第48講空間幾何體的表面積與體積

第48講 空間幾何體的表面積與體積31．(2017·江卷浙)某幾何體的三視圖如圖所示 (單位：cm)，則該幾何體的體積 (單位：cm)是(A)A.ππ＋1B.＋3223πD.3πC.＋1＋322由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是2的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，所以該幾何體的體積11211πV＝3×2π×1×3＋3×2×2×2×3＝2＋1.2．(2015·課標(biāo)卷Ⅰ新)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(B)A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛π16設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則2r＝8，所以r＝π，所以米堆的體積為1×12π×(162×5≈320(立方尺)．故堆放的米約有320V＝43π·r·5＝12π)99÷1.62≈22(斛)．3．(2018·北五校高三聯(lián)考河)已知幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為(C)4A．1 B.35C.3 D．2將三視圖還原為直觀圖，如圖 1.圖1由直觀圖可知，該幾何體是一個組合體，將該組合體分割成兩個幾何體，如圖 2.圖2其中E-AGHD為四棱錐，EGH-FBC為三棱柱．12四棱錐E-AGHD是底面邊長分別為1,2的矩形，高為1，其體積V1＝×1×2×1＝.33三棱柱EGH-FBC為斜三棱柱，此棱柱通過割補可變成一個直三棱柱E′GH-F′BC，如圖3.圖31此棱柱的體積 V2＝2×2×1×1＝1.所以所求幾何體的體積V＝V51＋V2＝.3為14．已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，則球O的表面積為(D)216A.9πB.3π64C.9πD.3π在△ABC中，因為AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，由正弦定理得AC＝2r(r為△ABC的外接圓半徑)，sin∠ABC2＝4，所以r＝2.即2r＝sin30°因為R2＝r2＋h2，又因為 h＝R2，2所以R2＝4＋R4，解得R2＝163，64π所以球O的表面積為S＝4πR＝3.5．(2016·江卷浙)某幾何體的三視圖如圖所示 (單位：cm)，則該幾何體的表面積是 80cm2，體積是 40 cm3.由三視圖還原幾何體如圖所示，下面長方體的長、寬都是 4，高為2；上面正方體的棱長為 2.所以該幾何體的表面積為 (4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；體積為4×4×2＋23＝40(cm3)．6．(2017天·津卷)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為918，則這個球的體積為

2π

.設(shè)正方體的棱長為

a，則

6a2＝18，所以

a＝

3.設(shè)球的半徑為

R，則由題意知

2R＝

a2＋a2＋a2＝3，所以

3R＝2.故球的體積

4 3 4 33 9V＝3πR＝3π×(2)＝2π.7．一個正三棱錐的底面邊長為

6，側(cè)棱長為

15，求這個三棱錐的體積．如圖，正三棱錐

S-ABC

，設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH即為該正三棱錐的高，連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AH⊥BC.因為△ABC是邊長為6的正三角形，32所以AE＝2×6＝33，所以AH＝3AE＝23，△11×6×33＝93.在△ABC中，SABC＝2BC·AE＝2在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，所以SH＝SA2－AH2＝15－12＝3，所以V正三棱錐＝1△1×93×3＝9.3SABC·SH＝38．(2015·慶卷重)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (A)123＋πB.3＋πC.1＋2πD.2＋2π33由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和一個三棱錐組成的．由圖中數(shù)據(jù)可得三棱錐的體積1×1×2×1×1＝11×π×12×2＝π，所以V＝1V1＝323，半圓柱的體積V2＝23＋π.9．(2017山·東卷)由一個長方體和兩個1圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下圖，則該幾何4體的體積為2＋π.22,1,1的長方體和兩個半徑為1，高為1的1該幾何體由一個長、寬、高分別為4圓柱體構(gòu)成，12π所以V＝2×1×1＋2×4×π×1×1＝2＋2.10．如圖，是一個獎杯的三視圖(單位：cm)，底座是正四棱臺．(1)求這個獎杯的體積 (π取3.14)；(2)求這個獎杯的底座的側(cè)面積．球的體積V球＝43πr3＝36π，圓柱的體積

V圓柱＝Sh1＝64π，正四棱臺的體積是

1V正四棱臺＝3h2(S上＋S下＋

S上·S下)