題.

11.D

【解析】

計算得到/（x+2版■）=/（x）,+j，故函數是周期函數，軸對稱圖形，故②④正確，根據圖像

知①③錯誤，得到答案.

【詳解】

?。?.，/（x+2^.sin（x+2Hsin^^包

l+2sinxl+2sin（x+2Z乃）l+2sinjc

當沿x軸正方向平移個單位時，重合，故②正確;

cosx

l+2cosx

故/（1一，1=/|?!+11，函數關于x=f對稱，故④正確；

根據圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據函數圖像判斷函數性質，意在考查學生對于三角函數知識和圖像的綜合應用.

12.C

【解析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案.

【詳解】

由---=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘法運算，是基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y/10

【解析】

不妨設點A,D,C,8到面的距離分別為1,2,3,4,平面M向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點O,與4B,

4c分別相交于點E,F,根據題意尸為中點，E為48的三等分點（靠近點A）,設棱長為a,求得

匕=』x@a2xX5a=走再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,從而求得

Da324372

2

Sm.-^-xDExDFxsinZEDF^-x^-ax^-ax^^—a,再根據頂點A到面EOF的距離為1,得到

皿2232V2112

匕=工xSx1=2x且/*1=亞/，然后利用等體積法v=V求解，

/I-E.UI4LUIQICC，

jj123。

【詳解】

不妨設點A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,

平面”向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點。，與AC分別相交于點E,F,如圖所示:

B

由題意得：尸為中點，E為A8的三等分點（靠近點A）,

設棱長為a，S=—x—x—xsin60c=—a2>

*AEF22324

頂點。到面ABC的距離為d

所以％TEF=心屋又凡=工,

D-AEF324372

7

由余弦定理得：EF2--a1+—CT-2x—ax—tzxcos60-—a2,DE2=—cr+a2—2xax—axcos609-

49233693

/Lc.DE2+DF2-EF2

D八FE=—1a2+,a2-2cxax—1axcos6/0=-3a2,cosZEDF=---------------=-；=4,

4242DEDF⑨

所以sinNEDF=更,所以S日以=-><DExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^==—a2,

V2l皿2232V2112

又頂點A到面EDF的距離為1,

所以匕-EDF=]*S?EDFX1J旦”=旦2

31236

因為%-AM=匕-?！甓。?/p>

所吟尋,

解得a-V10,

故答案為：Vio

【點睛】

本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于

難題，

14.2后

【解析】

確定平面AA/CN即為平面a,四邊形是菱形，計算面積得到答案.

【詳解】

如圖，在正方體ABC?！狝4CR中，記AB的中點為N,連接MC,CN,M4,,

則平面4MCN即為平面a.證明如下：

由正方體的性質可知，\MHNC,則A，M,CN,N四點共面，

記CG的中點為尸，連接。尸，易證_LMC.連接所，則EFLMC,

所以平面則DE_LMC.

同理可證，DELNC,NCHMC=C,則平面A^CN,

所以平面4MCN即平面a,且四邊形4MCN即平面a截正方體ABC。-AgG?所得的截面.

因為正方體的棱長為2,易知四邊形AMCN是菱形，

其對角線4。=26，MN=2g，所以其面積S=gx2狡乂26=26.

故答案為：2瓜

DxMG

【點睛】

本題考查了正方體的截面面積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

15.-1

【解析】

由虛數單位i的性質結合復數相等的條件列式求得。，〃的值，則答案可求.

【詳解】

解：由/=i,i~=—1?z3=—i?i4=1

所以4+方=嚴W=a")5%『=T,

得a=0,b=—l.

:.a+b=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查虛數單位i的性質，屬于基礎題.

16.4

【解析】

先對函數f(x)求導，再根據圖象在(0,f(0))處切線的斜率為-4,得f，(())=-4,由此可求a的值.

【詳解】

由函數」(力=%\3一8兀得r(x)=a/+2x—8,\?函數f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為-4,

/./'(0)=￡Z-8=-4,,-.a=4.

故答案為4

【點睛】

本題考查了根據曲線上在某點切線方程的斜率求參數的問題，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)X分布列見解析，V分布列見解析；(2)甲設備，理由見解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,y的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;

(2)計算期望，得至!!E(X)=E(y)=10800,設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為4，〃，計算分布列，計算

數學期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=^^=—,P(X=11000)=-=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

105w

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

p(y=9ooo)=—=—,p(y=ioooo)=—,p(y=11000)=—p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

p

10101010

331

(2)E(X)=10000x—+11000x-+l2000x—=10800

10510

1333

E(r)=9000x—+10000x—+11000x—+12000x—=10800

10101010

設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

P(^=2)=—=—,P(^=3)=—=-,P(^=4)=—=-,P(^=5)=—=—

50105055055010

則J的分布列為

2345

12_31

p

105510

1131

E(^)=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

3_3

P(ri————-J-P(n-4)="=_p(n—515_磊,P(〃=6

J1，rf一J絲-

"50105010\1=50=50'lo

則77的分布列為

73456

1333

p

1010io10

1333

￡(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(Y),因此需購買甲設備

【點睛】

本題考查了數學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

18.(I)(-oo,-l]U[3,+co).

(II)-13</n<5.

【解析】

CC1

3-3x,x<—,

2

詳解：(I)/(x)+/(2x+l)=|x-2|+|2x-l|=<x+l,—<x<2,

2

3x-3,x>2.

當犬<,時，由3—3x26,解得尢工一1；

2

當,工工(2時，工+126不成立；

2

當x>2時，由3%一326,解得

所以不等式f(x)>6的解集為U[3,+8).

(II)因為a+Z?=1(〃,/?>0),

而1/人(41)<4力。、<o)4ba八

所以—I—=(Q+b)—I—=5H----1—之5+2J------=9.

ab\ab)ah\ah

由題意知對卜一2一時一卜1一2歸9,

gp(|x-2-m|-|-x-2|)n)ax<9,

因為—2一”,一|—x—2|—2—一(x+2)|=|-4—時，

所以一94加+4<9,解得一13WmW5.

【點睛】

(1)絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值號，把它轉化為一般的不等式求解，轉化的方法一般有：①絕對值定

義法；②平方法；③零點區(qū)域法.

⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化

為求主元函數的最值，進而求出參數范圍.這種方法本質也是求最值.一般有:

①/(x)<g(a)(a為參數)恒成立og(a)>/(x)max

②f(x)>g(a)(a為參數)恒成立=g(a)</(x)max.

19.(1)(2)60°.

3

【解析】

(1)以OE,OF,OP分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標系，設底面正方形邊長為2,再求解而與平面PC。的法

向量,繼而求得直線8P與平面PCD所成角的正弦值即可.

(2)分別求解平面BPD與平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.

【詳解】

解：(1)在正四棱錐P-4BC。中,底面正方形的對角線AC,BD交于點。，

所以OP_L平面ABC。,取A3的中點E,BC的中點F,

所以OP,OE,OF兩兩垂直,故以點0為坐標原點，

以OE,OF,OP分別為x軸,軸,二軸，建立空間直角坐標系.

設底面正方形邊長為2,

因為。

2

所以。P=L

所以3(1,1,O),C(-1,1,0),0(-1,-1,0),P(0,0,1),

所以麗=(-l,T,l),

設平面PCD的法向量是〃=(x,y,z),

因為麗=(0,—2,0),而

所以前不=-2)，=0,而?Qx-y+z=O,

取x=l,則y=O,z=-1,

所以3=(1,0,-1)

BPn_V6

所以cos<BP,ri>=MH=T

所以直線BP與平面PC。所成角的正弦值為旦.

3

⑵設平面BPD的法向量是n=(x,y,z),

因為BP=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,1),

所以BP?/?=-x-y+z=(),BD-〃=-2jc-2y=0,

取x=l,貝ijy=T,z=0,

所以3=(1,TO),

由(1)知平面PCD的法向量是7=(1,0,-1),

j、m-n1

所以cos<m,n>=pp=-

所以〈欣云>=6()。，

所以銳二面角B-PD?。的大小為60°.

【點睛】

本題主要考查了建立平面直角坐標系求解線面夾角以及二面角的問題，屬于中檔題.

Y2V21?

20.(1)一+—=1；(2)存在，y=----x——

1612105

【解析】

(D把點P(2,3)代入橢圓C的方程，再結合離心率，可得a,b,c的關系，可得橢圓的方程；

(2)設出直線/的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點8的坐標，再由麗.麗=0,可求得直線的方程,要注意

檢驗直線是否和橢圓有兩個交點.

【詳解】

49,a1=16

/+乒=122

（1）由題可得，〃=i2,所以橢圓。的方程二+2_=i

C_121612

c=4yl

a2

（2）由題知A（y,O）,設8（%,%）,直線/的斜率存在設為我,

則/：y=Q+4）與橢圓十+%1聯(lián)立得(3