拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程MNNM橢圓與雙曲線的第二定義與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，xyoxyoFF'F'F

當(dāng)0＜e＜1時(shí)，是橢圓，當(dāng)e＞1時(shí)，是雙曲線。當(dāng)e=1時(shí)，它又是什么曲線？幾何畫(huà)板演示拋物線的定義lFKMN

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.思考

？類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，你認(rèn)為如何選擇坐標(biāo)系，建立拋物線的方程？lFKMN分三組別求出它們的方程：（1）（2）（以焦點(diǎn)為原點(diǎn)）

（以準(zhǔn)線為y軸）3、（以頂點(diǎn)為原點(diǎn)）

··FMlN··FMlN··FMlN焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（p,0）準(zhǔn)線l的方程為x=0焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,0）準(zhǔn)線l的方程為x=-p

xyoxyoxyo二、標(biāo)準(zhǔn)方程xyo··FMlNK設(shè)︱KF︱=p則F（，0），l：x=-

p2p2設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由定義可知，化簡(jiǎn)得y2=2px（p＞0）

方程y2=2px叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

它表示的拋物線焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(p/2,0),它的準(zhǔn)線方程是x=-p/2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程xyolFK其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離xyoxyoFl拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)(p/2,0)x=-p/2標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程x2=2py(p>0)(0,p/2)y=-p/2x2=2py(p>0)(0,p/2)y=-p/2y2=-2px(p>0)(-p/2,0)x=p/2xyoFlx2=-2py(p>0)(0,-p/2)y=p/2圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=-2px(p>0)(0,p/2)y=p/2xyoxyoxyoxyoFllFFllFy2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)(0,-p/2)(p/2,0)(-p/2,0)y=-p/2x=p/2x=-p/2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程總結(jié)交流填表相同點(diǎn)（1）頂點(diǎn)為原點(diǎn);（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其值為p/2.相同點(diǎn)（1）頂點(diǎn)為原點(diǎn);（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其值為p/2.相同點(diǎn)（1）頂點(diǎn)為原點(diǎn);（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其值為p/2.相同點(diǎn)（1）頂點(diǎn)為原點(diǎn);（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其值為p/2.不同點(diǎn)（1）一次項(xiàng)變量為x(y)，則對(duì)稱軸為x(y)軸;(2)一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開(kāi)口向坐標(biāo)軸的正（負(fù)）方向.不同點(diǎn)（1）一次項(xiàng)變量為x(y)，則對(duì)稱軸為x(y)軸;(2)一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開(kāi)口向坐標(biāo)軸的正（負(fù)）方向.不同點(diǎn)（1）一次項(xiàng)變量為x(y)，則對(duì)稱軸為x(y)軸;(2)一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開(kāi)口向坐標(biāo)軸的正（負(fù)）方向.不同點(diǎn)（1）一次項(xiàng)變量為x(y)，則對(duì)稱軸為x(y)軸;(2)一次項(xiàng)系數(shù)為正（負(fù)），則開(kāi)口向坐標(biāo)軸的正（負(fù)）方向.1.

拋物線的準(zhǔn)線方程是x=－4,

則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.焦點(diǎn)坐標(biāo)為

.2.

拋物線y=ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

.y2=16x(4,0)課堂練習(xí)

3.

拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a(a>),則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是

,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是

.aa－

4.

拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是

.課堂練習(xí)

例題講解

例1.(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解:(1)因?yàn)閜=3,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3/2,0),準(zhǔn)線方程是x=-3/2.(2)若拋物線焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2ｐx,由于點(diǎn)(-4,-2)在拋物線上,故有(-2)2=2ｐ(-4),解得ｐ=-1／２,故此時(shí)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-x;

若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=２ｐy,由于點(diǎn)(-4,-2)在拋物線上,故有(-4)2=２ｐ(-2),解得ｐ=-４,故此時(shí)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y;

綜上所述,滿足題意的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2=-x或x2=-8y.xyo(-4,-2)變式訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)是F（3，0）；(2)準(zhǔn)線方程是x=1/4；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；(4)焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上.2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程(1)y2=28x;(2)4x2=3y;(3)2y2+5x=0;(4)y=4ax2y2=12xy2=-xy2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4yy2=16x或x2=-12y焦點(diǎn)（7，0），準(zhǔn)線x=-7焦點(diǎn)(0,1/16a),準(zhǔn)線y=-1/16a;焦點(diǎn)（0，3/16），準(zhǔn)線y=-3/16焦點(diǎn)（-5/8，0），準(zhǔn)線x=5/8

例2.點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程.例題講解xyoF(4,0)Mx+5=0

解:由已知條件可知,點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離,根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F(4,0)為焦點(diǎn)的拋物線.∵p/2=4,∴p=8.

又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸的正半軸,所以點(diǎn)M的軌跡方程為

y2=16x.例3一種衛(wèi)星接受天線的軸截面是拋物線的一部分.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接受天線,經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為0.5m,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.圖形

怎樣把拋物線的位置特征（標(biāo)準(zhǔn)位置）和方程特征（標(biāo)準(zhǔn)方程）統(tǒng)一起來(lái)？拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程想一想？一次項(xiàng)字母定軸，一次項(xiàng)符號(hào)定向1、（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的方程是y=－6x2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。三、同步練習(xí)（4）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=－6,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程?？偨Y(jié)：練習(xí)：求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（1）y

2=20x（2）x

2=y12（4）（3）2y

2+5x=0焦點(diǎn)F(5,0)準(zhǔn)線：x=－518焦點(diǎn)F(0,)準(zhǔn)線：y=－18①求拋物線的焦點(diǎn)時(shí)一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式；本題小結(jié):②先定位，后定量。焦點(diǎn)準(zhǔn)線焦點(diǎn)F（0，1）準(zhǔn)線：y=-1解：二次函數(shù)y=ax2

化為：x2=y，表示拋物線1a其中2p=1

a4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是：

y=4a1②當(dāng)a<0時(shí),,拋物線的開(kāi)口向下p2=14a焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是：

y=4a114a①當(dāng)a>0時(shí),,拋物線的開(kāi)口向上p2=1