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文檔簡介
ABCDAD、BC上各有一點Q、PAQCP,APBQM CQDPNS四邊形QMPNS△AMBS△DNC解析S△BQCS△APBS△PDCAAQDMN AQCP
1
S△
1
S△APBS△CDP★已知:△ABCADE、FAB、AC上,且EDBFDCBACBECF,并用△ABCS四邊形AEDF解析如圖,由△DBE△ABC△DFCAEEFBBEBCBDCFBCCDBEBDAC1BECF CD
又設(shè)△ABCa、b、cBD
b
,BE
bBE
a
a S△BEDABBCS△ABCbc
SABCS△CDFbc
SABC
(bc)22a2(bc)2 ★★已知△ABCABAC10E、DACBDDE4,ABEDBCSABC解析如圖,設(shè)ABEDBCEBDBED,則AAEαEαθθ 3由三角形內(nèi)角和,2(2)180,得60. 1104sin60 3AB2AB2BD2ABSABCAC
219
△ S△ 2S△ABC2
33
573★★★已知△ABC,BAC60,AB2AC.點P在△ABC內(nèi)使得PA 求△ABC的面積.3解析如圖,作△ABQ△ACPAB2AC,故相似比為2 P AQ2AP23,BQ2CP4QAPQABPACBAPBAC60AQAP21APQ90PQ3AP3BP225BQ2PQ2,從而BQP90AB2PQ2(APBQ)22883故S△
1ABACsin603AB2673 ABCDEFBC、CDAE4EF3AF5SABES△ECFSADFABCD的面積解析如圖 AEF90,△ABE∽△ECF.設(shè)ABx,BEy,則CE3x,CF3y DFx3y,ADy3 DF xy3x3yy3xx3y
4 4 xy
,BC72222 22
214矩形 a、b、c、d,兩條對角線相交所成的銳角為,求該四邊形的面積(a、b、c、d和表示).解析ABaBCbCDcDAdACBD交于OAOD(90(13.1.7adadθObc cos
Ca2c2b2d,2AC
1ACBDsin1(a2c2b2d2)tan
1|(a2b2c2d2)tan|4當(dāng)時,四邊形面積不定ABCABAC邊上的內(nèi)接正方形邊長都是3,求11 a解析MNPQx,BCa,ADhxxAPPCa 現(xiàn)在回到原題,設(shè)△ABCa、bchahbhcABAC邊上的正AQQP33133
M 考慮到chc2SABCbhbchcbhbhbcsinA,hcbsinA(bc)(1sinA0而由題設(shè)bc,故sinA1,A90 3AB3AC 1ABAC,111
△ ★★△ABCDEFBC、CAABSAFES△BFD、S△DEFS△EDC1、2、3、4AF解析AF
BD
CEz.則0x,y,z1,x(1zSAEF
y(1x1,, ,,(1y)z25
S△ FEFEz1
,y
B ,故1
D1
C12x25
145
10x 由0y1x4,由0z1x
25
145均符合要求 評注AF具有唯一解ABCDADBCAD1MABAM3N在CDMN 形分成兩部分的面積之比為31CN的值
解析如圖,由于未講清部分是3,哪部分是1,故本題可能有兩解yNMxyNMx SAMD3S△CBM4S梯形ABCD15S△MCD8.S△MNCxS△MNDy.xy (1) y
xy 或(2)x y 3x29由(1)解得 y3
CN29 △ABC中,B90AD是AE、FAB、AC上,EFAD于點GAE4EB8AF12FC25,求四邊形CDGF的面積.GFGF 解析AB12,AC37,BC35.連結(jié)DF,由ABAF,得DFBD,DFAC,連結(jié)ED由
BDDF
60
1FCDF750, △
△
△
AB
1BEBD240, ABBD720 四邊形 又 AEAF
840
72024084011880△
AB
△
四邊形
△
S△DFGGF3
891075036660
四邊形
★★△ABCD、EAB、ACAD4AE2PDE中點,Q為CDBEPQBCRBR
解析ABDQCE1DQ10ACEQBD1EQ12DBCQ
CEQB
ADD Q 設(shè)DQPCQR,EQPBQR.由
DQsinDQsinsinEQBRS△BQRBQsinBQDQ125
sin
CQ
★★在△ABCABX,AC上取點YXZAZBCD,用、BD
,AY 段XY上取點Z 解析BZ、CZBDS S△
ABXZsinAXYABAYACYZsin ACAXXZY ABBX11ACYC11BD(1)
(1ABCD面積是1,AB、BCE、FDBAF于GH,求四邊形GHBE的面積.解析AFDCPAF2FP.
AEEB,BF2CFDE2 BFBFCHGGDDP
129 3S△
2
△
1又 HF
212 AF△
121283 ★★★已知△ABCADAE分別是角平分線和中線CFAD于GABFAEHHDAC解析FE、GEFHFHG E FGGCBEEC,故GEAB.S△EGCS△FGESAGE.EDS S△
S△
HEHDACAB、CDABBCADCDBADACdSABC只與、d有關(guān)BAACDMx解 延長AD至點M,使DMDC,設(shè)ADx,CDy,易知△ABC∽△CDM,于x
(x
S△
,又由S△ACMAMxy
△
(x
S△CDM 由于ACMBCD180,又CM ,故CMdy xd2
xSACM2ACCMsinACM2(xy) S△
1d2sin2★★★已知△ABCBC、CAABDEFADBE、CF交于一點G,若△AGE、△CGD、△BGFG是△ABC的重心.解析a,而△AFG、△BGD與△GECxyz.由xyza3.A G G xyzxyzxaza1xAFS△AFGS△ACGaz1 .
axyzxyaax1azxyza3xya2 axyazADBE、CFG為重心★★已知△ABCDBC上,AB4,AD6,AC8,BD2
ABACADS
BD
△解析ADE,使CEABDE1AD3CE1AB2△AECAE9CE2,AC8,1(AECE2
19,
△
,又△ABC與△ACE高,故S△ABCAB2,所以 395S△
△ DCSABC面積最大時,ABACBC
4242
E5AKBCBK5
,于是KD2 AB2
6116
5
145,CD
5
145,BD45 45289287
★★已知△ABC2BCABACP滿足BCP901BCBP901C △BCP與△ABC面積相等解析PABC兩側(cè),作△BCI使BCI901CCBI901B ICICIBIBI為△ABCI就是△ABCBC外的旁心,且有△BCP≌△CBI設(shè)旁切圓IRS
1(ABACBC)R2
,hABCIABCAI IS△ABCS△BCIS△BCP評注
S△
1(ABACBC)R2HABCADBE、CFBCACABBCACAB AHBH解析如圖,由于BHCBAC180AFFEHS△BHCBHCH
S△
ABS△AHBAHBH,S△AHCAHCHS△
AC
S△
ABBHCHAHBHAHCHAB AC 整理便是欲證式評注BCtanA等,故tanAtanBtanCtanAtanBtanC,此式對于鈍角三角形也成立ABCDABP△PCD的面積等于整解析如圖,設(shè)對角線交點為QACBDEF分別在CQBQ上AADQPFE DES△PCDS△CDES△CPES△PDE 1 , 1 故
1
2△ 1
四邊形) 四邊形
BE
12
△PCB
1
2四邊形★★已知△ABCABAP1BP2BCBR1CR2,CA上截取CQ1AQ2,求△P1Q1R1的面積與△P2Q2R2的面積相等.解析AP1BP2a,BR1CR2b,CQ1AQ2c,P1P2m,R1R2n,Q1Q2l(mn、l可零可負(fù)).
S△BP
S△CR
S△AP
S△CRQ1 1 1 2 2 2a(al)sinAb(am)sinBc(bn)sinCc(am)sinAa(bn)sinBb(lc)sinC(alcm)sinA(bman)sinB(cnbl)sinC0S△PQ
bS△PQR
AP1cmAP1cmIa11 22ABCA90ABaACbEACFBCA開始向CEFBES△EFCEAx的關(guān)系式.解析如圖,過點C作CDEFEFD,則有△ABE△DEC,得AEEFBCDABBEAE AExECkxa2a a2 得 ,CDDE a2 ,CDBECDBEEF
a2a2 EFBE EF 得aa2a2a2akxa2a2a2 a2
a2(k1)x2因(k1)xbkb1x 1EFCD1
ak2a2(k12
ax(bx)2a2bx
(0≤x≤b)★★已知△ABC中,D、E、FBC、CA、ABAD、BE、CF交于G,EFHAHGDHGAD解析AHADS
S△
S
AEAFGEFG
S△
AB GEFGS△EFCS△EFBS△EFCS△EFBAFAE,于是結(jié)論成立
ABFHFHGE 評注AH、GD即為調(diào)和點列★★★有兩個銳角△ABC與△ADE,其中BACDAE,BC、EDPH1H2分別是△ABC、△ADEH1H2APSABCSADE解析H1H1AP,設(shè)兩線交于點O,又設(shè)△ABCAM、CF;△ADE的兩條DGAN,并記BACDAE.A BM
N P由點OH1MPFBMH1AOAPAH1AMAFAB;AOAPAGAE.AFABACABcosAGAEADAEcosACABADAESABCSADESABCSADE,不能直接運用點O了.我們還是先證明AH1AMAH2AN,再分別作H1OAP,H2OAP,O、OAPAOAPAH1AMAH2ANAOAP,故O與OH1H2AP.評注充分性也可用四點共圓來證明MANBPPAPBMPANPB,試PMPNPAPB.P 解析由于MPNAPBPMPNPAPBS△PMNS△PABMNABMANBS△PMAS△PNBPMPAPNPBPMPN由于PNMBPABMPMPN,由此知結(jié)論成立ABCDJS、WX、TAB、BC、CD、DA上,WQPTSPRX.解析AQ、CQAR、CRBPDPPXS△PDCS△BPCS△PDCWPDJ
WQTPRQTPRQWXCSRS△ABRS△AQDS△APDQTDJ S△
S△
S△
PT由于WQPT,WPQTPXSP,兩端減1SPRX EF、GHDAABBC、CDAGMCEDGNMNFH或重合.解析如圖,連結(jié)MDBN,則EDEA S△MNDS△MNBS△MNAS△MNCS△MNBS△MNAS△MNCS△MNDF、HMN同側(cè)(B、C在同一側(cè)
1
)
MNFHF
HMNMNFH重合若線段FH與直線MN相交,不妨設(shè)FMN上或在MNHMN0≤S△MNCS△MNDS△MNBS△MNA0,,于是結(jié)論成立★★★★如圖,以銳角△ABCABDEBCFGACHKAGBHCE圍成△PQRAFBK、CD圍成△PQR(圖中未畫出PQRPQRKEAEARP BCDF解析△PQRPQRS△PQRS△PQRS△PQR為對稱式即可SABP.連結(jié)CP、CG.SABGS△DBCSBSASCSAPCSAGCSCSABC,分子是由于點GACBFAC距離之和S△ S△ 同理S△BPCS△BCH S△ S△ SAS△ SSS △ABCA △ABC ,△
S
S△ △ SASBSBSCSCS△BQCSARC.S S S
AB
S
SS AS△ A △ A△ S △
SSS△PQR也是此值.評注
S△
cotA等,如果cotAcotB1S△PQRS2S △ 2S△ABCS△ cotAcotBcot★★如圖,△ABC中,ADAE是中線,且BAEDAC,求證:ABACABAC解析 如圖(a,設(shè)BDx,CDy,ADh,BAEDAC,EAD,AθθαθBExyCE2
SABESACEABsinACsin( ABsin(
x2 又由△ABD AC
yy2
xyyxhyxyxABACxyh2時,有△BAD△ACD.由此可得BACBADABC90解析 (b,F(xiàn)AF EDEDB.ACFEF、DFEFAB,AFDF于是AEFBAEDACADFAEDF共圓,從而ABCFECCADBACBADCADBADABC90★★★試說明是否在所有△ABCPPBC、CA、AB上的射影分別DEFSAPES△BPDS△PCES△PBFS△PCDSAPF?解析當(dāng)△ABCP顯然是存在的.但一般情形未必成立.試看如下反例.ABBCABBCP滿足要求.此時,由于EPEPF △FPB≌△PBD S△APES△BPDS△FBPS△PECEAC之中點此時四邊形EPBC為凸四邊形,故由
,得1
1 P并不總是存在的
△
2△
四邊形
2△DE、F分別在△ABCBC、CAABAD、BE、CFP若
1
P一定在△ABC在某條中線上△
2△解析如圖,設(shè)6個角形面積分別為p、k、q、m、r、n.有pqrmnk,這是由定理保證的.pqrmnk.A P 111111 qBDpk npqpmknkrqrrppqnkmnkn,證畢pqrCpqrApqqrrpBx3Ax2BxC0p、qrmnk,順序上先不講究pkpnrmqk的情況(qm,結(jié)論必成立qpkkp1 n pmrknqpkqmrn,結(jié)論也成立評注此題亦可不 定理.這個證法好處是增加一個知識,即111111 △ABCPBP、CPAC、ABE、F,EFAP交于點Q,作QDBCDBCDQ平分EDF.解析FMENBC垂直,我們的目的證明△FDM△EDNFMMD AFFQEP NFMS△BFCS△BFCS△ABCBFAC
S△
又 MDFQ
S△AFQ
AFS△ S△ACAFS△ABP
AES△ABAE
S△ACAFAEBFACBFABAECEAFABFMMD,證畢ENGH、HAEBEBF
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