新教材高中數(shù)學(xué)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)（含解析）蘇教版選擇性

本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)(滿分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為()2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是 ()A.x+1x'=1+1x2B.(log2C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=-2xsinx3.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),若它所經(jīng)過的路程與時(shí)間的關(guān)系為s(t)=13t3+1,設(shè)其在時(shí)間段[1,2]內(nèi)的平均速度為v1,在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2,則v1v2A.13B.712C.564.函數(shù)f(x)=lnx-x的極大值點(diǎn)為 ()5.已知函數(shù)f(x)=x2-2cosx,則f(0),f-13,f23的大小關(guān)系是A.f(0)<f-13<fB.f-13<f(0)<C.f23<f-13<D.f(0)<f23<f6.函數(shù)f(x)=2x2-ln|x|的圖象大致為 ()7.已知函數(shù)h(x)=mex+ex在區(qū)間[0,1]上不單調(diào),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (A.[1,e]B.(1,e)C.[1,e2]D.(1,e2)8.設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R),當(dāng)a>3時(shí),不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)對(duì)任意的k∈[-1,0]恒成立,則θ的可能取值是 ()π3B.4π3π2二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列結(jié)論中正確的有 ()y=sinπ3,則y'f(x)=3x2-f'(1)x,則f'(1)=3y=-x+x,則y'=-12y=sinx+cosx,則y'=cosx+sinx10.定義在區(qū)間-12,4上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(xf(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間-1f(x)在x=1處取得極大值f(x)在x=0處取得極小值11.若實(shí)數(shù)m的取值使函數(shù)f(x)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),則稱函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”.已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),且f'(x)=mx-2lnx,當(dāng)函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”時(shí),m的取值范圍的子集有 (A.-2e,C.-∞,-2e12.已知定義在0,π2上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,則下列判斷正確的是A.fπ6<62fπ4B.C.fπ6>3fπ3D.fπ4>三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.已知f'(x0)=m,則limΔx→14.設(shè)函數(shù)f(x)=x+cosx,x∈(0,1),則滿足不等式f(t2)>f(2t-1)的實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

15.若f(x)=x3-3x+m,當(dāng)m=0時(shí),f(x)的極大值為;關(guān)于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(第一個(gè)空2分,第二個(gè)空3分)

16.已知函數(shù)f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,若存在x1≠x2,使得f(x1四、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)在①f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)為0;②曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)為奇函數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并回答下列問題.已知函數(shù)f(x)=ex+ax-1,且,求f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值.

注:選擇多個(gè)條件分別解答時(shí),按第一個(gè)解答計(jì)分.18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(a-b)x2-x-xlnx.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,且f(1)=a,求a,b的值;(2)若a=1,f(x)≥0對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx-1.(1)若x∈(0,π),求f(x)的極值;(2)證明:當(dāng)x∈[0,π]時(shí),2sinx-xcosx≥x.

20.(本小題滿分12分)如圖,已知A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)相距20千米,設(shè)M是AB的中點(diǎn),在AB的中垂線上有一高鐵站P,P、M的距離為10千米.為方便居民出行,在線段PM上任取一點(diǎn)O(點(diǎn)O不與P、M重合)建設(shè)交通樞紐,從高鐵站鋪設(shè)快速路到O處,再鋪設(shè)快速路分別到A、B兩個(gè)城鎮(zhèn).因地質(zhì)條件等各種因素,其中快速路PO造價(jià)為1.5百萬元/千米,快速路OA造價(jià)為1百萬元/千米,快速路OB造價(jià)為2百萬元/千米.設(shè)∠OAM=θ(rad),總造價(jià)為y(單位:百萬元).(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)求總造價(jià)的最小值,并求出此時(shí)θ的值.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0).(1)若a=1,求f(x)的極值;(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,求實(shí)數(shù)22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=1-x(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;(2)設(shè)方程f(x)=m(m>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x1-x2|<2-m1+1答案全解全析本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.B因?yàn)閒(x)=x2,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為f(2)-f(-12.B由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,知x+1x'=1-1x2,(5x)'=5xln5,(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,A、C、3.B由題意知,該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,2]內(nèi)的平均速度v1=ΔsΔt=13×23+1-13×13+12-1=73,因?yàn)閟'(t)=t4.A因?yàn)閒(x)=lnx-x(x>0),所以f'(x)=1x-1=1-xx,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以在即函數(shù)f(x)=lnx-x的極大值點(diǎn)為1,故選A.5.A易知f(x)=x2-2cosx為偶函數(shù),∴f-13=f∵f'(x)=2x+2sinx,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù),∴f(0)<f13<f2∴f(0)<f-13<f236.A∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除B.當(dāng)x→0時(shí),f(x)→+∞,故排除D.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x2-lnx,f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,當(dāng)x=12時(shí),ln12>0,故排除故選A.7.D因?yàn)閔(x)=mex+ex,所以h'(x)=-mex+ex,又因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=mex+ex在區(qū)間[0,1]上不單調(diào),所以h'(x)=-mex+ex在區(qū)間(0,1)上存在變號(hào)零點(diǎn),所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)e-8.D由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=a3或x=a,當(dāng)a>3時(shí),a3<所以f(x)在-∞,a3,[a,+∞)上單調(diào)遞減,在a又當(dāng)a>3時(shí),a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)因?yàn)閗∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)對(duì)任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sinθ-1≤k2+k=k+122-14對(duì)任意的所以sin2θ-sinθ-1≤-14恒成立解得-12≤sinθ≤32,即-12≤sin結(jié)合選項(xiàng)知,θ的可能取值是5π6故選D.易錯(cuò)警示利用單調(diào)性解決相關(guān)問題時(shí),要注意單調(diào)區(qū)間的判定,當(dāng)自變量都在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能利用相應(yīng)的單調(diào)性,解題時(shí)防止漏證導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.二、多項(xiàng)選擇題9.ABC選項(xiàng)A中,若y=sinπ3=32,則y'=0,故A正確;選項(xiàng)B中,若f(x)=3x2-f'(1)·x,則f'(x)=6x-f'(1),令x=1,則f'(1)=6-f'(1),解得f'(1)=3,故B正確;選項(xiàng)C中,若y=-x+x,則y'=-12x+1,故C正確;選項(xiàng)D中,若y=sinx+cosx,則y'=cosx-sinx,故D10.ABD由y=f'(x)的圖象知,當(dāng)-12<x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)0<x<4時(shí),f'(x)>0,因此f(x)在-12,0上單調(diào)遞減,在(0,4)上單調(diào)遞增,故A、B正確;f(x)在x=1附近單調(diào)遞增,在x=1處不取極大值,故C錯(cuò)誤;由f(x)在-12,0上單調(diào)遞減,在(0,4)上單調(diào)遞增,得f(x)在x=011.BDf'(x)=mx-2lnx=m-2若函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”,則m=2xlnx在(0,+∞)上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,令g(x)=2xlnx,則g'(x)=2(1+lnx),令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0<x<1∴g(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在故g(x)的極小值是g1e=-2e,也是最小值,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→0,故-2e<m12.CD令g(x)=f(x)cosx則g'(x)=f'(因?yàn)閒'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以g'(x)=f'(x)cosx因此函數(shù)g(x)=f(x)cosx在0,π2上單調(diào)遞減,因此gπ6>gπ4,即fπ6cosπ6又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x因?yàn)閘nπ3∈0,π2,所以flnπ又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cosπ3,即f解題模板通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.構(gòu)造函數(shù)時(shí),利用含導(dǎo)函數(shù)的不等式分析其結(jié)構(gòu),結(jié)合求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù).平時(shí)要積累構(gòu)造函數(shù)的方法.三、填空題13.答案-3m解析∵f'(x0)=m,∴原式=-3lim=-3f'(x0)=-3m.14.答案1解析因?yàn)閒'(x)=1-sinx>0,所以f(x)為增函數(shù),因?yàn)閒(t2)>f(2t-1),所以t2>2t-1,即t≠1,因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,1),所以0<t2<1,15.答案2;[-2,2]解析當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,得x>1或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<1,故函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)的極大值為f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.關(guān)于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,所以g(x)的值域?yàn)閇-2,2],即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2,2].16.答案[3-2ln2,+∞)解析因?yàn)閤1≠x2,所以不妨設(shè)x1<x2.當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=1+lnx≥1,當(dāng)x<1時(shí),f(x)=x+12<1,根據(jù)f(x1)+f(x2)=2可知x1<1<x2,所以f(x1)=x1+12,f(x2)=1+lnx2,所以f(x1)+f(lnx2=2,故x1=1-2lnx2,所以x1+x2=x2-2lnx2+1.記g(x2)=x2-2lnx2+1(x2>1),則g'(x2)=x2-2x2,于是易得g(x2)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x2)≥g(2)=3-2ln2,又當(dāng)x2→+∞時(shí),g(x2)→+∞,所以g(x2)所以x1+x2的取值范圍是[3-2ln2,+∞).解后反思分段函數(shù)問題要根據(jù)自變量的取值范圍選擇函數(shù)解析式,找到x1、x2的關(guān)系,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的值域,從而得到取值范圍.四、解答題17.解析選擇①,由題意得f'(x)=ex+a,則f'(0)=1+a=0,故a=-1, (2分)故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因?yàn)閒(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2. (10分)選擇②,由題意得f'(x)=ex+a,所以f'(1)=e+a,由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+(e-1)y-1=0垂直,得f'(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1, (2分)則f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因?yàn)閒(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2. (10分)選擇③,由題意得f'(x)=ex+a.所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)因?yàn)閥=f(-x)-f'(x)為奇函數(shù),所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1. (3分)則f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因?yàn)閒(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2. (10分)18.解析(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,得f'(x)=2(a-b)x-lnx-2, (2分)由f(1)=a(2)由題意得f(x)=(1-b)x2-x-xlnx. (5分)f(x)≥0對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立等價(jià)于b≤1-1x-lnxx對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=1-1x-lnxx,則g'(x)=lnx當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, (9分)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, (10分)所以g(x)min=g(1)=0,所以b∈(-∞,0]. (12分)19.解析(1)∵f(x)=cosx+xsinx-1,∴f'(x)=xcosx, (2分)當(dāng)x∈0,π2時(shí),f'當(dāng)x∈π2,π時(shí),f'(x)<0.當(dāng)x發(fā)生變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x0ππf'(x)+0-f(x)↗極大值↘因此,當(dāng)x=π2時(shí),f(x)有極大值,并且極大值為fπ2=π2-1,沒有極小值.(2)證明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,則g'(x)=cosx+xsinx-1=f(x),由(1)知f(x)在0,π2上單調(diào)遞增,在π2,又f(0)=0,fπ2=π2-1>0,所以f(x)在(0,π)上存在唯一零點(diǎn),設(shè)為x0,則g'(x0)=f(x0)=0. (9分)當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,π)上單調(diào)遞減,又g(0)=0,g(π)=0,所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí),g(x)≥0, (11分)故2sinx-xcosx≥x. (12分)20.解析(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M為AB的中點(diǎn),∴OA=OB=10cosθ,OM=10tanθ,OP=10-10tanθ, (2∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tanθ)×1.5==152cosθ-tanθ+15(2)設(shè)f(θ)=2cosθ=2-則f'(θ)=-=2sinθ-1co令f'(θ)=0,得sinθ=12又0<θ<π4,∴θ=π6. (8當(dāng)0<θ<π6時(shí),sinθ<12,f'(θ)<0,f(θ)單調(diào)遞減; (9當(dāng)π6<θ<π4時(shí),sinθ>12,f'(θ)>0,f(θ)單調(diào)遞增.∴f(θ)的最小值為fπ6=3,此時(shí)總造價(jià)最小. (11分∴當(dāng)θ=π6時(shí),總造價(jià)最小,最小值為(153+15)百萬元. (12分21.解析(1)a=1時(shí),f(x)=x-lnx,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞), (1分)f'(x)=1-1x=x-1x令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1, (3分)故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)的極小值是f(1)=1,無極大值. (5分)(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,等價(jià)于f(x0)+1+a設(shè)h(x)=x-alnx+1+a則h'(x)=(x令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a. (8分)①當(dāng)1+a≥e時(shí),h(x)在[1,e]上遞減,∴h(x)的最小值為h(e)=e-a+1+a令h(x)min<0,即e-a+1+ae<0,解得a>e2+1②當(dāng)1+a<e時(shí),h(x)在(1,1+a)上單調(diào)遞減,在(1+a,e)上單調(diào)遞增,ln(1+a)<lne=1,∴h(x)的最小值為h(1+a)=1+a-aln(1+a)+1=a[1-ln(a+