2023年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺演練04概率統(tǒng)計(jì)與期望方差分布列大題壓軸練（解析版）

【一專三練】專題04概率統(tǒng)計(jì)與期望方差分布列大題壓軸

練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次

性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是

一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放

入抽屜中，求：

（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

（2）取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）取了〃5=2,3,4,…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

2.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年2月6日，中國(guó)女足在

兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決

賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門(mén)將朱鉉兩度撲出日本隊(duì)員

的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右

三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且

門(mén)將即使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，

求門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第

n次傳球之前球在甲腳下的概率為Pn,易知口=1,P2=0.

①試證明為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為冊(cè)，比較Pl0與心的大小.

3.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)

大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)

到峰值，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)

對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極

大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，

對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)'’具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),

用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量，(單位：萬(wàn)臺(tái))關(guān)于X(年份)的線性回歸方程為

y=4.7x-9459.2,且銷量>的方差為$=書(shū)754，年份尢的方差為尷=2.

(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；

(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表:

性別購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)汽車購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車總計(jì)

男性39645

女性301545

總計(jì)692190

依據(jù)小概率值0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)；

(3)在購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3

人，記這3人中，男性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

①參考數(shù)據(jù)：75x127=>/635?25;

￡(不一可他一歹)

②參考公式：(i)線性回歸方程：y=bx+a,其中成=------------,a=y-hxi

2(—)2

i=\

￡(%-可(必-反)

(ii)相關(guān)系數(shù)：r=I,若/'AO.g,則可判斷y與X線性相關(guān)較

\￡(匕-可2￡(%-力

V1=1/=1

強(qiáng).

1

2niad-bc)一，,,.

(/)=77T7-----T7T~~,其中〃=a+8+c+d.附表：

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

a0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

4.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊(duì)參加，其中歐洲球隊(duì)

有13支，分別是德國(guó)、丹麥、法國(guó)、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時(shí)、荷蘭、塞

爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士.世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)

入淘汰賽階段時(shí)，比賽必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)

分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比

賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)來(lái)分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為

2個(gè)階段.第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為

標(biāo)準(zhǔn)(非必要無(wú)需踢滿5輪)，前5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利.第

二階段：如果前5輪還是平局，進(jìn)入“突然死亡”階段，雙方依次輪流踢點(diǎn)球，如果在該

階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)

點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.

下表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果:

淘汰賽比賽結(jié)果淘汰賽比賽結(jié)果

荷蘭3：1美國(guó)克羅地亞(4)1：K2)巴西

阿根廷2:1澳大利亞荷蘭(3)2：久4)阿根廷

1/4決賽

法國(guó)3：1波蘭摩洛哥葡萄牙

英格蘭3：°塞內(nèi)加爾英格蘭以法國(guó)

1/8決賽

日本⑴1:1(3)克羅地亞阿根廷3:0克羅地亞

半決賽

巴西4：1韓國(guó)法國(guó)2:0摩洛哥

摩洛哥(3)0：0(0)西班牙季軍賽克羅地亞2：1摩洛哥

葡萄牙6」瑞士決賽阿根廷(4)3：3(2)法國(guó)

注：“阿根廷(4)3：3(2)法國(guó)”表示阿根廷與法國(guó)在常規(guī)比賽及加時(shí)賽的比分為3:3,在點(diǎn)

球大戰(zhàn)中阿根廷4：2戰(zhàn)勝法國(guó).

(1)請(qǐng)根據(jù)上表估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率.

(2)根據(jù)題意填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.01

的前提下認(rèn)為“32支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)''與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān).

歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)

闖入8強(qiáng)

未闖入8強(qiáng)

合計(jì)

（3）若甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過(guò)120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已

7

知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為P,乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為:，求在點(diǎn)球大

戰(zhàn)中，兩隊(duì)前2輪比分為2:2的條件下，甲隊(duì)在第一階段獲得比賽勝利的概率（用。表

示）.

公七八2n(ad-hc)2..

參考公式：X=----------------,〃=〃++c+

(a+b)(c+d)3+c)(b+d)

尸(/Na)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

5.（2022秋?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上

升的重要因素.我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極

推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查,

得到下面的統(tǒng)計(jì)表:

年份r20172018201920202021

年份代碼Mx=~2（）16）12345

銷量y/萬(wàn)輛1012172026

（1）統(tǒng)計(jì)表明銷量y與年份代碼x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程,

并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬(wàn)輛；

（2）為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企

業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況作為樣本其中男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)

燃油汽車的有W名，購(gòu)置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車.

①若卬=95，將樣本中購(gòu)置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體,試用（1）

中的線性回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車

主只購(gòu)買(mǎi)一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；

②設(shè)男性車主中購(gòu)置新能源汽車的概率為。，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所

有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車的概率為/(p),求當(dāng)w為何

值時(shí)，“P)最大.

“__

附：y=hx+a為回歸方程，3=t--------,a=y-bx.

1=1

6.(2022秋?江蘇南通?高三?？计谥?核酸檢測(cè)也就是病毒。乂4和RN4的檢測(cè)，是目

前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒

檢測(cè).通過(guò)核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無(wú)病原體感染.

某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液

標(biāo)本，其中2份陽(yáng)性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機(jī)取出”份分為一組，將樣本分成若干

組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰

性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類推，直到確定所有

樣本的結(jié)果.若每次檢測(cè)費(fèi)用為。元，記檢測(cè)的總費(fèi)用為X元.

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)比較〃=3與〃=4兩種方案哪一個(gè)更好，說(shuō)明理由.

7.(2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末)2022年冬奧會(huì)由北京和張家口聯(lián)合舉辦，其中冰壺

比賽在改造一新的水立方進(jìn)行.女子冰壺比賽由來(lái)自全球的十支最優(yōu)秀的隊(duì)伍參加，中

國(guó)女子冰壺隊(duì)作為東道主對(duì)奧運(yùn)冠軍發(fā)起沖擊.奧運(yùn)會(huì)冰壺比賽將分為循環(huán)賽、淘汰賽

和決賽三部分，其中循環(huán)賽前三名晉級(jí)淘汰賽.在淘汰賽中，循環(huán)賽第一和第二的兩支

隊(duì)伍先進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝者晉級(jí)最后的決賽，負(fù)者與循環(huán)賽第三名再進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝

者晉級(jí)決賽，敗者即為本屆比賽的第三名.決賽決出比賽的第一名與第二名.

(1)循環(huán)賽進(jìn)行九輪比賽，每支隊(duì)伍都需要與其余九支隊(duì)伍各進(jìn)行一場(chǎng)比賽.中國(guó)隊(duì)的主

要對(duì)手包括加拿大隊(duì)、瑞士隊(duì)、瑞典隊(duì)、英國(guó)隊(duì).若循環(huán)賽的賽程完全隨機(jī)排列，則中國(guó)隊(duì)

在前六輪之內(nèi)完成與主要對(duì)手交鋒的概率是多少？

(2)若中國(guó)隊(duì)以循環(huán)賽第二名的成績(jī)進(jìn)入淘汰賽，同時(shí)進(jìn)入淘汰賽的還有排名第一的加拿

大隊(duì)和排名第三的瑞士隊(duì).過(guò)往戰(zhàn)績(jī)表明，中國(guó)隊(duì)與加拿大隊(duì)對(duì)戰(zhàn)獲勝的概率為40%,

與瑞士隊(duì)對(duì)戰(zhàn)獲勝的概率為60%,加拿大隊(duì)?wèi)?zhàn)勝瑞士隊(duì)的概率為70%.假定每場(chǎng)比賽勝

負(fù)的概率獨(dú)立.若以隨機(jī)變量X表示中國(guó)隊(duì)最終獲得的名次，求其分布列和數(shù)學(xué)期望.

8.(2023?江蘇宿遷?江蘇省沐陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))為豐富學(xué)生課外生活，某市組

織了高中生鋼筆書(shū)法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委給出所有參賽作品評(píng)

分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)X都在［70,100）內(nèi)，在以組距為5畫(huà)分

數(shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“藉=丫”）時(shí)，發(fā)現(xiàn)y滿足

8/7-109”

-------，氏，16

y=（300，/iwN",5/X<5（"+1）.

」--無(wú)-----,?>16

11520-M

（1）試確定〃的所有取值，并求火；

（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；

分?jǐn)?shù)在［95,100）的參賽者評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在［90,95）的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽

有、的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在［85,90）的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有亨的概

率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)）.已知學(xué)生A和8均參

加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段評(píng)為二等獎(jiǎng).

（i）求學(xué)生8最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；

（?）已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng)，記4B兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為3求J的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

9.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某游戲中的角色"突擊者’’的攻擊有

一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技

能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有g(shù)的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng),

該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過(guò)冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)

動(dòng)攻擊時(shí)有3的概率使得本次攻擊以及接下來(lái)的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是

多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害

加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊

并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來(lái)的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的

傷害.假設(shè)“突擊者''單次攻擊的傷害為1,技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：

（1）當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件4為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事

件8為“技能一和技能二各觸發(fā)1次“，求條件概率P（3|A）

（2）設(shè)〃是正整數(shù)，"突擊者''一輪攻擊造成的傷害為2〃的概率記為匕，求匕.

10.（2023春?福建南平?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在上海舉辦的第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽

會(huì)中，硬幣大小的無(wú)導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注.這種起搏器體積只有傳統(tǒng)

起搏器的《，其無(wú)線充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線引發(fā)的相關(guān)并發(fā)

癥.在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動(dòng)無(wú)線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進(jìn)行

產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)與人工抽檢.智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包含安全檢

測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，人工抽檢僅對(duì)智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品進(jìn)

行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)，四項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品.已知試

產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率約為急，荒，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)

1009998

不達(dá)標(biāo)率為P(0<p<l).

(1)求每個(gè)芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；

(2)人工抽檢30個(gè)芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為趙。)，求旗P)的極大值點(diǎn)兒;

(3)若芯片的合格率不超過(guò)96%,則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良.以(2)中確定的4作為p

的值，判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良.

11.(2023?福建莆田?統(tǒng)考二模)互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的

繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害.為盡快消除互花米草危害，2022年10月24

日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具

體部署.某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層

抽樣的方法抽取樣本.已知甲鎮(zhèn)的樣本容量帆=12,樣本平均數(shù)￡=18,樣本方差s：=19；

乙鎮(zhèn)的樣本容量,=18,樣本平均數(shù)y=36,樣本方差s；=70.

(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)2及其方差S';

(2)為營(yíng)造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治

大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場(chǎng)在甲鎮(zhèn)舉行.比賽規(guī)則：

每場(chǎng)比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場(chǎng)在負(fù)方舉行，先得2分

的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.

當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為|,當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)

獲勝的概率為3.假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲鎮(zhèn)代表隊(duì)的最終得分記為X,求E(X).

參考數(shù)據(jù)：

12x18?=3888,18x362=23328,28.8?=829.44,12x10.82=1399.68,18x7.22=933.12.

12.(2023?福建廈門(mén)?統(tǒng)考二模)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)

等領(lǐng)域.截至2022年底，我國(guó)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體

中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國(guó)家.右圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼f的

散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對(duì)應(yīng)的f分別為1~5.

M億戶”

25-?

20-.

15-

10-?

5-,

u012345?

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并推斷

它們的相關(guān)程度；

（2）⑴假設(shè)變量x與變量V的”對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為（x/,yi）,（孫”），...，（x〃，yn）,兩個(gè)變量

[Y=bx+e

滿足一元線性回歸模型G、八~、2（隨機(jī)誤差令=%-法,）.請(qǐng)推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)

[E（e）=0,￡>（e）=cr

誤差平方和Q=力；取得最小值時(shí)，參數(shù)b的最小二乘估計(jì).

（ii）令變量x=t-T,y=w-w,則變量x與變量丫滿足一元線性回歸模型

（Y=bx+e

c、，、~、2利用⑴中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)

[E（e）-0,D{e}=b

網(wǎng)連接數(shù).

￡&—）（叱-卬）$2

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=I112I?2，X（叱-卬）=76.9,

仰-增（―

2（4一）（嗎-卬）=27.2,>4=60.8,7769?27.7

/=1/=|

13.（2022秋?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1,2,30

號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第

m[\<m<28,meN）號(hào)同學(xué)得到球后傳給加+1號(hào)同學(xué)的概率為j,傳給機(jī)+2號(hào)同學(xué)的

概率為:，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)

束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為:，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為與，設(shè)傳球傳到

第〃（24〃430,〃wN）號(hào)的概率為％.

（1）求正的值;

（2）證明：優(yōu)Q}（24〃428）是等比數(shù)歹ij；

(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大小.

14.(2022秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大

了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品。分為兩類不同劑型外和%.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，

第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑&和%合格的概率分別為:和=,第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑必和

45

%合格的概率分別為三4和：?.已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品a

才算合格.

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑必和%合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品a進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)

束，并確定該家庭為“感染高危戶設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為

P(0<P<1)且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為f(P),

若當(dāng)P=Po時(shí)，/(2)最大，求為的值.

15.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)由，〃〃個(gè)小正方形構(gòu)成長(zhǎng)方形網(wǎng)格有機(jī)行和〃歹I」.

每次將一個(gè)小球放到一個(gè)小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為。，放

紅球的概率為q,p+q=\.

(1)若〃?=2,記y表示100輪放球試驗(yàn)中”每一列至少一個(gè)紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)如表：

n12345

y7656423026

求y關(guān)于〃的回歸方程lny=/w+a,并預(yù)測(cè)〃=10時(shí)，的值；(精確到1)

1?

(2)若加=2,〃=2,p=~,q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機(jī)

變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)求事件“不是每一列都至少一個(gè)紅球”發(fā)生的概率，并證明：(1-p")+0-q")"'N1.

k

^y-kx-y$

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：5=R---------,a=y-bx,Z〃，/n%=53,旃=3.8.

,X；_技2

z=l

16.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考二模)某市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，學(xué)校號(hào)召師生利用周末從

事創(chuàng)城志愿活動(dòng).高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿

者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宜傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇.每名

女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為每名男生至

少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為g.每人每參加1項(xiàng)

活動(dòng)可獲得綜合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不彩響，求

（1）在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；

（2）記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X,求X的期望.

17.（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位?湖北省仙桃中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）治療慢性乙肝在醫(yī)學(xué)上

一直都是一個(gè)難題，因?yàn)榛静荒苤斡?，只是可以讓肝功能正常，不可以清除病毒，?/p>

且發(fā)展嚴(yán)重后還具有傳染性，所以在各種體檢中肝功能的檢查是必不可少的.在對(duì)某學(xué)

校初中一個(gè)班上64名學(xué)生進(jìn)行體檢后，不小心將2份攜帶乙肝的血液樣本和62份正常

樣本（都用試管獨(dú)立裝好的）混在了一起，現(xiàn)在要將它們找出來(lái)，試管上都有標(biāo)簽，采

用將共64份樣品采用混檢的方式，先將其平均分成兩組，每組32份，將每組的32份

進(jìn)行混檢，若攜帶病毒的在同一組，則將這一組繼續(xù)取兩份平均分組的混合樣本進(jìn)行檢

驗(yàn)，若攜帶病毒的樣本不在同一組，則將兩組都繼續(xù)平均分組混檢下去，直到最后將兩

份攜帶病毒的樣本找出為止（樣品檢驗(yàn)時(shí)可以很快出結(jié)果，每次含病毒的那一組進(jìn)行平

均分組時(shí)，每個(gè)含病毒的樣本被分到任意一組的概率都是^■，且互不影響），設(shè)共需檢

驗(yàn)的次數(shù)為X.

（1）求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

（2）若5歲以上的乙肝患者急性和慢性的比例約為9：1,急性乙肝炎癥治愈率可達(dá)京，

沒(méi)有治愈的會(huì)轉(zhuǎn)為慢性乙肝，慢性乙肝炎癥治愈率只有志，在找出兩個(gè)乙肝樣本后

通知其進(jìn)行治療，求兩人最后至少有一人痊愈的概率2.（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

18.（2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生

體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為

此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

男生2080

（1）依據(jù)。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；

（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題

活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳

出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第"次傳球后

球在甲手中的概率.

n^ad-bcy

附：Z2

(a+b)(c+d)(a+c)(0+d)

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

19.（2022秋?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比

雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)

等方面均有所建樹(shù)，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)X為離散

型隨機(jī)變量，則P（|X-E（X）|戚）岑其中4為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等

式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量X的分布未知的情況下，對(duì)事件|X-4，,幾的概率作出估計(jì).

（1）證明離散型切比雪夫不等式；

（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問(wèn)題：已知正整數(shù)〃一5.在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有“個(gè)不透明

的箱子依次編號(hào)為1,2,,〃，編號(hào)為i（掇I〃）的箱子中裝有編號(hào)為（M,?的i+1個(gè)大小

、質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)”位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為i的

箱子中抽取的小球號(hào)碼為X,,并記x=Z」.對(duì)任意的〃，是否總能保證

MI

0.01（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.

附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,X1,X”，x“滿

足x=fx,，則有E（X）=^E（X）.

f=lj=l

20.（2022秋?湖北十堰?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委

牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、8進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、3部爭(zhēng)奪

最后的綜合冠軍.決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天

勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；

若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終

冠軍.設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為p(O<p<l),每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互

相獨(dú)立.

(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時(shí)p的值；

(2)當(dāng)時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求尸(F45).

21.(2022秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，

為評(píng)估藥物對(duì)目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開(kāi)展臨床用藥試驗(yàn)，檢測(cè)顯示

臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者

作為樣本參加臨床用藥試驗(yàn)，并得到了一組數(shù)據(jù)(七,%),，=1，2,3,4,5,其中玉表示連

續(xù)用藥i天，y,?表示相應(yīng)的臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開(kāi)始用藥時(shí),

指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的

值：Z：=/=62，Z：G，-X)()C)=47,產(chǎn)479,-?)2?1.615,

EM(%-")(%一加19.38,其中%=In4.

(1)試判斷產(chǎn)。+所與y=a+ZHnx哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y

關(guān)于x的回歸方程；

(2)新藥經(jīng)過(guò)臨床試驗(yàn)后，企業(yè)決定通過(guò)兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品，

其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品

的概率為0012,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不

合格藥品相互獨(dú)立.

(i)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)&,y),(天,%)，…(乙，%)，其回歸直線丫=“+公的斜率和截距

E3■-x)(yy)

的最小二乘估計(jì)分別為〃=

22.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模)2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成

的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)

余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)

則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相

互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為:；甲與丙比賽，丙贏的概

率為p,其中;<p<g.

（1）若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分

別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)

應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？

（2）為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲

獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中

的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期

望E（X）的取值范圍.

23.（2022秋?廣東惠州?高三?？计谀┰?022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強(qiáng)賽

中，中國(guó)男足以1勝3平6負(fù)進(jìn)9球失19球的成績(jī)慘敗出局.甲、乙足球愛(ài)好者決定

加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件

下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人

有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得T分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球,

兩人均得o分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為:，乙每次踢球命中的概率為：，甲撲到乙

踢出球的概率為乙撲到甲踢出球的概率且各次踢球互不影響.

（1）經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過(guò)〃輪踢球，用R表示經(jīng)過(guò)第i輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率，求

Pl，〃2，，3?

24.（2022秋?廣東廣州?高三仲元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高

素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國(guó)本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人

數(shù)是341萬(wàn)人，2021年考研人數(shù)是377萬(wàn)人.某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)2022年的

畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

大學(xué)A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)

2022年畢業(yè)人數(shù)千人）7654

2022年考研人數(shù)y（千人）0.50.40.30.2

(1)己知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求：y關(guān)于x的線性回歸方程與=氏+機(jī)

(2)假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬(wàn)元的補(bǔ)貼.

①若該省大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總?cè)~：

②若A大學(xué)的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為P,3p-l,該省對(duì)小浙、小

江兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)0.75萬(wàn)元，求〃的取值范圍.

￡(x,.-x)(yf-y)1一-nxy

參考公式：b=J-------「=弓------丁,a=y-bx.

/=1/=1

25.(2022?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí))某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對(duì)生

產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造，為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連

續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度(單位：天)數(shù)據(jù)，整理如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21；

改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.

(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值。=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析判斷技術(shù)改造前

后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間是否有差異？

設(shè)備連續(xù)正常運(yùn)行天數(shù)

技術(shù)改造合計(jì)

超過(guò)30不超過(guò)3。

改造前

改造后

合計(jì)

(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)

費(fèi)和保障維護(hù)費(fèi)兩種，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為T(mén)天(即從開(kāi)工運(yùn)行到第KT天，

&wN.)進(jìn)行維護(hù)，生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互

獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)，而不會(huì)

產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外，還產(chǎn)生保障

維護(hù)費(fèi)，經(jīng)測(cè)算，正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬(wàn)元/次，保障維護(hù)費(fèi)第一次為。2萬(wàn)元/周期，此后

每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加02萬(wàn)元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的

維護(hù)方案：7=30,上=1,2,3,4.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)

行的頻率作為概率，求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-hc\

2(其中〃=a+8+c+d)

z(“+b)(c+d)(a+c)(b+，/)

26.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱

翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲

同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成"夾球跑''的概

率為0.6,女生單獨(dú)完成"夾球跑''的概率為〃（0<?<0.4）.假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾

球跑''互不影響，記這三名同學(xué)能完成"夾球跑''的人數(shù)為4.

⑴證明：在的概率分布中，尸（4=1）最大.

（2）對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，如果投中，則

比賽終止，如果沒(méi)有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，

比賽也終止.該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次

為4=尸得=j）（/=1,2,3）,每位同學(xué)能否命中相互獨(dú)立.請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何安排三

名同學(xué)的出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小？并給出證明.

27.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽

包括三項(xiàng)活動(dòng)，分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和"挑戰(zhàn)答題在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，

每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨(dú)立.在一天

內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相

互獨(dú)立.己知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為;，獲得

13

第四名的概率為工；甲參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為二.

（1）記甲在一天中參加“四人賽''和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)（兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局）的總得

分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持

續(xù)答題，若第一次答錯(cuò)時(shí)，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)

積分.某市某部門(mén)為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到

“（〃210）階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)積分進(jìn)2階，沒(méi)有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的

階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品，記乙每次獲得5個(gè)積分的概率互不影響，均為：，記乙進(jìn)到”階

O

的概率為P“，求P|2.

28.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日

在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

GWR

（i）撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三

個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將

即使方向判斷正確也有弓的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求

門(mén)將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中,

球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨

機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球

之前球在甲腳下的概率為P”,易知Pi=LPz=0.

①試證明：為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為W，比較0。與卬。的大小.

29.（2023?河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年9月15日至17日，世界新

能源汽車大會(huì)在海南?？谡匍_(kāi)，大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)

改善.某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車.為了推廣該款新能源汽車，

購(gòu)買(mǎi)新能源汽車將會(huì)得到相應(yīng)的補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：

購(gòu)買(mǎi)的新能源汽車價(jià)格（萬(wàn)元）60-7070-8080-9090-100

補(bǔ)貼（萬(wàn)元）571015

（1）本月在A市購(gòu)買(mǎi)新能源汽車的4000人中隨機(jī)抽取300人，統(tǒng)計(jì)了他們購(gòu)買(mǎi)的新能源

汽車的價(jià)格并制成了如下表格（這4000人購(gòu)買(mǎi)的新能源汽車價(jià)格都在60-100萬(wàn)元之間）

利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)本月A市的補(bǔ)貼預(yù)算（單位：億元，保留兩位小數(shù)）

(2)該公司對(duì)這款新能源汽車的單次最大續(xù)航里程進(jìn)行了測(cè)試，得到了單次最大續(xù)航里程

y(km)與售價(jià)的關(guān)系如下表.根據(jù)數(shù)據(jù)可知>與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立丫與x的回

歸方程$.=以+4(系數(shù)精確到0.01).周小姐想要購(gòu)買(mǎi)一輛單次最大續(xù)航為420km的該

款新能源汽車，請(qǐng)根據(jù)回歸方程計(jì)算周小姐至少要準(zhǔn)備多少錢(qián)(單位：萬(wàn)元，保留兩位

小數(shù))

售價(jià)X(萬(wàn)元)6670738190

單次最大續(xù)航里程>(km)200230260325405

務(wù)=上4---------,a=y-bx

2一2

Xi-nx

；=1

(3)某汽車銷售公司為促進(jìn)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)該新款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,

送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：箱子里有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，客戶從箱子里

隨機(jī)取出一個(gè)球(每一個(gè)球被取出的概率相同)，確定顏色后放回，連續(xù)抽到兩個(gè)紅球

時(shí)游戲結(jié)束，取球次數(shù)越少獎(jiǎng)勵(lì)越好，記取〃次球游戲結(jié)束的概率為匕(”eN").周小姐

參與了此次活動(dòng)，請(qǐng)求周小姐取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

30.(2022秋?廣東東莞?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向

目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立.已知射擊訓(xùn)練

有A,B兩種型號(hào)的炮彈，對(duì)于A型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p

(0<p40.4),且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6,擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；

對(duì)子B型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q且擊中一彈目標(biāo)

飛行物墜毀的概率為04擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標(biāo)飛行物

必墜毀.

(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號(hào)炮彈，求q滿足什么條件時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命

中目標(biāo)飛行物的概率不低于。936；

(2)若。+夕=1,試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號(hào)炮彈還是B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜

毀的概率更大？并說(shuō)明理由.

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺逮練

【一專三練】專題04概率統(tǒng)計(jì)與期望方差分布列大題壓軸

練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次

性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是

一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放

入抽屜中，求：

（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

（2）取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）取了“（"=2,3,4,…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

【答案】（*

（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為黑

（3）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）運(yùn)用條件概率公式計(jì)算；

（2）按照獨(dú)立事件計(jì)算；

（3）運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)取出的是第一次是一次性筷子為事件A,取出的是第二次非一次性筷子

為事件B,

3

所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率

（2）對(duì)于X=O,表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是山放回的,

327

125

對(duì)于X=l,表示三次中有一次筷子，對(duì)應(yīng)的情況有第一次，第二次，第三次是一次性

筷子，

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺逮練

P(X=l)=|x(|)

I5545551000

對(duì)于X=2,表示三次中有一次是非一次性筷子，同樣有第一次第二次第一次之分,

+M-47

尸(X=2)=

55454454200

X012

2754947

P

1251000200

27549c471019

數(shù)學(xué)期望E（X）=0x茂+lx+2x---=----

10002001000

（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子，則前n-1次中有一次取得一次性筷子,

n-2

所以匕=||田+泠肌眇|田+/

第

3

2.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年2月6日，中國(guó)女足在

兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決

賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門(mén)將朱鉉兩度撲出日本隊(duì)員

的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右

三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且

門(mén)將即使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中,

求門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望;

（2）好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺逮練

n次傳球之前球在甲腳下的概率為P?,易知目=1,P2=0.

①試證明｛p“-51為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為%,比較P.O與qw的大小.

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，E(X)=；

(2)①證明見(jiàn)解析；②加<①

【分析】(1)先計(jì)算門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期

望；

(2)遞推求解，記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P“，則當(dāng)〃22時(shí)-，第n-1次傳

球之前球在甲腳下的概率為P,.-,，滿足P,.="。+(1--)?g=-g4―+；.

【詳解】(1)解析1：分布列與期望

依題意可得，門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為P=2X!X3X1=L，

332o

門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

P(X=0)=O(JX曾=裝，尸(x=i)=c；x曾科2=錄

Vo7J216