八年級數學秘籍-活用幾何基本圖形解題事半功倍含答案

活用幾何基本圖形，解題事半功倍

幾何題目圖形千變萬化，但有一些經典圖形經常在這些題目里直接或間接到的出現.因此，靈活掌握和

運用這些圖形是學好幾何的必備技能.

8字型

一、基本圖形

1.“8字”形

結論：N4+NB=/C+ND；

2.雙垂直

A

結論：NCAD=NCBE；

結論：ZA=ZBCD,NB=NACD；

3.與角平分線有關的三個重要結論

(1)雙內角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結論：Z5OC=90°+-ZJ；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO°,ZBOC+Z2+Z4=180°,

即：ZT4+2Z2+2Z4=180°,Z2+Z4=90°--ZTI,

2

.,.ZBOC=180°-(Z2+Z4)=90°+2NN；

2

(2)一內角平分線，一外角平分線

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結論：ZO=—Z^4；

2

證明：Z4=Z2+ZO,2/4=2/2+//,

可得：ZO=-Z/1；

2

(3)雙外角平分線

A

條件：Z1=Z2,Z3=Z4,結論：ZBOC=90°--Z/4；

2

證明：ZA+ZABC+ZACB=\SO0,Z5OC+Z2+Z4=180°,

即：Z/i+180°-2Z2+180°-2Z4=180°,Z2+Z4=90°+lZJ,

2

AZ50C=180°-(Z2+Z4)=90°--ZA；

2

4.四邊形外角

N1與N2是四邊形488的外角，結論：Z1+Z2=ZJ+ZB；

5.飛鏢模型

NBOC=N4+NB+NC

6.與面積相關

如上圖所示，D、E、尸分別是△NBC各邊的中點

結論：圖中，S^AOF^SAAOE=S^BOF^S^COE=S^BOD^S^COD

二、典例解析

【例1-1】(安徽淮南月考)如圖，8尸是△/8C中/N8C的平分線，CP是NZC8的外角的平分線，如果

NABP=20°,ZACP=50°,則NN=().

A.60°B.80°C.70°D.50°

A

解：尸是△48C中//8C的平分線，CP是//C8的外角的平分線，ZABP=20°,ZACP=50°,

：.N4BC=2NABP=40°,ZACM=2ZACP=100°,

：.ZA=ZACM-ZABC=60°

故答案為4

【例1-2】(平原縣月考)如圖，在四邊形/8CO中，ZA+ZD=a,N/18C的平分線與/SCO的平分線

交于點尸，則/P=()

D

A.90°------aB.90°H------aC.—aD.360。一a

222

C

解：由四邊形的內角和定理知：N/8C+N6cz>360。一（/4+N。）=360。一a,

11zy

由角平分線的定義可得：NPBC+NPCB=Q（NABC+NBCD）=-（360°-a）=180°-y,

/p=180°—(180°-?=

故答案為C.

【變式1-1】（陜西西安?高新一中月考）己知，如圖，/XON=90。，點4、8分別在射線OX、OY上移動,

BE是NW的平分線，BE的反向延長線與NO/18的平分線相交于點C,試問NACB的大小是否發(fā)生變化？

如果保持不變，請給出證明；如果隨點/、B移動發(fā)生變化，請求出變化范圍.

NACB的大小始終保持45°.

解：作/48O的平分線交ZC于點￡）,

則ABDA=180°-(ZDJB+/DB4)=180°-；(Z0AB+N0BA)=135°,

因為8。，BE分別是NO區(qū)4和NY8/的平分線，

所以BDLCB,

所以N4CB=ABDA-NDBC=135°-90°=45°.

即NACB的大小始終為45°.

【變式1-2](武城縣月考)如圖①，△/8C中，BD平分NABC,且與△NBC的外角N4CE的角平分線

交于點D.

(1)若NZ8C=75。，ZACB=45°,求的度數；

(2)若把//截去，得到四邊形MNC8,如圖②，猜想/M、NN的關系，并說明理由.

(1)Z￡>=30°；(2)ZO=—(ZM+ZN-180°)；

2

解：

(1)VZACE=ZA+ZABC,

：.ZACD+ZECD=ZA+ZABD+ZDBE,ZDCE=ZD+ZDBC,

又BD平分/ABC,CD平分/ACE,

：.ZABD=ZDBE,ZACD=ZECD,

；,/A=2(/DCE-/DBC),ND=/DCE-/DBC,

：.ZA=2ZDf

VZJJ?C=75°,N4C8=45。

???ZJ=60°

ZZ>30°

⑵ND=；(//+NN-180。)

理由：延長8/、CN交于點、A,

則/A=/BMN+/CNM—180°

???NO=-ZA=-（NM+NN-180。）.

22

【例2?1］（廣東?？迹┤鐖D所示，N。的度數是（）

A.10°B.20°C.30°D,40°

A.

解：如圖:

Zl=300+20°=40+Za,則/a=10。，

故答案為4

【例2-2】(霍林郭勒市月考)如圖1所示，稱“對頂三角形”,其中，ZA+ZB=ZC+ZD

工4f

(2)B

(3)r

(4)⑸

利用這個結論，完成下列填空.

(1)如圖(2),ZA+ZB-\-ZC+ZD+ZE=________；

(2)如圖(3),ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=_______；

(3)如圖(4),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=_________

(4)如圖(5),Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=____

(1)180°,(2)180°,(3)360°,(4)540°

解：如圖：(1)VZ1,N2的和與NO,NE的和相等，

???NZ+N8+NC+NO+NE=N"N8+NC+N1+N2=180。；

故180°；

(2)VZ1,/2的和與/￡>,/E的和相等，

,ZJ+ZB+ZC+Z￡)+Z￡=Z/14-ZS+ZC+Z1+Z2=18O0；

故180°；

(3)Z1,N2的和與N7,N8的和相等，

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z7+Z8+Z3+Z4+Z5+Z6=360°；

故360°；

(4)VZ6,/7的和與/8,/9的和相等，

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8+Z9=540°.

故540°

考三鼻4

【變式1-1](1)如圖1我們稱之為“8字形”，請直接寫出NB,ZC,NO之間的數量關系:

(2)如圖2,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=___度；

(3)如圖3所示，已知N1=N2,N3=N4,猜想ZP,之間的數量關系，并證明.

B

圖1圖2圖3

(1)N4+NB=NC+ND；(2)540°；(3)2ZP=ZD+ZB.

解：(1)^A+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,NAOD=NBOC,

，N4+NB=NC+ND,

故N/+N8=NC+NO；

(2)如圖，

VZ6,N7的和與N8,Z9的和相等，

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Nl+N2+N3+N4+N5+N8+/9=540°；

(3)NDAP+ND=NP+NDCP,

①NPCB+NB=NPAB+NP,

②：/DAB和NBC。的平分線AP和CP相交于點P,

/DAP=ZPAB,4DCP=NPCB,

@+②得：NDAP+ND+NPCB+NB=NP+NDCP+NPAB+NP,

即2ZP=ZD+ZB.

【變式1-2】(廣東廣州月考)如圖，已知BC與DE交于點、M,則/Z+NB+NC+NO+/E+/尸的度數

為

I)

/

B

360°

解：連接BE.

???△CQM和中，4DMC=/BME,

：./C+/D=/MBE+/BEM,

：.NA+NB+NC+ND+/E+NF=/A+NB+NMBE+NBEM+NE+NF=NA+NF+NABE+NBEF=360。.

故360°.

【例3】（安徽淮南月考）某零件如圖所示，圖紙要求NZ=90。，N8=32。，ZC=21°,當檢驗員量得

NBDC=T45。,就斷定這個零件不合格，你能說出其中的道理嗎？

這個零件不合格.理由見解析.

解：如圖，連接并延長，

：?/l=NB+NB4D,N2=NC+NC/O,

VZA=90°fZ5=32°,ZC=21°,

：.ZBDC=Zl+Z2,

=NB+NBAD+NDAC+NC,

=ZB+ZBAC+ZC,

=32°+90°+21°,

=143°,

：143°彳145°,

???這個零件不合格.

【變式3-1】(山西鹽湖期末)探究與發(fā)現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品-圓規(guī).我們不

妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

(I)觀察"規(guī)形圖”，試探究N8DC與N力、NB、NC之間的關系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XKZ放置在△/8C上，使三角尺的兩條直角邊XKAZ恰好經過點8、C,ZA=40°,

則ZABX+ZACX等于多少度；

②如圖3,0c平分乙4。8,EC平分N4EB,若/Z>/E=40。，乙D8E=130。，求乙DCE的度數；

③如圖4,ZABD,N/8的10等分線相交于點Gi、G?..、Gg,若N8OC=133。，ZBGiC=10°,求NZ

的度數.

見解析.

解：（1）如圖，連接/。并延長至點R

nJWZ.BDF=ZBAD+ZB,NCDF=NC+NCAD,

"：ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBAC=ZBAD+ZCAD,

：.NBDC=N4+NB+NC；

(2)①由(1),可得：N4BX+N4CX+N4=NBXC,

VZA=40°,N8XC=90。，

N/BA，N4C￥=90°-4(T=50°；

②由⑴，可得NDBE=NDAE+NADB+N4EB,

：.ZADB+ZAEB=ZDBE-ZDAE=130°-40°=90o,

：.-(ZADB+ZAEB)=90°-2=45°,

2

：DC平分/NOB,EC平分/NEB,

NADC=-NADB,NAEC=-ZAEB,

22

NDCE=NADC+NAEC+NDAE,

=-(ZADB+ZAEB)+ND/E=85。；

2

③由②得/8GiC=，(ZABD+ZACD)+ZA,

10

'：ZBGiC=10°,

設乙4為x。,

ZABD+ZACD=\33°-x°

/.—(133-x)+x=70>

10

1

..13.3-—x+x=70,

10

解得x=63,

即NZ的度數為63。.

【變式3-2】(山東岱岳期末)如圖1六邊形的內角和N1+N2+N3+N4+N5+N6為加度，如圖2六

邊形的內角和/1+/2+/3+/4+/5+/6為〃度，則〃，一"=.

0

解：如圖1所示，

.,.加=N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°x2+360°=720°

如圖2所示，

；.〃=N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°x4=720°

=0

故答案為0.

【例4】（唐山市月考）如圖所示，在△ABC中，己知點。，E,尸分別是8C,AD,CE的中點，5A^c=4

平方厘米，則SABEF的值為（

A.2平方厘米5.1平方厘米

C.’平方厘米D打方厘米

2

B.

解：是8c的中點,

2

5AJ5D=SAJCD=yS^ABC=yx4=2c/n,

是4）的中點,

S^BD后SHD聲yx2=lczn2,

XCM2

S&BEr=-(S&BDmSKDE)=-(1+1)=1/.

故答案為艮

【變式4-1］（山東歷下期中）如圖，△ZBC的面積為1.第一次操作：分別延長NB，BC,C4至點4,

B1,G，使46=46,B1C=BC,C,A=CA,順次連接4,4，C,,得到第二次操作:

分別延長至點C使順次連接

44，B￡,￡44,B2,2,44=44,BS=B￡,G4=G4,

A.,B2,C2,得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020,最少經過多少次操作（）

A.4B.5C.6D.7

A.

解：連接4C,如圖，

"：AB=AiB,

△N8C與8C的面積相等,

面積為1,

S&A、BC=1?

■:BB\=2BC,

SAA、B\B-2S&A\BC=2,

同理可得，SAG&C=2,—2,

?*,S△&B、G—S△c、B\C+S/XH&G+S“2+SMBC=2+2+2+l=7；

△/2&C2的面積=7xA/|8iG的面積=49,

第三次操作后的面積為7x49=343,

第四次操作后的面積為7*343=2401.

故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020,最少經過4次操作.

故4

【變式4-2］（臺州市月考）在四邊形488中，尸是4。邊上任意一點，當4戶=時，S.PBC與S，ABC

和之間的關系式為：;一般地，當/尸=,（〃表示正整數）時，S.PBC與S“BC

n

和we之間關系式為：?

c—J_q1J_QQ_J_v-L"-1q

°APBC—C°ADBCTc°AABC；°APBC-°ADBC丁0AABC

22nn

解：*：AP=-AD,aZB尸和△48。的高相等,

2

Is

?S

,,%ABP2°AABD

9：PD=AD-AP=~AD,△CDP和△CD4的高相等,

2

S&CD尸—S2CDA，

??S^PBC=S四邊形ABCD-S^ABP-^ACDP

=S四邊形ABCD-^\ABD-QS^CDA

二S四邊形ABCD-5（5四邊形ABCD-SADBC）-Q（S四邊形ABCD-^AABC

3一2ADBC丁2AABC；

當（”表示正整數）時，

n

U：AP=-AD,△AB尸和△48。的高相等，

n

??\ABP=-&ABD'

n

n—\

?：PD=AD-AP=---AD,△COP和△C"的高相等，

n

?s-n~^S

n

S四邊形ABCD-S&ABP-S^CDP

??OAPBC

s」S

口四邊形

ABCDn°AABDn°ACDA

S四邊形ABCD一7（S四邊形ABCD-^ADBC）/（S四邊形ABCD-^AABC

一_Lqi〃-1c

;

一n°ADBC丁n0AABC

J_S_|_J_c.§--S+--!-S

故S^PBCC°ADBCTC°AABC'°APBC一°ADBC丁0AABC,

22nn

【例5】（慶云縣月考）探究與發(fā)現:

（探究一）我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.那么，三角形的一個內角與

它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？

B

圖①圖②圖3

已知：如圖①，/之。。與NEC。分別為△4X7的兩個外角，試探究//與NFQC+NECD的數量關系,

并證明你探究的數量關系.

（探究二）三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？

已知：如圖②，在中，DP、CP分別平分/43C和NZC。，試探究N4與NP的數量關系，并證

明你探究的數量關系.

（探究三）若將“DC改成任意四邊形/8CZ）呢？

己知：如圖3,在四邊形48C。中，DP、CP分別平分N/DC和/8C。，試利用上述結論直接寫出/"N8

與NP的數量關系

見解析.

解：探究一：VZFDC=ZA+ZACD,ZECD=ZA+ZADC,

：.ZFDC+ZECD=^A+Z.ACD+ZA+ZADC^180°+Z/4；

探究二：,:DP、CP分別平分乙IOC和//CD,

ZPDC=—ZADC,ZPCD=—NACD,

22

NP=180°-ZPDC-ZPCD

=180°-—ZADC--NACD

22

=180°-L(.ZADC+ZACD)

2

=180°--(1800-

2

=90。+上N小

2

探究三：?:DP、C尸分別平分N4ZX＞和N8C。，

???ZPDC=—/ADC,NPCD=—/BCD,

22

/.ZP=180°-ZPDC-ZPCD

=180°--ZADC--ZBCD

22

=180°-—QADC+/BCD)

2

=180°--(360°-ZJ-ZB)

2

一(N4+NB).

2

故探究一：ZFDC+ZECD=\S0°+ZA；探究二：ZP=90°+-Z^；探究三：ZP=-(ZA+ZB).

22

【變式5-1】(河南宛城月考)問題情景：如圖1,A4BC中，有一塊直角三角板PMN放置在A48C上

(尸點在A48C內)，使三角板尸網的兩條直角邊尸加、PN恰好分別經過點8和點C.試問乙48P與

ZACP是否存在某種確定的數量關系？

(1)特殊探究：若乙4=50°，則448C+4cB=度，NPBC+NPCB=度，

ZABP+ZACP=度；

(2)類比探索：請?zhí)骄?8P+N/C0與NZ的關系；

(3)類比延伸：如圖2,改變直角三角板尸MV的位置；使尸點在A48c外，三角板尸MN的兩條直角邊

PM、尸N仍然分別經過點8和點C,(2)中的結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結論.

(1)130,90,40；(2)ZABP+AACP=90°-,理由見解析；(3)不成立，ZACP-ZABP=90°-ZA

解：(1)?.?4=50°,

N/8C+N/C8=180°-50°=130°,

VZP=90°,

,NPBC+NPCB=900,

：.ZABP+ZACP=130°-90°=40°.

故130,90,40；

(2)結論：ZABP+ZACP=90°-ZA.

證明：V90°+(NABP+N4CP)+/Z=180°,

ZABP+ZACP+ZA=90°,

：.ZABP+ZACP=90°-ZA.

(3)不成立；存在//CP-N/8P=90。-//.

理由：△48C中，ZABC+ZACB=\80°-ZA,

,：ZMPN=90°,

：.NPBC+NPCB=90。,

，CZABC+ZACB)-QPBC+NPCB)=180°-N4-90°,

即N4BC+NACP+NPCB-NABP-N4BC-NPCB=9Q。-N4,

：.ZACP-ZABP=90°-ZA.

【變式5-2](吉林寬城期末)將三角形紙片N8C沿。E折疊，使點4落在點力處.

(感知)如圖①，若點4落在四邊形5CDE的邊8E上，則NZ與N1之間的數量關系是

（探究）如圖②，若點4落在四邊形3CDE的內部，則NZ與N1+N2之間存在怎樣的數量關系？請

說明理由.

（拓展）如圖③，若點⑷落在四邊形5CDE的外部，Zl=80°,N2=24°,貝INN的大小為度.

圖①圖②圖③

感知：Z1=2ZJ；探究：2/Z=Nl+N2,理由見解析；拓展：28

解：【感知】根據外角定理，易得2乙4=/1

【探究】2NZ=Nl+/2.

理由：連結44，,

?；N1=NDAA'+NDA'4,N2=NEA4'+NE4'4,

：.Z]+Z2=ZDAE+ZDA'E,

由翻折，得NDAE=ND4E

：.2ZDAE=Zl+Z2

：.2ZA=Z1+Z2

【拓展】VZ1=8O°

二ZADE=ZEDA'=50°

設/DEB=x,由N2=24。，貝UNZ￡D=x+24。

AX+X+24=180°

Ax=78°

??.Z^=78°-50°=28°

故為28度.

三、習題專練

1.（安徽淮南月考）如圖，N4+N8+NC+NO+NE+NE=

360°

解：如圖所示,

???N1=N4+NB,Z2=ZC+ZD,N3=NE+/F,

：.Z1+N2+N3=NZ+N8+NC+NQ+NE+N￡

又???N1、N2、N3是三角形的三個不同的外角,

AZl+Z2+Z3=360o,

，N4+NB+NC+NO+/E+N尸=360。.

故答案為360。.

2.（惠州市光正實驗學校月考）如圖，在四邊形/8C。中，N/BC與的平分線的交點E恰好在

A.ZA+ZD-45°B.—(4+N。)+45°

2

11

C.180°-(ZJ+ZD)D.—ZA+—ND

22

D

解：：四邊形的內角和=360。,

，N/8C+N8CQ=360°-(ZA+ZD),

VZABC與NBCD的平分線的交點E恰好在AD邊上,

AEBC=-AABC,NECB=-NBCD,

22

7.ZEBC+NECB=g(NZBC+NBCD)=k[360。一(4+

/.ZS￡C=180°-QEBC+NECB)=g(N/+N。),

故答案為。.

3.（山東濰坊期末）如圖，點。是△48C的邊8c的延長線上的一點，/ABC的平分線與ZACD的平分

線交于點小，/小3c的平分線與/4C。的平分線交于點幺2,依此類推.?,已知N/=a,則NZ2020的度數

為.（用含a的代數式表示）.

Ai

Ai

BCD

1

-2-2-0--2-0o

解：在△N8C中，NA=NACD-N4BC=a,

?.?/月8。的平分線與//。。的平分線交于點出，

：.ZAi=ZAtCD-ZAiBC=—(N4CD-NABC)=—ZA=-a,

222

同理可得N/2=—N4=[a,

222

11

/小=一/血=-ra,

223

以此類推，AA202Q=a,

故"人一220--20a

4.（信陽市月考）如圖，BE、CE是△/8C的角平分線，N歷1C=8O。，BE、CF相交于。，則N8OC的

度數是.

130°.

1

解：ZBDC=90°+-ZBAC=\30°.

2

5.（惠州市月考）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.

180.

解：???N2是△O3C的外角，

???N8+NC=N2,

VZ1是的外角，

???N4+NE=N1,

VZ1+Z2+ZD=18O°,

Z.N4+N8+NC+NO+NE=180°.

故答案是：180.

6.（商城縣月考）如圖，△ZBC的兩個內角平分線相交于點P,過點尸向/以力。兩邊作垂直線4、小

若N1=40。，則N8PC=.

110°.

解：如下圖所小:

ZA/PAM180o-Zl=l40°,

四邊形AMPN中，Z^=360°-90°-90°-140°=40°,

■:PC、尸8分別是/ZC8和N/8C的角平分線，

,Z2+Z3=yZJC5+yN4BC=g(4CB+N/BC)=；(180°-ZJ)=yxi40°=70°,

...在△尸8c中，ZCPS=180°-(Z2+Z3)=110°,

故110°.

7.(臨沐縣月考)如圖，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=.

540°.

解：由三角形的外角性質可知/6+N7=/8,

.,.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8,

XVZ1+Z2+Z3+Z10=360°,Z4+Z5+Z8+Z9=360°,Z10+Z9=180°,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8=(Z1+Z2+Z3+Z10)+(Z4+Z5+Z8+Z9)-(Z10+Z9)=540°.

8.（霍林郭勒市月考）如圖，8小和C小分別是的內角平分線和外角平分線，比12是N/歸。的角

平分線，Ch是N4CD的角平分線，歷13是乙428。的角平分線，。3是的角平分線，若N4=a,則

N42018為.

a

萍

解：:/山是N48C的平分線，4C是N4C。的平分線,

AAA\BC=—AABC,NAICD=LNACD,

22

XVZACD=ZA+ZABCfZAiCD=ZA\BC+ZAif

：.—(N4+N48C)」N45C+N4,

22

/.ZJ|=—NA,

2

*/ZJi=a,

同理理可得/42=工Z-A\=—a,

22

a

貝!jZJ2OI8=—^77.

2

9.（四川師范大學附屬中學期中）如圖，已知△/8C中，/N=60。，點。為△NBC內一點，且/80C

=140°,其中O山平分N/8O,OiC平分N/CO,。28平分乙48。1，02c平分乙4coi，…，?！?平分NZ8。”

.1，0,C平分N/CO“I,…，以此類推，則N80C=°,/8。2。17。=°.

100；[60+(—)2017x80].

解：如圖，

VZ5OC=140°,

/.Zl+Z2=180°-140。=40。.

，N/80+4co=180°-60°-40°=80°

?..點。是N/BC與/NC8的角平分線的交點，

.?.N8OiC=180。-(—X80°+40°)=100。.

2

/8。2。=180°-[120°-(N4BO2+NACO2)=80°.

依次類推，Z502017C=180°-[120°-(y)a。喙。。]=60。+(/)2017x80°

故100,[60+(y)2017x80].

10.（重慶月考）如圖，瓦分別為四邊形的邊力民8CC2ZM的中點，并且圖中四個小三

角形的面積之和為1,即S1+S2+S3+S4=l,則圖中陰影部分的面積為.

YE、尸、G、〃分別為48、BC、CD、D4的中點，

:?S&BCE=S&ACE，S&ADG=S”CG，S2ABH=S2BH，SKDF=S〉BDF，

.__1

??S^BCE^S^ADG=S^DB/f^S&BDF=-S四邊形488，

??Si+S四邊形見0人戶+&+S2+S四邊形//0/)+S^=S四邊形反w八尸+S陰影+S四邊形HQPD，

*'?S\+S4+S2+S3=S陰影，

VSi+S2+S3+S4=1,

??S陰影=1?

故1.

11.（江蘇祁江期末）（1）如圖1,4B〃CD,點E是在AB、C。之間，且在8Q的左側平面區(qū)域內一點,

連結8E、DE.求證：NE=NABE+NCDE.

（2）如圖2,在（1）的條件下，作出/或。和NEZM的平分線，兩線交于點尸，猜想//、AABE,

/CDE之間的關系，并證明你的猜想.

（3）如圖3,在（1）的條件下，作出的平分線和△EO8的外角平分線，兩線交于點G,猜想

4G、NABE、/CAE之間的關系，并證明你的猜想.

（1）見解析（2）見解析（3）2ZG=ZABE+ZCDE

解：⑴如圖,

過點E作EH〃4B,

NBEH=NABE,

?:EH"AB,CD//AB,

：.EH//CD,

NDEH=NCDE,

：.NBED=NBEH+/DEH=NABE+NCDE；

(2)2NF-(ZABE+ZCDE)=180°,

理由：由（1）知，NBED=NABE+NCDE,

'：ZEDB+ZEBD+ZBED=\80°,

，NEBD+NEDB=180。-NBED=18。。-(NABE+NCDE),

YBF,DF分別是NDBE,N8DE的平分線，

：./EBD=2NDBF,4EDB=2NBDF,

：.2ZDBF+2ZBDF=180°-(ZABE+ZCDE),

：.NDBF+NBDF=90°--(ZABE+ZCDE),

2

在△8。尸中，ZF=\S00-CZDBF+ZBDF)=180°-[90°-y(ZABE+ZCDE)]=90°+y(NABE+NCDE),

即：2NF-(N4BE+NCDE)=180°；

(3)2ZG=ZABE+ZCDE,理由：

由(1)知，ZBED=ZABE+ZCDE,

,:BG是NEBD的平分線，

二ZDBE=2ZDBG,

,.?DG是NEOP的平分線，

?\ZEDP=2ZGDP,

：.ZBED=ZEDP-ZDBE=2ZGDP-2ZDBG=2(ZGDP-ZDBG),

/.ZGDP-ZDBG=—ZBED=—(NABE+NCDE)

22

/.ZG=ZGDP-NDBG=—(NABE+ZCDE)，

2

：.2ZG=NABE+ZCDE.

12.(莆田月考)如圖，點。為△NBC的邊8c的延長線上一點.

(1)若//:ZABC=3：4,ZJCZ)=140°,求NZ的度數；

(2)若N/8C的平分線與N/CD的平分線交于點M,過點C作于點P.試探究NPCM與N4

的數量關系.

見解析.

解：（1）:NABC=3：4,

設N/=3k,ZABC=4k.

ZACD=ZA+ZABC=\40°,

,3竹44140°,

解得仁20。，

ZJ=3^=60°.

（2）：/A/CZ）是△A/8C的外角,

,NM=NMCD—NMBC.

同理可得：NA=/ACD-NABC.

,:MC,A/S分別平分NNC。，NABC,

：.ZM^-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)^-ZA.

2222

■:CPIBM,

：.ZPCM=90°~-ZA.

2

13.(全國月考)如圖，四邊形/8C。中，BE、。尸分別平分四邊形的外角/M8C和NNDC,若NBAD=a,

ABCD=p.

(1)如圖①，若a+A=150。，求/M8C+NNDC的度數；

(2)如圖①，若8E與。尸相交于點G,NBGD=30。,請寫出a、4所滿足的等量關系式；

(3)如圖②，若a=0,判斷5E、。尸的位置關系，并說明理由.

圖①圖②

(1)150°；(2)￡-a=60°：(3)BE//DF,理由見解析

(1)解：(1)在四邊形488中，ZBAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360°,

：.ZABC+ZADC=36O°-(a+夕)，

ZMBC+NABC=180°,ZNDC+NADC=180°

AZMBC+ZNDC=180°-ZABC+1800-ZADC=360°-(NABC+NADC)=360°-[360°-(a+/f)]=a+p,

：a+0=150°,

，ZMBC+ZNDC=\5O°；

(2)p-a=60°

理由：連接8。,

由(1)得，NMBC+NNDC=a+0,

?；BE、DF分別平分四邊形的外角NMBC和ZNDC,

：.ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,

22

：.ZCBG+ZCDG=^-NM8C+；NNDC=；(NMBC+NNDC)=*a+m，

在ABCD中，ZBDC+ZCDB=\SO°-ZSCZ)=180°-//,

在△BDG中，ZGBD+ZGDB+ZBGD=180°,

ZC5G+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180°,

(ZCBG+ZCOG)+(ZBDC+ZCDB)+ZBGD=180°,

y(a+￡)+180°-￡+30°=180°,

：.fi-a=60°；

⑶平行，

理由：延長8c交。F于4,

由(1),/MBC+/NDC=a邛,

*：BE、。廠分別平分四邊形的外角NM8C和NNDC,

：.ZCBE=-Z.MBC,/CDH=」/NDC,

22

???/CBE+NCDH=：ZMBC+^-4NDC=g(/MBC+/NDC)=g(a+夕),

VZBCD=ZCDH+ZDHB,

/./CDH=/BCD-/DHB=§-/DHB,

：./CBE邛-ZDHB=；(a+8),

???/CBE邛-/DHB=g(JJ+B)=B，

：?/CBE=/DHB,

：.BE//DF.

14.(貴州赫章期末)數學問題：如圖，在△N8C中，//=20°,N43C,N4C8的2020等分線分別交

于點?,。2,..…,。|。,。2020,根據2020等分線等分角的情況解決下列問題：

(1)求/BO。的度數.

(2)求/BO3。的度數.

(3)直接寫出N8O2020C的度數.

見解析.

解：⑴VZ.A=20°,

，NABC+NZC8=180°-NN=180°-20°=160°,

?；8。廣C。分別是NABC和NACB的二等分線，

NOBC+ZOCB=gQSC+ZACB)=1xl60°=80°,

二Z5O,C=180°-80°=100°.

(2):BO?、CQ分別是N46C和N4C8的四等分線，

33

ZO3BC+ZO3CB=-(ZABC+ZACB)=^X160°=120°,

O

Z5<93C=180-120°=60°,

（3）,:BO,7、CO31分別是N/8C和NZC8的〃等分線,

.?.NO,,3C+N0”—(ZABC+ZACB}^—x160°,

nn

n—\20〃+160

ABO,C=180°-------xl60°=

n—\nn

20x2021+160Y_(40580V

N8°2020。一2021J2021J

15.（山西月考）綜合與實踐：

閱讀下面的材料，并解決問題.

（1）已知在A43c中，Z/i=60°,圖1,圖2,圖3中的A48c的內角平分線或外角平分線都交于點O,

請直接寫出下列角的度數如圖1,/。=；如圖2,N0=；如圖3,/。=；

如圖4,NABC,NRCB的三等分線交于點Q,02,連接Q。2，則/以劣。=

(2)如圖5,點。是A4BC兩條內角平分線的交點，求證：ZO=90°+-ZA.

2

(3)如圖6,在A48C中，NZ3C的三等分線分別與N/C8的平分線交于點,02,若Nl=115°,

N2=135。，求乙4的度數.

見解析.

解：(1)平分N/8C,CO平分乙1C8,

ZOBC=-NABC,NOCB=-ZACB,

22

ZOBC+ZOCB=g(N4BC+N4CB)=；(180?！狽8ZC)=；(180?！?0。)=60。,

ZO=180°-(Z05C+N0C8)=120°.

如圖2,:臺。平分NZ8C,CO平分N/CD,

：.ZOBC^-ZABC,ZOCD=-ZACD.

22

NACD=N4BC+NA,

：.ZOCD=g(ZABC+NZ)

VZOCD=ZOBC+NO,

ZO=ZOCD-ZOBC^-ZABC+-ZA--ZABC^-ZA^30°

2222

如圖3,?:BO平分'/EBC,CO平分N8C。，

ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-/BCD,

22

ZOBC+ZOCB=；(ZEBC+NBCD)=g(+N4CB+N8CZ))=；(//+180。)=120。,

Z(9=180°-(N08C+NOCB)=60°.

如圖4,*：NABC,N/C8的三等分線交于點?,O2,

22

NO,BC=-ZABC,NO,CB=-ZACB.

2323

O\B平■分4O&C,OtC平分ZO2CB,02a平分N802c,

222