四川省綿陽市云溪中學高三數(shù)學文期末試題含解析

四川省綿陽市云溪中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知M、N為集合U的兩個非空真子集，且M、N不相等，若，則A．

B．N

C．U

D．M參考答案：D2.如圖1是2013年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為（

）A．85，84 B．84，85C．86，84 D．84，86參考答案：A略3.雅禮中學教務處采用系統(tǒng)抽樣方法，從學校高三年級全體1000名學生中抽50名學生做學習狀況問卷調(diào)查．現(xiàn)將1000名學生從1到1000進行編號，求得間隔數(shù)k=20，即分50組每組20人．在第一組中隨機抽取一個號，如果抽到的是17號，則第8組中應取的號碼是（）A．177 B．157 C．417 D．367參考答案：B【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行計算即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知抽取的號碼構(gòu)成以17為首項，公差d=20的等差數(shù)列{an}，∴an=17+20（n﹣1）=20n﹣3，n=8，a8=157，故選：B．【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應用，根據(jù)系統(tǒng)抽樣轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列是解決本題的關鍵，比較基礎．4.集合.則下列關系正確的是A. B. C. D.參考答案：D5.已知函數(shù)的反函數(shù).若的圖象過點，則等于（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略6.先作與函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象，再將所得圖象向右平移3個單位得到圖象C1．又y＝f(x)的圖象C2與C1關于y＝x對稱，則y＝f(x)的解析式是

.參考答案：7.已知曲線的焦點F，曲線上三點A,B,C滿足,則。A.2

B.4

C.6

D.8參考答案：C8.有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲

7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙

9

5

7

8

7

6

8

6

7

7則下列判斷正確的是

（A）甲射擊的平均成績比乙好

（B）乙射擊的平均成績比甲好

（C）甲比乙的射擊成績穩(wěn)定

（D）乙比甲的射擊成績穩(wěn)定參考答案：D平均成績是算平均數(shù)，甲和乙都相等

穩(wěn)定性可用方差來衡量，方差越小則越穩(wěn)定，考點：平均數(shù)，方差，標準差9.數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=4，則a2+a12的值為（）A． B． C．2 D．4參考答案：B考點：等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得，進一步利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a2+a12的值．解答：解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=4，∴3a7=4，，則a2+a12=．故選：B．點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎的計算題．10.將5名學生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為（

）

A．10

B．20

C．30

D．40參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知函數(shù)，當曲線y=f(x)的切線L的斜率為正數(shù)時,L在x軸上截距的取值范圍為____________.參考答案：略12.已知函數(shù)，，有下列命題：①當時，函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)；②當時，的最大值為；③當時，將函數(shù)的圖象向左平移可以得到函數(shù)的圖象.其中正確命題的序號是

（把你認為正確的命題的序號都填上）．參考答案：②略13.命題“對任意”的否定是

參考答案：存在,使得

略14.在平面直角坐標系xOy中，點M是橢圓（a＞b＞0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點．若△PQM是鈍角三角形，則該橢圓離心率的取值范圍是

．參考答案：

15.已知數(shù)列的前項和為，且，，則滿足的的最小值為

．參考答案：416.．已知直角梯形,，，沿折疊成三棱錐，當三棱錐體積最大時，求此時三棱錐外接球的體積

參考答案：略17.若不等式的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點（，1）在函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x的圖象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)減區(qū)間．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象過點（，1），可得a的值．利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；根據(jù)k的取值，即可得x在（0，π）的減區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x．化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．∵圖象過點（，1），即1=asin+cos可得：a=1．∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴函數(shù)的最小正周期T=．（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．可得：≤x≤，k∈Z．函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[，]，k∈Z．∵x∈（0，π）．當k=0時，可得單調(diào)減區(qū)間為[，]．函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)減區(qū)間為[，]．19.設函數(shù)f（x）=alnx+bx2，其中實數(shù)a，b為常數(shù)．（Ⅰ）已知曲線y=f（x）在x=1處取得極值．①求a，b的值；②證明：f（x）＞；（Ⅱ）當b=時，若方程f（x）=（a+1）x恰有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）①求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于a，b的方程組，解出即可；②求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出f（x）的最小值，令g（x）=，求出g（x）的最大值，證明結(jié)論即可；（Ⅱ）根據(jù)方程x2﹣（a+1）x+alnx=0在（0，+∞）上恰有2個解，令g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，其中x∈（0，+∞），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）①f′（x）=+2bx，由題意得，解得；②f（x）=﹣lnx+x2，f′（x）=﹣+x=，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，故f（x）的最小值是f（1）=，令g（x）=，g′（x）=，x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，故g（x）的最大值是g（1）=，∵f（x）min＞g（x）max，故f（x）＞g（x），即f（x）＞成立；（Ⅱ）方程f（x）=（a+1）x恰有兩個不同的解，即方程x2﹣（a+1）x+alnx=0在（0，+∞）上恰有2個解，令g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，其中x∈（0，+∞），g′（x）=x﹣（a+1）+=，（1）a＜0時，g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∵有2個零點，故g（1）＜0，即﹣＜a＜0，（2）a=0時，g（x）=x2﹣x只有1個零點2，舍，（3）0＜a＜1時，g（x）在（0，a）遞增，在（a，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∵有2個零點，且g（1）=﹣a﹣＜0，故g（a）=0，無解，舍，（4）a=1時，g（x）在（0，+∞）遞增，不可能有2個零點，舍，（5）a＞1時，g（x）在（0，1）遞增，在（1，a）遞減，在（a，+∞）遞增，∵g（1）=﹣a﹣＜0，不可能有2個零點，舍，綜上，a∈（﹣，0）時，方程f（x）=（a+1）xx恰有2個解．20.已知函數(shù).（1）當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.參考答案：（1）；（2）不存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為.【分析】（1）由對數(shù)的底數(shù)可知且，則內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，將在上有意義，轉(zhuǎn)化為，于此可求出實數(shù)的取值范圍；（2）由內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)得出外層函數(shù)為增函數(shù)，可得出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，解出的值可解答該問題.【詳解】（1）且，設，則為減函數(shù)，時，的最小值為，當時，恒有意義，即時，恒成立，，所以.又且，的取值范圍是；（2），，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，，時，的最小值為，的最大值為，，即，故不存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為.【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的問題，考查復合函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時利用復合函數(shù)同增異減法來求單調(diào)區(qū)間外，還需考慮真數(shù)在所給區(qū)間上恒為正數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21.如圖，在棱臺ABC﹣FED中，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N為CE中點，．（Ⅰ）λ為何值時，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線AN與平面BMN所成角的正弦值．參考答案：【考點】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中點P，連接PM，PN，可得MP∥AC，則MP∥平面ABC．再由已知證明NP∥平面ABC．得到平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中點O，連OA，OE，可證AO⊥BC，OE⊥BC．分別以OE，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．求出所用點的坐標，得到平面BMN的法向量，求出＜＞的余弦值，即可得到直線AN與平面MNB所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）當，即M為AF中點時MN∥平面ABC．事實上，取CD中點P，連接PM，PN，∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，∵AC?平面ABC，MP?平面ABC，∴MP∥平面ABC．由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，又DE∥BC，∴NP∥BC，∵BC?平面ABC，NP?平面ABC，∴NP∥平面ABC．∴平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中點O，連OA，OE，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO?平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，又CD⊥BC，∴OE⊥BC．分別以OE，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．則A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，∴F（1，，），M（，，），N（）．設為平面BMN的法向量，則，取z=1，得．cos＜＞=．∴直線AN與平面MNB所成角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求線面角，是中檔題．22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中點。（Ⅰ）求證：平面平面PBC；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值。參考答案：解：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，，，，，又，平面PBC，平面EAC，平面平面PBC（Ⅱ