計算方法第二章

計算方法第二章第一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.1引言在實際問題中，我們會遇到兩種情況變量間存在函數(shù)關(guān)系，但只能給出一離散點列上的值變量間的函數(shù)關(guān)系可以表示，但計算復(fù)雜，只能計算特殊點的函數(shù)值為了研究自變量與因變量間的變化關(guān)系，我們需要建立變量間的函數(shù)關(guān)系，從而可以計算原始數(shù)據(jù)以外需要處的值，這就是我們研究插值的目的。第二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五插值的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點上的值，，，，若存在一簡單函數(shù)，使：，成立，就稱為的插值函數(shù)，點稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)的方法稱為插值法。若是次數(shù)不超過代數(shù)多項式，即第三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其中為實數(shù)，就稱為插值多項式，相應(yīng)的插值法稱為多項式插值。若為分段多項式，就稱為分段插值。若為三角多項式，就稱為三角插值。第四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五插值的幾何意義從幾何上看，插值就是求一條曲線使其通過給定的個點，并且與已知曲線有一定的近似度。第五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五本章的主要內(nèi)容插值多項式分段插值函數(shù)樣條插值函數(shù)插值多項式的存在唯一性插值多項式的收斂性插值的誤差估計第六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2

拉格朗日插值2.2.1線性插值與拋物線插值2.2.2拉格朗日插值多項式2.2.3插值余項與誤差估計第七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.1

線性插值與拋物線插值線性插值：對兩點，，通過這兩點的插值多項式是一條直線，其方程為：這里的就是我們所求的線性插值函數(shù)。若記，，則

稱，為關(guān)于，的線性插值基函數(shù)。第八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.1

線性插值與拋物線插值線性插值與其基函數(shù)示意圖第九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.1

線性插值與拋物線插值線性插值與其基函數(shù)示意圖第十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.1

線性插值與拋物線插值拋物線插值：當(dāng)時，對于給定的三點：我們可以求出一條通過這三個點的拋物線：其中：稱為關(guān)于點，，的2次插值基函數(shù)。第十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五二次插值基函數(shù)示意圖第十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五拉格朗日插值多項式定義：若次多項式在個節(jié)點上滿足條件：就稱這個次多項式為節(jié)點上的次插值基函數(shù)?？梢酝瞥觯旱谑摚惨话偎氖?，編輯于2023年，星期五拉格朗日插值多項式從而，插值多項式可表示為：由基函數(shù)的定義，我們可以算得：多項式稱為拉格朗日多項式。引入記號可以求得于是得到第十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五插值多項式的存在唯一定理定理：在次數(shù)不超過的多項式集合中，滿足插值條件的插值多項式是存在唯一的。定理的證明：僅需證明唯一性。反證:

假設(shè)不唯一，即有和均滿足插值條件。于是有對，成立，這表明多項式有個零點，這與次多項式只有個零點矛盾，故只能。第十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)存在唯一性定理，若令，，可得：若取，則

第十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.3插值余項與誤差估計稱為插值多項式的余項定理2：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，節(jié)點為是滿足插值條件的插值多項式，則對任何，插值余項

這里且依賴于，如以前定義第十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五證明：由已知條件得到：于是有：其中是與有關(guān)的待定函數(shù)?，F(xiàn)在把看成一個固定點，作函數(shù)根據(jù)插值條件及余項定義，可知在點及處均為零，故在第十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上有個零點，根據(jù)Roll定理，在的每兩個零點間至少有一個零點，故在內(nèi)至少有個零點，對再用Roll定理，可知在內(nèi)至少有個零點，依此類推，在內(nèi)至少有一個零點，記為，使得且依賴于于是結(jié)論成立。第十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由于是不能確定，因此我們并不能確定誤差的大小，但如能求出，那么用逼近的截斷誤差限是：當(dāng)時，當(dāng)時第二十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例1已知，，用線性插值及拋物線插值計算的值并估計截斷誤差。解：由題意令線性插值時取，得插值公式：第二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其截斷誤差為：其中，因為可取，于是：

第二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五用拋物線插值時，所有節(jié)點全取，得到第二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五余項討論：其中：于是：我們注意到，這時精度已與6位函數(shù)表一致第二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.3

均差與牛頓插值公式Lagrange插值的優(yōu)缺點：公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中方便，但如遇節(jié)點增減，所有數(shù)據(jù)需全部重算。為改變這種狀態(tài)，我們尋求如下形式的插值多項式：其中的為待定系數(shù)，由插值條件確定第二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五均差的定義記函數(shù)在的值，稱為關(guān)于的零階均差。從零階均差出發(fā)，歸納地定義各階均差稱為函數(shù)關(guān)于點的一階均差一般地，關(guān)于的k階均差為第二十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五均差的基本性質(zhì)性質(zhì)1：均差可表示為函數(shù)值的線性組合，即：性質(zhì)2：均差關(guān)于所含節(jié)點是對稱的，即：性質(zhì)3：性質(zhì)4：設(shè)在存在n階導(dǎo)數(shù)，且則，使得第二十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五均差性質(zhì)的證明性質(zhì)1可用歸納法證明；性質(zhì)2是性質(zhì)1的直接推論；性質(zhì)3可由下式得到性質(zhì)4的證明在下面的討論中給出。第二十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五均差的計算均差的計算一般用列均差表的方法，即一階均差二階均差三階均差四階均差第三十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五牛頓插值公式根據(jù)均差的定義，把看成上的一點，可得：只要把后一式代入前一式，就得到：第三十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其中顯然滿足插值條件，且次數(shù)不超過它就是插值多項式，其系數(shù)為：我們稱為牛頓均差插值多項式第三十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2已知的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項式從表中可以看到4階均差幾乎為常數(shù)，故取4次插值多項式即可，于是：0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012第三十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五于是：截斷誤差為：這說明截斷誤差很小。第三十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五截斷誤差的估計這里的截斷誤差估計時，5階均差是用來近似的，另一種方法是，用來近似，從而求得的近似值第三十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五差分和等距節(jié)點插值在前面的討論中，節(jié)點是任意分布的，但實際上經(jīng)常遇到等距節(jié)點的情況，這時插值公式可以得到簡化，為此，我們先介紹差分的概念。設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點上的值為已知，這里為常數(shù)，稱為步長。我們來討論差分的定義。第三十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五差分的定義記號分別稱為在處以為步長的向前差分、向后差分、中心差分符號、、分別稱為向前差分算子、向后差分算子、中心差分算子第三十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五高階差分用一階差分可以定義二階差分一般地可定義m階差分為：對于中心差分，因為用到的、不在函數(shù)表上，因此，一階中心差分應(yīng)寫成、從而定義、以此類推。第三十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五不變算子I、移位算子E定義從而可得：于是得到：同理，由于：得到：由于：得到：由差分的定義及不變算子和移位算子有第三十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五差分的性質(zhì)性質(zhì)1：各階差分均可用函數(shù)值表示，如：性質(zhì)2：某點的函數(shù)可用各階差分來表示：第四十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)3：均差與差分有如下關(guān)系：性質(zhì)4：差分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：第四十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五差分的計算計算差分可用差分表的方式：第四十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五等距節(jié)點插值公式將牛頓插值公式中的各階均差用相應(yīng)的差分代替，即得各種形式的等距節(jié)點插值公式牛頓前插公式令，有從而可得插值多項式和余項分別為：第四十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五牛頓后插公式令，有從而可得插值多項式和余項分別為：第四十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例3已知在處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點插值公式計算及的近似值并估計誤差。解：先構(gòu)造差分表如下頁。用牛頓向前插值公式計算的近似值，取，，用差分表的上半部差分，得第四十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534-0.00500-0.01493-0.02473-0.03428-0.04348-0.05224-0.00993-0.00980-0.00955-0.00920-0.008760.000130.000250.000350.000440.000120.000100.00009-0.00002-0.00001第四十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

第四十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五用牛頓向后插值公式計算的近似值，取，，，用差分表的下半部差分，得第四十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.5埃爾米特插值拉格朗日和牛頓均只保證函數(shù)插值；實際問題有時需要導(dǎo)數(shù)也插值；滿足這種需要的插值稱為埃爾米特插值第四十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五埃爾米特插值的一般提法埃爾米特插值的一般提法為：設(shè)函數(shù)在節(jié)點的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值為：其中是正整數(shù)，尋求一個次數(shù)盡可能低的多項式，使?jié)M足：第五十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五可以證明，存在唯一的滿足插值條件的次數(shù)不超過的多項式，即所謂的埃爾米特多項式其中是多項式，且滿足條件：第五十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五較為實用的簡單情況當(dāng)時有：而多項式的次數(shù)為不超過，記為，因此：滿足條件：，，從幾何上看，即要求與在個節(jié)點處有相同的切線（即曲線相切），此時稱為二重節(jié)點。這種帶導(dǎo)數(shù)的插值法稱為密切插值。第五十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五二點三次埃爾米特插值定理：設(shè)，則在區(qū)間上滿足插值條件的不超過3次的多項式是存在唯一的，且可如下構(gòu)造：其中稱為插值基函數(shù)。如果，那么插值余項為：第五十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五插值基函數(shù)

第五十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五定理的證明先證明滿足插值條件。易驗證：第五十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五從而證明滿足插值條件，這同時也證明了的存在性。第五十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五唯一性證明。設(shè)有兩個不超過3次的多項式和同時滿足插值條件，顯然是次數(shù)不超過3次的多項式且有這表明和都是的二重根，從而這是不可能的，除非，即，因此第五十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五再證余項公式。設(shè)，則有：所以，，都是的二重根，從而可表示為：對于任何固定的，，，構(gòu)造自變量為的輔助函數(shù)第五十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五則，，是在上的三個互異的零點，且和為二重零點，因此，存在及，使得：同時有，故為在內(nèi)的四個互異的零點，因此在中有一個零點，而而，因此由得到：第五十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在推導(dǎo)形式的由來。對于個節(jié)點，每個節(jié)點都滿足函數(shù)插值，導(dǎo)數(shù)插值，即共有個條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過的多項式，其形式為：目標(biāo)：求出所有的；方法：基函數(shù)法第六十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五先求插值基函數(shù)基函數(shù)都是次多項式，且滿足：這樣可表示為：顯然有：第六十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在求及，令其中從而有：由此即得：，故：，第六十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由的表達式可得：于是得到：同理可得取，節(jié)點為，，即得前面給出的第六十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五低階缺導(dǎo)數(shù)項的埃爾米特插值本節(jié)通過一個實例說明該類問題的解法例：求多項式，滿足條件：，，，并求余項表達式。分析：這是一種缺導(dǎo)數(shù)項的埃爾米特插值，用基函數(shù)方法來做，求3次多項式：第六十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其中基函數(shù)，，，滿足條件：，，，，，，，，，，，，因此，設(shè)：第六十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五從而有：所以有第六十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五于是：從而：故：第六十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由于是的三重根，且，故有至于，它應(yīng)有因子，故設(shè)則從而應(yīng)有：第六十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五因為所以：代入：得到：從而求得：第六十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五故：從而：第七十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五最后看，顯然可設(shè)：則：從而有：因為：，所以有：故：，第七十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五從而：因此：最終得到插值多項式為：第七十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五再看牛頓插值方式，為了滿足插值條件和，可設(shè)其中與是待定常數(shù)，由條件和來確定。通過簡單計算可得第七十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五最后看余項，因為可設(shè)：構(gòu)造輔助函數(shù)：則在處為零，且為3重零點，這樣，利用Roll定理可以證明：第七十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.6

分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)對于一個確定的區(qū)間，如果插值節(jié)點之間的距離較小，自然插值節(jié)點就增多，如果用一個多項式插值，自然次數(shù)就會升高，也就是說要用高次多項式插值。

20世紀(jì)初，Runge就給出了一個等距節(jié)點插值多項式不收斂到的例子。第七十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五Runge的例設(shè)，它在上各階導(dǎo)數(shù)均存在，在該區(qū)間上取個等距節(jié)點構(gòu)造拉格朗日插值多項式為令，則，下表列出了的和的值。第七十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五20.1379310.759615-0.62168440.066390-0.3568260.42321660.0544630.607879-0.55341680.049651-0.8310170.880668100.0470591.578721-1.531662120.045440-2.7550002.800440140.0443345.332743-5.288409160.043530-10.17386710.217397180.04292020.123671-20.080751200.042440-39.95244939.994889第七十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五從表中可以看出，隨著的增加，的絕對值幾乎成倍地增加，這說明當(dāng)時在上不收斂。Runge證明了，存在一個常數(shù)，使得當(dāng)時，而當(dāng)時發(fā)散。下圖給出時，及在的圖形。第七十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第七十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五定義拉格朗日插值基函數(shù)的程序functiony=Ln(t,x,n,i)s=1;s1=1;xfori1=0:nifi1~=is=s.*(t-x(i1+1))endendfori1=0:nifi1~=is1=s1.*(x(i+1)-x(i1+1))endendy=s/s1第八十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五計算插值多項式等的程序functiony=L(t,x,n)sum=0;fori1=0:nsum=sum+f1(x(i1+1))*Ln(t,x,n,i1)endy=sum定義被插函數(shù)functiony=f1(x)y=1./(1+x.*x)繪制圖形的程序t3=-5:0.1:5;y1=f1(t3);y2=L(t3,x,10);plot(t3,y1,'-r',t3,y2,'-b')legend('被插函數(shù)','插值多項式')第八十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五高階差分計算舍入誤差的影響例：設(shè)在一組等距節(jié)點的值為：現(xiàn)假定在一個節(jié)點處產(chǎn)生誤差試分析高階差分的誤差傳播。應(yīng)該從序列出發(fā)計算各階差分，而實際上是從序列出發(fā)計算各階差分，這里，誤差，顯然第八十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五000r00000r－r000r-2rr00r

-3r3r-r00r-4r6r-4r-r00r-5r10r-10r5r-r00r-6r15r-20r15r-6rr0第八十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五可見，誤差在傳播中被放大。因此，在實際應(yīng)用中，對于節(jié)點較多的情況，一般采用分段低次插值的方法來求解問題。第八十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五分段線性插值分段線性插值特別簡單，從幾何上看，就是用折線逼近曲線。分段線性插值的數(shù)學(xué)定義設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，在節(jié)點上的函數(shù)值為，記：，如果函數(shù)滿足：（1）（2）（3）在上，是次數(shù)的多項式。則稱為的分段線性插值函數(shù)。第八十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五分段線性插值基函數(shù)考慮最簡單的情形：設(shè)記如此情形的分段線性插值函數(shù)為，則當(dāng)時，當(dāng)時，第八十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，定義：上述定義的，稱為以為節(jié)點的分段線性插值基函數(shù)。它們的圖形如下頁所示。

第八十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第八十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五顯然是的線性組合：在區(qū)間上的值為：在區(qū)間上還成立：第八十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在證明，考慮這里是函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)模，即對于任意兩點，只要，就有，稱為的連續(xù)模。當(dāng)時，就有，由前式可知：當(dāng)時有：第九十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五因此，只要，就有在上一致成立，故在上一致收斂到。第九十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五接著，我們討論余項。分段線性插值的誤差估計可利用線性插值的余項公式，從而得到或其中。第九十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五分段二次插值分段二次插值的數(shù)學(xué)定義設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，在節(jié)點上的函數(shù)值為，記：，如果函數(shù)滿足：（1）（2）（3）在上，是次數(shù)的多項式。則稱為的分段二次插值多項式。第九十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由定義，分段二次插值多項式在小區(qū)間上應(yīng)滿足三個插值條件故相應(yīng)的拋物線插值公式為：第九十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其整體表達式為：其中是由各小區(qū)間上的拋物線或直線連接而成的分段拉格朗日插值基函數(shù)。第九十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

第九十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第九十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第九十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第九十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五第一百頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五可以看到，的支集是跨兩個小區(qū)間，的支集是的支集是，的支集是。最后，二次分段插值多項式的局部誤差估計式為：其中：，而整體誤差估計式為：第一百零一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五分段三次埃爾米特插值分段線性插值和分段拋物線插值在節(jié)點處導(dǎo)數(shù)均不存在。如果需要插值函數(shù)在節(jié)點處也可導(dǎo)，并且在節(jié)點處有函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值均插值，則可用分段埃爾米特插值。

第一百零二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五分段三次埃爾米特插值的數(shù)學(xué)定義設(shè)是區(qū)間上的函數(shù)，在節(jié)點上的函數(shù)值為，函數(shù)值為，記：，如果函數(shù)滿足：（1）（2）（3）在上，是次數(shù)的多項式。則稱為的分段三次埃爾米特插值函數(shù)。第一百零三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五先考慮兩種簡單情形：情形1：設(shè)記滿足此條件的分段三次埃爾米特插值多項式為，則有，當(dāng)時第一百零四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，當(dāng)時，第一百零五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五情形2：設(shè)記滿足此條件的分段三次埃爾米特插值多項式為，則有，當(dāng)時第一百零六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，當(dāng)時，第一百零七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五定義：由前面定義的分段三次函數(shù)與稱為以為節(jié)點的分段三次Hermite插值基函數(shù)，從而，分段三次Hermite插值函數(shù)是基函數(shù)的線性組合：在區(qū)間上，

第一百零八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五而且，若，則有：第一百零九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.7三次樣條插值樣條函數(shù)的背景和定義分段線性插值導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；埃爾米特插值導(dǎo)數(shù)連續(xù)但需要已知；本節(jié)討論一種特殊類型的分段三次插值，稱為三次樣條插值。比拉格朗日插值多兩個條件，二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。第一百一十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五位移函數(shù)的力學(xué)性質(zhì)設(shè)位移曲線為，則在力學(xué)上，表示彎矩，呈折線形表示剪力，呈臺階形因此，這種樣條曲線是分段三次多項式在內(nèi)節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。第一百一十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五樣條函數(shù)的數(shù)學(xué)定義定義：對于區(qū)間上給定的一個分劃如果函數(shù)在子區(qū)間上都是不超過次的多項式，并且階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點處連續(xù)，則稱為區(qū)間上以為節(jié)點的次樣條函數(shù)。第一百一十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五進而，對于函數(shù)，若還滿足插值條件：則稱為在區(qū)間上的次樣條插值函數(shù)。第一百一十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五三次樣條插值的定解條件三次樣條是節(jié)點上的分段三次多項式，故可寫成：其中為待定系數(shù)，共有個未知數(shù)，而應(yīng)滿足的條件為：(1)插值和函數(shù)連續(xù)條件個；(2)內(nèi)節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)個條件；(3)內(nèi)節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)個條件；第一百一十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五即：總共由個條件，因此，要確定個系數(shù)，還需要附加兩個條件。在實際應(yīng)用中，我們一般使用如下三種類型的條件。第一百一十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五三次樣條的邊界條件固支條件：即已知兩個端點的一階導(dǎo)數(shù)值已知兩個端點的二階導(dǎo)數(shù)值：特別地，當(dāng)時稱為自由邊界周期條件：同時要求.第一百一十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例：三次樣條的待定系數(shù)法已知函數(shù)在三個點處的值為在區(qū)間上，求在自然邊界條件下的三次樣條多項式。解：這里，區(qū)間分成兩個子區(qū)間，故設(shè)：第一百一十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由插值條件和函數(shù)連續(xù)條件：，得：由內(nèi)節(jié)點一、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：，得：由自然邊界條件：，得：第一百一十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五從而可解得：，，從而問題的解為：此法稱為待定系數(shù)法。第一百一十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五三彎矩算法待定系數(shù)法要解一個階的線性方程組本方法只需求解一個不超過階的線性方程組，而且有明確的力學(xué)含義。對于上的節(jié)點，記注意到為折線，若記在節(jié)點處的待定值為：第一百二十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五則可用分段線性插值表示為：這隱含了滿足內(nèi)節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。對作二次不定積分，可得：第一百二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五其中為待定參數(shù)，利用插值條件：，可得：第一百二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

故有：第一百二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

第一百二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

從而有：第一百二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五于是由，得：即：若記：則上式可簡記為：第一百二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五這就是待定值滿足的線性方程組，因為其中含有三個彎矩值