八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何培優(yōu)競(jìng)賽專題專題2全等三角形判定方法的選擇含答案

專題2全等三角形判定方法的選擇

知識(shí)解讀

三角形全等判定方法的選擇

已知條件可供選擇的判定方法

一邊和這邊鄰角對(duì)應(yīng)相等選邊：只能選角的另一邊（S/S）

選角：可選另外兩對(duì)角中任意一對(duì)角（N/S,ASA）

一邊及它的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等只能再選一角：可選另外兩對(duì)角中任意一對(duì)角（AAS）

兩邊對(duì)應(yīng)相等選邊；只能選剩下的一邊（SSS）

選角：只能選兩邊的夾角（SZS）

兩角對(duì)應(yīng)相等只能選邊：可選三條邊的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)邊CAAS.ASA）

典例示范

一、從變換的角度理解“全等”

1.軸對(duì)稱變換

例1如圖1—2一1,點(diǎn)。在“8上，點(diǎn)E在/1C上，■和CD相交于點(diǎn)0,且

AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE.

【提示】從結(jié)論"8Q=CE”來(lái)看，有兩種思路，思路一：通過(guò)證明△80。之△COE得到對(duì)應(yīng)邊相

等；思路二：通過(guò)證明"△/"）名得到然后運(yùn)用等式性質(zhì)證得.

從題設(shè)看，由"/8=/C,N8=/C”加上公共角可得A4CD注AABE,所以我們考慮使用思

路二給出證明過(guò)程.

□1-2-1

【技巧點(diǎn)評(píng)】

哪些情況下，可考慮利用全等的性質(zhì)來(lái)證明線段相等和角相等呢？本題中，這個(gè)圖形很顯然是軸對(duì)

稱圖形，而8。和CE也是軸對(duì)稱的，這時(shí)候就可以考慮把5。和CE置于一對(duì)軸對(duì)稱的三角形中，且8。

和CE恰好是一對(duì)對(duì)應(yīng)邊.

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖1一2—2,已知Z8=OC,AE=DF,CE=FB.求證：AF=DE.

AD

2.旋轉(zhuǎn)變換

例2如圖1—2—3,力。是△/8C的中線，在力。及其延長(zhǎng)線上截取。凡連接CE,BF,試判

斷ABDF與ACDE全等嗎?BF與CE有何位置關(guān)系?

【提示】若LBDF與ACDE全等,需要尋找三個(gè)相等的要素，題中已知一對(duì)對(duì)頂角相等，由中線可

得到80=8,力口上。E=￡>F,即可根據(jù)“SNS'得到兩個(gè)三角形全等.

1-2-3

【技巧點(diǎn)評(píng)】

本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的全等證明題，本題意在說(shuō)明圖中△80尸與△CDE是中心對(duì)稱的圖形.，其中一個(gè)

三角形可以看作另一個(gè)三角形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到.從中心對(duì)稱的角度尋找相等的線段和相等的角，可

以為證明全等提供方便.

跟蹤訓(xùn)練

2.如圖1—2—4,AB=AE,Nl=/2,NB=/E,求證：BC=ED.

二、線段和角度相等，?？紤]證全等

例3如圖1—2—5,AC交BD于點(diǎn)O,AC=BD,AB=CD,求證：ZC=ZB.

【提示】要證明NC=N8,可考慮將NC和N8置于一對(duì)三角形中，證明兩個(gè)三角形全等，由于本

題圖中△NO8和NCOZ）全等不容易證明，可考慮連接40,證明△NCD與△084全等.

C

D.

U1-2-5

跟蹤訓(xùn)練

3.已知，如圖1—2—6,ADLDB,BCLCA,AC,8。相交于點(diǎn)。，S.AC=BD,求證：AD—BC.

【技巧點(diǎn)評(píng)】

由于全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，因此證明兩個(gè)三角形全等是證明兩個(gè)角相等和兩條線

段相等常用的方法.

利用全等三角形證明線段相等和角相等的思路：對(duì)應(yīng)邊(角)相等一兩個(gè)三角形全等一線段相等或

者角相等，可以看出全等三角形類似于一個(gè)橋梁，建立起角度相等與線段相等、線段相等與另兩條相等

的線段、角相等與另一對(duì)相等的角之間的聯(lián)系.

跟蹤訓(xùn)練

4.如圖1—2—7,A,D,8三點(diǎn)在同一條直線上，/\ADC,△8。。均為等腰三角形，AO,8c的大

小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論.

三、借助“同角的余角相等”尋找相等的角

例4如圖1-2-8,在A/BC中，BDLAC于D,CEL4B于E,廠是8。上一點(diǎn)，BF=AC,G是CE

延長(zhǎng)線一點(diǎn)，CG=4B,連接ZG,AF.

(1)求證：UBD=UCE；

(2)探求線段ZF,ZG有什么關(guān)系，并證明.

【提示】(1)=18。，乙4CE都和M/C互余，根據(jù)“同角的余角相等”可證明乙48。=乙4"；(2)由

已知條件"8尸=ZC"“CG=/8”“乙可證明尸三AGOl,AF,NG恰好是這對(duì)全等三

角形的對(duì)應(yīng)邊，所以這兩條線段的大小關(guān)系是相等.又由于NG=N8/凡NG+NG/E=90。，因此

AGAF=90°,所以/尸和/G的位置關(guān)系是垂直.

GA

□1-2-8

【技巧點(diǎn)評(píng)】

(1)當(dāng)已知兩條邊相等，要證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，“同角的余角相等“是常用的證明夾角相等的手

段.(2)要證明兩直線垂直，證明夾角等于90。也是常用思路，當(dāng)夾角是由兩個(gè)角的和組成的時(shí)候，常考

慮證明這兩個(gè)角的和等于90。.

跟蹤訓(xùn)練

5.如圖1—2—9,在△N8C中，乙4c8=90。，于點(diǎn)。，點(diǎn)E在/C上，CE=BC,過(guò)￡■點(diǎn)

作ZC的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.求證：AB=FC.

1-2-9

四、從等腰、等邊、正方形中獲取全等所需的元素

例5如圖在Rta/BC中，乙4cB=90。，AC=BC,。為的中點(diǎn)，CELAD,垂足為

E,瓦邛4C交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?求證：DB=BF.

【提示】要證明。8=8F,由于。為8c的中點(diǎn)，所以8=8。，因此本題可轉(zhuǎn)證8=8尸，將這兩

條線段放置到三角形中，可證明△N8三ZkCS尸.

1-2-10

【技巧點(diǎn)評(píng)】

本題證明△/CD三△C8E需要的三個(gè)要素ZC=8C,乙C4D=￡BCF,N/CD=NCB尸都和A/BC

是等腰直角三角形相關(guān).當(dāng)題目中出現(xiàn)等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形等條件時(shí)，往往圖形中

隱含著一對(duì)全等三角形，這對(duì)全等三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊往往和等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形

的邊長(zhǎng)相等有關(guān).

跟蹤訓(xùn)練

6.如圖1一2—11,在RSN8C中，N8NC=90。，ZC=2N8,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45。

的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與兒。重合，連接8E,EC.試猜想線段BE和

EC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想.

□1-2-11

拓展延伸

五、Z4S華麗變?nèi)?/p>

例6如圖1-2-12,在△48C中，NDBC=NECB=LNA,求證：BE=CD.

2

圖1-2-12

【提示】要證明5E=a),一般考慮證明兩個(gè)三角形全等，而和顯然不全等，本題有

三種構(gòu)造全等的方法，如圖1-2-13①②③.

AAA

③

圖1-2-13

【技巧點(diǎn)評(píng)】

本題△8EA'和△CD尸雖然不全等，但是/BFE=NCFD,加之可證尸B=R2以及待證的8E=CD,

可見(jiàn)這兩個(gè)三角形雖然不全等，但也有3對(duì)相等的要素.構(gòu)造全等三角形可將小三角形補(bǔ)上一部分，或

者將大三角形截去一部分.

跟蹤訓(xùn)練

7.如圖1-2-14,0C平分NZ08,點(diǎn)。、E分別在04、08上，點(diǎn)尸在OC上，且有尸。=尸已求證:

/PD0=NPEB.（有三種解法）

圖1-2-14

競(jìng)賽鏈接

例7（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)題）如圖1-2-15,在四邊形488中，ZA=ZBCD^90°,

BC=CD,E是4。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DE=4B=3cm,CE=4《cm,則力。的長(zhǎng)是.

【提示】如圖1-2-16,連接C4,構(gòu)造△■B/CgZsOEC,利用勾股定理求出ZE的長(zhǎng).

【技巧點(diǎn)評(píng)】

勾股定理一一如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為人b,斜邊長(zhǎng)為c,那么“2+62=C2.

跟蹤訓(xùn)練

8.（希望杯競(jìng)賽題）如圖1-2-17,在四邊形N8CD中，AB//CD,AD//BC,NC與8。相交于

O,AELBD于E,CFLBD于F,那么圖中的全等三角形共有（）

45對(duì)8.6對(duì)C.7對(duì)O.8對(duì)

圖1-2-17

培優(yōu)訓(xùn)練

1.如圖1-2-18,AC,80交于點(diǎn)￡,且/1=N2,/3=/4,求證：AC=BD.

圖1-2-18

2.如圖1-2-19,已知AB=AC.求證：BF=FC.

A

圖1-2-19

3.如圖1-2-20,已知△48。、△4E'C都是等邊三角形，/凡LCD于尸，///_L8￡t于，，問(wèn):

(1)851與CD有何數(shù)量關(guān)系?為什么?

(2)力尸、有何數(shù)量關(guān)系？

圖1-2-20

4.如圖1-2-21,△4CD和△8CE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90。,4E交DC于點(diǎn)F,BD

分別交C￡,/E于點(diǎn)G,，試猜測(cè)線段ZE和8。的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1-2-21

5.將兩個(gè)全等的直角三角形48。和。BE按圖1-2-22①方式擺放，其中/ZCB=NOE8=90。，

//=/。=30。，點(diǎn)E落在Z8上，￡＞￡t所在直線交/C所在直線于點(diǎn)尸.

(1)求證：AF+EF=DE；

(2)若將圖1-2-22①中的繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a,且0。＜夕＜60。，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖1-2-22②中畫出變換后的圖形，并直接寫出(1)中的結(jié)論是否仍然成立.

①②

圖1-2-22

6.如圖1-2-23,4D是A4BC的高，作NDCE=N4CD,交力。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是點(diǎn)C關(guān)于直線

ZE的對(duì)稱點(diǎn)，連接NE

(1)求證：CE=AF

(2)在線段48上取一點(diǎn)N,使EN交BC于點(diǎn)、M,連接4W請(qǐng)你判斷N8與/M4/

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1-2-23

直擊中考

7.★★(2017江蘇常州)如圖1-2-24,在四邊形488中，點(diǎn)E在/。上，ZBCE=ZACD=90°,

/BAC=ND,BC=CE.

⑴求證：AC=CD；

(2)若NC=ZE,求NDEC的度數(shù).

圖1-2-24

8.(涼山州中考題)如圖1-2-25,△N8O與△CDO關(guān)于。點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)￡、F在線段/C上，且

AF=CE.

求證：FD=BE.

圖1-2-25

9.(內(nèi)江中考題)如圖1-2-26,△N8C和△ECD都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE=90°,D為AB邊

上一點(diǎn).求證：AE=BD.

A

圖1-2-26

10.(重慶中考題)如圖1-2-27,在△Z8C中，N/C8=90。，AC=BC,E為ZC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作

交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.CG平分NZCB交8。于點(diǎn)G,F為4B邊上一點(diǎn),連接CF,且

NACF=NCBG.

求證：(1)JF=CG；

Q)CF=2DE.

圖1-2-27

挑戰(zhàn)競(jìng)賽

11.（希望杯競(jìng)賽題）如圖1-2-28,在△/8C中，ZACB=60°,NBAC=15。,于。，BEL4c于

E,AD與BE交于H,則/CMD=.

圖1-2-28圖1-2-29

12.（希望杯競(jìng)賽題）如圖1-2-29,在△/8C中，NB4c=90。,4D1,BC于D,N8C4的平分線交ZO于

F,交4B于E,FG〃BC交AB于G.AE=4,48=14,則8G=.

專JB2全等三角形內(nèi)定方法的選界

ZC-ZB.

例1證明，在AACDWAABE中JAC-AB.

ZA-ZA.

???△ACO2AABE(ASA)?AAD-AE.

VAB-AC.：.AB-AD^AC-J\E.SPBD-CE

例2?l全等.EF〃CE

理由：???AD*AXBC的中線,???BD-CD.

又7DE-DF,ZBDF=/CDE?

^BDFi2^CDE<SAS).

AZF-ZDEC.???BF〃CE

例3Hi連接AD.

在A4BD和△DCA中.

(AB-DC.

{DB-AC.

IAD-AD.

.,.Z^ABZXsSADCACSSS).

AZB-ZC.

例4(Dit明J；CEJ_AB.???NACG+NBAC-90?.

同J1ZABF+NBAC-90?，???/ABD=/ACE

(2)tl?AF=^G.AF±AG.

理由Z\ABF和AGCA中.

BF-AC.

?NABD=/ACE.

AB-CG,

???△ABFgZWCA.

.*.AF=AG.ZC-ZBAF,

VGE1AB.AZC-FZGAE-90\

.??NRAF+/GAE=90?????AFJ_AC.ARizMBD^2RiABAC(HL).

例5if明J??BF〃AC.???/CBF+/A(力=180,,：.AD-BC.

7ZACB=90\4.AO4flCH.AO_LBC

KZCBF-ZACB-9O\ZACE+ZDCE?90*.證明】延KAO交8CT點(diǎn)E?在△AM和△(?/>?中.

?；CEJL4D????NCAD+NACE=90，AD-DC.

.?.ZCAD-/DCE.<NADO=NCDB?

在"(力和ACBF中.*lOD^DB.

NACD-NCBF.

????△ADt/△CDB(SAS).

《AC=Cfi.

?；?AO-WC?NaWN/flCD.

NCAD-/BCF.

VZAOP-None.???/8E+NOCE-90*.AAO±DC.

AZiACZXaACBF.：.CD=BF,

5.證明；?：FE_LAC于點(diǎn)E./ACB-90?，

?；D為BC的中點(diǎn).???CD?BD.：.DB-BF.

???/FEC=/ACB=90?.???NF+NECF=90。.

例6解"第書加位》如髓國(guó)①，在FD上僮取FU=FE.連

又VCDj.AB于點(diǎn)D.???NA+NECF=901AZA-ZF.

接(匕.

在△ACBffl^FEC中.

設(shè)/DBC=NECB=J.NFBE=y?

VNAq/F.ZACB=ZF￡C.CB=EC.

剜NA=2Z?/EFB-NGFC=NDBC+/ECB-2Z.

???△ACagZkFEC.AAB=FC.

FB,FC.

：

在ABFE和ACFG中.</BFE=/CFG.6.WBE-EC.B￡±EC

EF-GF,理由J.?AC-2AB,AD-CD,??.AB?AD-CD.

：.△BFaZSCESAS).VZEAO-Z￡DA-45\

：.BE-m.ZFCG^ZFBE-y..,.ZEAB*ZEDC-I35*.EA=ED.

T/GDC=/A+/ABD=⑵+y兒ZDCX：=/GFC+???△以.△EDC(SAS).

NFICU-W.???NAEB=/DEC.EB=EC,

:?NGDC=/DGC,:?8=8,:.BE0m：.ZBEC=NAED=90、ABE=EC.BE.EC.

(其余聲腫修必略)7.if明：在OD上截取OF=OE?連接PF.

例75cm提示：連接AC.馬比△CD￡$22iCBA(SAS).VOC平分/AOB?.??NAOC-NBOC.

/ACE=90'.因?yàn)?4寸。￡-4々《11.所以AE-8cm.故AD-5cm.:VOP-OP.O￡=OF,.,.△POFaAPCJE,

電嚼調(diào)"|.,.PE-PF./OFP=NO"????/AFP=/PEH

,:PDnPE"?PF?PD.

1.證明「：FB-CE、：?FB$EF-CEHEF.WBE-CF.

???/P1XA/PFD.???/PDO-/PE8.

AB=DC.

在AABE和△DCF中JAE=DF.(成余兩腫制法路)

8.C

BE=CF.

：.AAm2/\DCF?SSS),：?/B=/C辱該冊(cè)緣；

AB=DC.

&/MBF和ADCE中,4ZB=ZC.I.證明J.?/l?/2?/3?N4.

：?/l+N3=N2+N4,即/DAB=/Cfi/L

\BFHCE,

XAB-BA.Z4-Z3.

.'.△ABF^AIX'E(SAS).AAF-DE.

.?.△DA￡fe2ACBA..\BD-AG

2,證明J??N1=N2.

.2.證明：在△ACDIfl&ABE中.

???/l+/HAD2N2+/8AD?BP/HAC=NEAD?

.jAE=AD.

在△MC與zCiEAD中.

?vZA-ZA.

(NB=NE.

JAB-.AE.AB-AC,

【NBAG=NEAD.:.△ABESZ\ACD<SAS).

???△BA0AEAD.???*=ED.；?/3/C

3.證明：在RtAABD利RiAB/tC中.又?；AD=AE.AB=AC,

AAB-AD-AC-AE.8PBD=CE.

IAC=BD?在△DBF和AECF中.

v/BFD-/CFE.

BD=CE.

AAS)?

:?BF=FC,

3.1?t(DBE-CD.

?：/DA8=/EACH60'?；?/DACBAE.

又???AD=AB?ACEAE?

.'.△DAC^^BAE(SAS)./.HE=CD.

答圖

(2)AF=AH.12-3

?.?AD是△ABC的育?點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線匕

△

,.'DAC^ZSfiAE..,.yCD-AF?yBE?AH.AZADC-ZEDC-90*.

又CD=8E,mH.又丁點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于A￡的對(duì)稱點(diǎn).

4.解：晴測(cè)AE=BD.AEJ_BD.:,FD=DC、

fllftMTiAAC=AF.

VZACD-ZBCT-W.XVZDCE-ZACD.CD-CD.

；?/ACD-NDCEnNBCE+NDCE,即/ACE-/DCB..,.△ACDttAH：D.

???△ACD和△比￡都是等腰且角三角形.???ASCE

；?AC=CD?CE=CB????△AC￡室八DCB(SAS)?AAF-CE.

Z.AE-BD./CAE-ZCDR(2)HSZB-ZMAF.

???NAR>NDFH.???NDHF=NA8=90\，AE工BD.理由如FI

5.(1)證明?如答圖1-2-1,ttftBF.7ASCE.ZDCE=/ACD.

AAD-DE.

又???AE_LMf>.，AMwME..*.ZI-Z2.

???/2?/3?1/】-43.

VAC-AF.???/4?/ACD.

.,.ZACD-ZENA.AZ4-ZENA.

???△ABCSZSDBE,???/4?/1+NMAF./ENA=/3+/B.

ABC-BE.?'?ZB-ZMAF.

7ZC-ZAEF-90\7.{1》證明IVZ?K?ZACD=90,???NBCA=N￡TD.

A在ABCF和ABEF中(HL),ZBCA-ZECD.

在和NTD中，/BAC=/D.

(BF-BF.

*BC=BE.BC=C￡.

:?△BCR3EF?；?CF=EF,.,.△BCA^AEtD..'.AC-CD.

?

Z.AF-I-EF-AC^DE.(2)”r/AC-AE,??/AEC=/ACE

又、

(2)解i如若圖1-2-2.AF4-EF-DE.VZACD-90AC-CD.