靜態(tài)場的邊值問題

靜態(tài)場的邊值問題2023/6/25第五章1第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章2第一節(jié)靜態(tài)場邊值問題的基本概念一、靜態(tài)場：靜電場、恒定場、恒定磁場。二、靜態(tài)場的基本方程：即：環(huán)量、通量方程引入輔助量泊松方程或拉普拉斯方程三個標量方程（５－１－１）（５－１－２）第二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章3三、靜態(tài)場的求解------靜態(tài)場的邊值問題:求(５-１-１)、(５-１-２)的通解；利用給定的邊界條件求的特解；根據(jù)唯一性定理：滿足三類邊值問題的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。四、求解靜電場的邊值問題的方法:解析法：求在整個場域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達式,根據(jù)表達式,可求出任意點確切的值.(規(guī)則邊界)第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章4分離變量法、鏡像法、數(shù)值計算法：缺點：一次運算一個邊界；優(yōu)點：任意邊界。實驗研究法:用實驗裝置模擬實際的物理場方程及給定邊界值,測量出相應的待求函數(shù)的值的方法.求在場域內(nèi)一組離散點上的近似函數(shù)值。優(yōu)點：解具有代數(shù)方程的形式,方程中解的參數(shù)值可以置換,便于研究不同參數(shù)下場的不同分布;

缺點:要求邊界形狀比較苛刻,復雜邊界形狀的場域難以求解.第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章5第二節(jié)分離變量法一、分離變量法的一般步驟（規(guī)則邊界）：１、分離變量法：２、分離變量法的一般步驟：由給定邊界條件，選擇適當?shù)淖鴺讼?，并寫出該坐標系的拉氏（泊松）方程的表示式。第五頁，共六十六頁，編輯?023年，星期五2023/6/25第五章6把待求的位函數(shù)用分離變量法表示出來；并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三個常微分方程；分別寫出其通解。用給定邊界條件以及通解中正交函數(shù)的正交性確定通解中的待定常數(shù)。特解。第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章7二、直角坐標系中的分離變量法：(５-２-１)２、分離變量：令(５-２-２)(５-２-２)(５-２-１)將代入,并整理得:(５-２-３)１、位函數(shù)的拉氏方程：第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章8３、三個常微分方程：(５-２-４)(５-２-５)(５-２-６)(５-２-７)(５-２-３)由得：稱為分離常數(shù)。第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章9４、通解：(５-２-４)討論則為待定系數(shù)。>０，為實數(shù)；<０，為實數(shù)；則或(５-２-８)(５-２-９)(５-２-１０)１３30第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章10則(５-２-１１)同理，的通解亦可根據(jù)的取值不同，從而得到類似的通解。故５、由給定邊界條件確定待定系數(shù)特解。１３第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章11例：一長直金屬槽的長度方向平行于z軸，其橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為０，而頂蓋電位

求槽內(nèi)電位的解。解：由題意，沿z方向是沒有變化的，而槽的邊界是與直角坐標系的坐標面平行的。１、選直角坐標系：如圖所示。２、拉氏方程：(５-２-１２)１３第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章12３、邊界條件：條件邊界(５-２-１３)(５-２-１４)(５-２-１５)(５-２-１６)４、用分離變量法分離出兩個常微分方程：(５-２-１７)令１４15第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章13則(５-２-１２)變成兩個方程(５-２-１８)(５-２-１９)(５-２-２０)１１５、求通解：>０，<０；９解為三角函數(shù)解為雙曲函數(shù)或?qū)嵵笖?shù)函數(shù)>０。<０，１０均為一次線性式。１６15第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章14６、特解：（結(jié)合具體邊界條件）分析：１２由（５-２-１３)、(５-２-１４),(５-２-１８)的解只能取三角函數(shù),即通解中的三種情況只有第一種是可以存在的.由(５-２-１５),(５-２-１９)的解只能取雙曲函數(shù).通解:(５-２-２１)(５-２-２２)第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章15特解:

則即故(５-２-２３)(５-２-２４)其中稱為方程(５-２-１８)滿足(５-２-１３)(５-２-１４)邊界條件的本征函數(shù).本征值1312

第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章16

由１３則故(５-２-２５)(５-２-２６)

第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章17故(５-２-２７)由邊界條件確定.

因上式右邊為三角函數(shù)級數(shù),要確定,其左邊也應展開成三角函數(shù)級數(shù),亦稱傅里葉級數(shù),再比較其系數(shù)即可確定.第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章18將上式兩邊同乘,再對x從０a積分則即第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章19故當時,

即因已是三角函數(shù)則第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章20三、圓柱坐標系中的分離變量法：１、拉氏方程的展開式：(５-２-２８)令(５-２-２９)２、分離變量法：(５-２-２８)(５-２-２９)將代入，且整理得：第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章21(５-２-３０)上式中第二項僅與有關，設它等于一常數(shù)。(５-２-３１)將(５-２-３１)(５-２-３０)代入，并整理得：(５-２-３２)上式中第一、二項僅與r有關，第三項僅與z有關。第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章22令那么，拉氏方程變?yōu)椋?５-２-３３)(５-２-３４)最后分離出的三個常微分方程(５-２-３１)(５-２-３３)(５-２-３４)的通解形式與、的取值有關，其可能情況為

方程的解為：(５-２-３１)(５-２-３５)因在電磁場的諸多問題中，是的周期函數(shù)。２8第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章23故n=0,1,2,3……所以，n不能取分數(shù)，也不能小于零。

方程的解為：<０，為實數(shù)；>０，為實數(shù)；或(５-２-３６)(５-２-３７)(５-２-３８)(５-２-３９)第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章24方程

的解為：首先將方程兩邊同乘，并展開后為：(５-２-４０)n階貝塞爾方程討論：分兩種情況

則（５-２-４０)的解為:

則（５-２-４０)變?yōu)闅W拉方程,其解為:(５-２-４１)(５-２-４２)第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章25>０，則（５-２-４０)為n階貝塞爾方程,其解為:<０，為實數(shù)；其中:為第一類貝塞爾函數(shù);為第二類貝塞爾函數(shù).(諾依曼函數(shù))為虛宗(變)量貝塞爾函數(shù).(５-２-４３)(５-２-４４)３１第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章26n為整數(shù):且~區(qū)間有無數(shù)個零點;則無實數(shù)零點;且當均發(fā)散.即時第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章27貝塞爾函數(shù)曲線第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章28例:半徑為a的半無限長金屬圓筒,筒底與圓筒壁有很窄的絕緣,圓筒側(cè)壁電位為零,筒底電位為,求圓筒內(nèi)的電位分布.解:如圖所示１、建立坐標系：依題意，取柱坐標系0~a關于z軸對稱與無關不為周期函數(shù)故即２２第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章29２、滿足的拉氏方程與邊界條件：(５-２-４５)<<(５-２-４７)(５-２-４６)<３、用分離變量法求的通解：令將之代入拉氏方程（５-２-４５),并整理得:３２３４第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章30令則分離出的常微分方程為:(５-２-４８)(５-２-４９)由方程(５-２-４８)與邊界條件(５-２-４６),有限.且不應為周期函數(shù),則>０.9第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章31而應為有限值,故則根據(jù)方程(５-２-４３),其解為零階貝塞爾函數(shù).２５又由方程(５-２-４９)>０.時故(５-２-５０)通解第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章32４、由邊界條件決定待求常數(shù)特解：由（５-２-４６),２９零階貝塞爾函數(shù)有無數(shù)個零點,即有無數(shù)個取值,(５-２-５１)稱為貝塞爾函數(shù)的根,記為零階貝塞爾函數(shù)的第m個根.(５-２-５１)則由有即(５-２-５２)第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章33的取值既可查函數(shù)表,也可查曲線表.

故(５-２-５３)第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章34由邊界條件２９(５-２-４７)，則(５-２-５３)為:(５-２-５４)根據(jù)貝塞爾函數(shù)的正交性:則有(５-２-５５)將(５-２-５４)兩邊同乘以,并在區(qū)間積分.~(５-２-５６)第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章35而(５-２-５７)將(５-２-５５)(５-２-５７)(５-２-５６)代入故第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章36四、球坐標系中的分離變量法：１、拉氏方程的展開式：２、分離變量法：令(５-２-５8)(５-２-５9)將(５-２-５９)(５-２-５８)代入并整理化簡得：(５-２-６０)第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章37令(５-２-６１)將(５-２-６１)(５-２-６０)代入并整理化簡得：(５-２-６２)令(５-２-６３)(５-２-６４)將(５-２-６４)(５-２-６２)代入并整理化簡得：(５-２-６５)３９第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章38３、通解：方程（５-２-６１)的通解為:(５-２-６７)方程（５-２-６４)為歐拉方程,其通解為:方程（５-２-６５)稱連帶勒讓德方程,(５-２-６６)在電磁場的很多實際問題中,位函數(shù)常與方位角無關,即由方程(５-２-６６)知,m=0第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章39若令３７（５-２-６８)方程（５-２-６５)變?yōu)?勒讓德方程(n階)當場域包括軸.方程(５-２-６８)的解為第一類勒讓德多項式.（５-２-６９)微分形式第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章40則（５-２-７１)或通解:當m=0,且場域包括z軸時,其通解為:（５-２-７０)第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章41第三節(jié)有限差分法差分:近似地以差分代替微分.有限差分法:(近似)數(shù)值計算法.在待求場域中選取有限個離散點,然后在各個離散點上以差分方程代替其微分方程,從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為以離散點位函數(shù)表示的差分方程組.由邊界條件,最后確定各離散點上的位函數(shù)值.第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章42一、差分方程組的形式：１、函數(shù)的一階差分為：有限小差分微分無限小當很小時，差分近似等于微分。導數(shù)２、一階差商：當h很小時，第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章43同理，二階差商（分）：３、偏導數(shù)亦可用差商近似表示：４、求差分方程組：（有限個點）第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章44例：在一個二維矩形場域Ｄ內(nèi)，電位函數(shù)滿足泊松方程和第一類邊值。即（在Ｄ內(nèi)）１２（在邊界上）Ｆ為已知函數(shù)，在電場中，,求的差分方程組。解：將場域Ｄ劃分為邊長為h的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點稱節(jié)點；其正方形的邊長h稱步距。將各節(jié)點標上號，0、1、2、3、4４８第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章45設節(jié)點０的電位為:０點相鄰的四個(１,２,３,４)節(jié)點上的電位分別為泰勒(Taylor)公式:回憶:其中:是階比高的無窮小,則我們常以的一次式近似地代替第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章46則根據(jù)泰勒公式，過０點且平行于x軸的直線上任一點x處的電位為：那么,能否用的二次式或n次多項式來表示,從而使精確度更提高呢?答案是可以!拉格拉日余項３第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章47４５減很小,略去以上的各高次項得:６上式即為用０點處的平均中心差商近似其偏導數(shù)的表示式.對于節(jié)點“１”有則４５對于節(jié)點“３”有則第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章48４５加,并略去以及更高次方項后,得７８同理,將變量x改成變量y,則有:７８將代入,則１４４第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章49即９場域內(nèi)每一內(nèi)節(jié)點都有一個類似的方程,于是內(nèi)節(jié)點的個數(shù)即為方程組方程的個數(shù)。９解方程組，便可得到各節(jié)點的電位值。58第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章50求九個內(nèi)節(jié)點的正方形網(wǎng)格的差分方程組.解：應用公式９內(nèi)節(jié)點“１”,與之相鄰的節(jié)點是則內(nèi)節(jié)點“２”內(nèi)節(jié)點“３”內(nèi)節(jié)點“４”第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章51內(nèi)節(jié)點“５”內(nèi)節(jié)點“７”內(nèi)節(jié)點“６”內(nèi)節(jié)點“８”內(nèi)節(jié)點“９”以上九個方程即是差分方程組.第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章52二、差分方程組的解法：手算、機算。例：如圖所示，一很長的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣，且電位為４０Ｖ，蓋與槽之間間隙處為２０Ｖ，求槽內(nèi)電位值。解：１、分析：利用有限差分法來求槽內(nèi)電位值，首先應劃分正方形網(wǎng)格，那么，網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點的個數(shù)以多少為好？顯然，內(nèi)節(jié)點的個數(shù)越少，則計算就越簡單，但是,節(jié)點數(shù)少，誤差就大，因而網(wǎng)格的劃分就以要求的精度為前提；其次，實際計算中，劃分網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點的個數(shù)往往不是一次就確定其個數(shù)，而是逐次增加，直至同一節(jié)點上的電位值在前后兩次運算中的誤差達到規(guī)定的要求。４０Ｖ２０Ｖ２０Ｖ０００第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章53２、計算：、內(nèi)節(jié)點的電位滿足拉氏方程：即１０a如圖，利用上式，槽中心點的電位為：a第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章54上兩網(wǎng)格中心點的電位為：下兩網(wǎng)格中心點的電位為：、劃分網(wǎng)格如圖所示：bb第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章55兩節(jié)點的電位為：兩節(jié)點的電位分別為：、劃分網(wǎng)格如圖所示：cc第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章56ab對比以上三圖，發(fā)現(xiàn)圖中的內(nèi)節(jié)點也位于圖中，在圖中，再進行第二次計算其電位：abccc兩點先后兩次計算所得電位的相對誤差不足２%。第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章57abc兩點先后兩次計算所得電位的相對誤差仍然有１２%。若要提高精度，則必須將網(wǎng)格再進一步劃細。如內(nèi)節(jié)點過多，將要借助計算機才能完成差分網(wǎng)格節(jié)點的電位計算。第五十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章58例：在一個二維矩形場Ｄ內(nèi)，電位函數(shù)滿足泊松方程和第一類邊值求解：1、將式應用于每一個內(nèi)節(jié)點(i,j)９49第五十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6/25第五章59２、用迭代法計算：計算順序從左下角開始。即i小的先做，i相同時，j小的先做。采用逐次逼近法來求其內(nèi)節(jié)點的電位近似值，即開始計算時，首先假設一初值（稱第０次近似值），運算從左下角開始計算，遍及所有下標后得各內(nèi)節(jié)點電位值，記為，為第１次近似值。然后再從左下角過行第２次計算循環(huán)，得如此周而復始，直至第次近似值與第次近似值之誤差滿足計算精度為止。第五十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期五2023/6