2023學年完整公開課版靜電場

第一章靜電場1.1庫侖定律與電場強度1.2電勢與電勢差1.3電容與靜電場的能量相對于觀察者靜止的電荷在其周圍空間所產(chǎn)生的電場稱為靜電場。我們知道，電場是客觀存在的一種特殊形態(tài)的物質(zhì)，電荷之間的相互作用是通過電場來實現(xiàn)的。除了電荷在其周圍空間產(chǎn)生電場外，變化的電場在周圍空間也產(chǎn)生電場(將在第3章中介紹)，電場最基本的特性是對任何置于其中的電荷都有力的作用。本章中主要描述靜電場的電場強度、電勢、電容、電介質(zhì)等基本概念及庫侖定律、高斯定理等主要規(guī)律。在對稱分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用高斯定理求電場強度的普遍意義在于使學生了解和掌握對稱分析這一近代科學的基本分析方法。就思維方法來講，這對整個電磁學(乃至所有的基礎(chǔ)科學)都具有典型意義。1.1庫侖定律與電場強度1.1.1電荷的量子性我們已經(jīng)知道，除了用摩擦的方式使物體帶電外，還可以用感應(yīng)等方法起電。物體所帶電荷的多少稱為電量，常用Q或q表示。在國際單位(SI)制中，電量的單位名稱為庫侖，符號為C。實驗證明，自然界中的電荷總是以一個基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)，這一特性叫做電荷的量子性。實驗已經(jīng)測出電荷的基本單元就是一個電子所帶電量的絕對值，常用e表示實際物體所帶電量應(yīng)為q=±ne(n為正整數(shù))。本章所涉及的宏觀物體所帶電荷常常是基本單元電荷的許許多多倍，以至于在宏觀數(shù)值中反映不出電荷的量子性。例如，220V，25W的白熾燈正常工作時，每秒通過其燈絲的基本電荷大約有6×1017個。因此，在研究宏觀帶電物體時，我們常把電荷當作連續(xù)變化量對待。1.1.2點電荷在所研究的問題中，帶電體的形狀、電荷分布可忽略時，該帶電體就可看作一個帶電的點，叫點電荷。顯然，點電荷是個相對概念，視問題所要求的精度而定。點電荷是一種理想化的物理模型。當帶電體不能作為點電荷處理時，可以把帶電體劃分為許多可視為點電荷的電荷元來處理。1.1.3電荷守恒定律實驗指出，對于一個沒有凈電荷出入其邊界的系統(tǒng)，其中正、負電荷電量的代數(shù)和將保持不變，這就是電荷守恒定律。在宏觀上，物體的帶電過程或被中和的過程，都是電荷從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分的過程。在微觀中，電荷的產(chǎn)生和消失，也不違背電荷守恒定律。例如，電子對的“產(chǎn)生”或“湮滅”過程中，正負電荷總是成對出現(xiàn)或成對消失，可見，這種電荷的產(chǎn)生和消失并不改變系統(tǒng)中電荷數(shù)的代數(shù)和。因此，電荷守恒定律也可表述為：正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。電荷守恒定律是自然界中的基本守恒定律之一。1.1.4真空中的庫侖定律1785年，法國科學家?guī)靵鲇门しQ實驗總結(jié)出真空中的兩個點電荷之間的作用規(guī)律——庫侖定律，用公式表述為(1.1)上式中，q1和q2分別表示兩個點電荷電量(含正、負號)，r表示兩個點電荷之間的距離，

表示從q1指向q2的單位矢量，表示q1對q2的作用力，k是比例系數(shù)，其值與式中各量所選用的單位有關(guān)。在國際單位制中，r用m作單位，F(xiàn)用N作單位，q用C作單位，則

在國際單位制中通常引入另一常量ε0來代替k，使于是，真空中庫侖定理的形式就可以寫成(1.2)式中，ε0稱為真空介電常數(shù)（或真空電容率），其值和單位為表面看來，引入“4π”因子使庫侖定律形式變得復(fù)雜了，但卻使以后經(jīng)常用到的電磁學規(guī)律的表示式因不出現(xiàn)“4π”而變得簡單些。這種做法稱為單位制的有理化。實驗證明：點電荷放在空氣中時，其相互作用力與在真空中相差極小，因此真空中的庫侖定律對在空氣中的點電荷同樣適用。1.1.5電場強度

設(shè)空間有一相對于觀察者靜止的正電荷q，在它周圍存在著靜電場?，F(xiàn)用一個電量充分小而不致影響原電場分布的點電荷q0(常稱為檢驗電荷)來測試此電場。如圖1.1所示，將正檢驗電荷q0依次放入靜電場的不同位置，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，q0所受的電場力F會依場點的位置各異。如果電場中某確定位置依次放入電量不同的檢驗電荷。我們會發(fā)現(xiàn)，雖然各檢驗電荷受力F不同，但F與q0的比值卻是恒定的，即該比值與檢驗電荷的量值無關(guān)，只取決于在該電場中的位置。因此，我們把比值稱為電場強度，用符號

表示，即(1.3)此式表明，電場中某點電場強度大小，等于靜止于該點單位檢驗電荷所受電場力的大小，電場強度的方向為正檢驗電荷在該點所受電場力的方向。國際單位制中，電場強度的單位名稱為牛/庫，符號為N/C，可以證明，該單位與V/m是等價的，即由式（1.3）可知，置于電場強度為的靜電場中某點的點電荷q所受的電場力為(1.4)顯然，若q>0，則

與

方向相同；若q<0，則

與

方向相反。

近代科學的理論和實驗完全證實了場的觀點的正確性。電場已被證明是一種客觀存在，它運動(傳播)的速度是光速。1.1.6點電荷的場強根據(jù)電場強度的定義和庫侖定律可以很方便地求得點電荷q產(chǎn)生的電場的場強。把檢驗電荷q0放置在距場源電荷q為r的P點，檢驗電荷q0受到的電場力為式中是叢場源電荷q指向P點的單位矢量。由定義（1.3）得P點的場強（1.5）這就是點電荷場強分布公式。式中，若q>0，則

與

同向，即在正電荷的電場中，任意點的場強沿該點徑矢方向(圖1.2(a))；若q<0，則

與

反向，即在負電荷

的電場中，任意點的場強沿該點徑矢的反方向(圖1.2(b))。式(1.5)還指出，點電荷的電場具有球?qū)ΨQ性。1.1.7場強疊加原理設(shè)在n個點電荷q1、q2……qn組成的點電荷系所產(chǎn)生的電場中的任意一點，放入檢驗電荷q0。q0所受的電場力F應(yīng)等于q1、q2……qn單獨存在時分別作用于q0的電場力

的矢量和，即由場強定義，該點的場強為（1.6）此式表明，點電荷系電場中任意一點的場強等于各個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的場強的矢量和，這就是場強疊加原理。利用式(1.5)，還可以把點電荷系電場中某的場強表示為（1.7）如果帶電體的電荷是連續(xù)分布的，可以認為該帶電體的電荷是由許多可視為點電荷的電荷元dq組成，任一電荷元dq在電場中一點產(chǎn)生的場強為由場強疊加原理即可求出整個帶電體的場強為（1.8）【例1.1】

求電偶極子中垂線上任意一點的電場強度。解

相距為l的一對等量異號點電荷+q和-q，當它們的距離l比所討論的場點到它們的距離r小得多時，此電荷系統(tǒng)稱為電偶極子(如圖1.3)。

設(shè)+q和－q到偶極子中垂線上任一點P處的位置矢量分別為

和，而

=。由(1.5)式，+q，－q在P點處場強

分別為以r表示電偶極子中心到P點的距離，則由圖中可得因此，P點的合場強為由于

，所以上式化為上式中，

是反映電偶極子本身特征的物理量，叫做電偶極子的電矩(或極矩)，以

表示，則

=于是上述結(jié)果又可表示為。（1.9）此結(jié)果表明，電偶極子中垂線上距電偶極子較遠處各點的電場強度與電偶極子的電矩成正比，與該點離電偶極子中心的距離的三次方成正比，方向與電矩的方向相反。實際中許多宏觀帶電體可以簡化為電偶極子，分子和原子也可看成是電偶極子。因此，電偶極子在理論研究和技術(shù)中都具有重要的意義。1.1.8電場線

電通量

為了形象地描述電場強度的分布，我們在電場中作出許多曲線，使曲線上每一點的切線方向與該點的場強的方向一致，使電場強度的大小等于曲線線數(shù)密度，即，

這樣的曲線稱為電場線。圖1.4是幾種帶電體的電場線。

電場線是為描述電場而人為引入的，其圖形可用實驗方法模擬顯示。靜電場的電場線有如下性質(zhì)：（1）電場線起于正電荷（或無窮遠處），止于負電荷（或無窮遠處）。在無電荷處，電場線不會中斷。（2）電場線不形成閉合曲線。（3）任何兩條電場線在無電荷處不相交。通過電場中某一面的電場線總條數(shù)，稱為通過該面的電通量，用符號Φe表示，顯然

（1.10）上式中

是面元

在垂直于電場線的平面上的投影，因而有

兩面元的的夾角。1.1.9真空中的高斯定理理論和實驗都已證明，在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面S的電通量等于該閉合面所包圍的電荷電量代數(shù)和的

倍。這一結(jié)論叫做真空中的高斯定理，用公式表示

（1.11）

該定理是由德國物理學家和數(shù)學家高斯首先推導出來的一條重要規(guī)律。公式中的為閉合曲面上的場強，但通過閉合面的總電通量只由閉合面所包圍的電荷決定，與閉合面外部的電荷無關(guān)?！纠?.2】求無限大均勻帶電平面的電場分布（該帶電平面上面電荷密度為σ）。解

考慮距帶電平面r的P點的場強

（圖1.5）由于對垂線OP來說，電荷是對稱分布的，所以P點的場強必然垂直于該帶電平面，又因為電荷均勻分布在一個無限大的平面上，所以電場分布必然對該平面對稱。當σ>0時，場強垂直指離平面，且距離平面等遠處的場強大小都相等。

如圖1.5中那樣，我們選一個軸線垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面S，使P點位于它的一個底上，帶電平面平分此圓筒。由于圓筒的側(cè)面與場強垂直，所以通過側(cè)面的電通量為零，而通過兩底面的電通量即為整個高斯面的電通量由高斯定理得因而得（1.12）該式表明，無限大均勻帶電平面的電場中任一點場強大小均為

，方向垂直于帶電平面?？梢娺@個電場是勻強電場?！纠?.3】兩個互相平行面電荷密度分別為+σ和-σ的無限大均勻帶電平面的電場分布。根據(jù)場強疊加原理可得在Ⅰ區(qū)：EⅠ=E1-E2＝0在Ⅱ區(qū)：EⅡ=E1＋E2＝

解由例1.2可知，兩個面在各自的兩側(cè)產(chǎn)生的場強方向如圖1.6所示，其大小分別為在Ⅲ區(qū)：EⅢ=E1-E2＝0可見，在兩平面外側(cè)的場強為零，而兩平面之間的場強大小為

，方向由帶正電平面指向帶負電平面。

1.2電勢與電勢差1.2.1靜電場力作功的特點

如圖1.7所示，在點電荷q產(chǎn)生的電場中，把檢驗電荷q0從a點沿任意路徑移到b點，而點電荷q的場強大小為故q0從a點移到b點，電場力作的功為（1.13）該式表明，當檢驗電荷在點電荷產(chǎn)生的電場中移動時，電場力所作的功只與起點和終點位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)，根據(jù)電場強度的疊加原理，上述結(jié)論可推廣為：電荷在靜電場中移動時，電場力所作的功與該電荷所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，只與其在電場中的起點和終點位置有關(guān)。在經(jīng)歷任一位移元dl過程中，靜電場力F對q0所作的元功為由圖得由于靜電場力所作的功與路徑無關(guān)，當電荷q從電場中某一點出發(fā)經(jīng)任意閉合路徑再回到原來位置時，電場力所作的功必然為零，即而

所以有（1.14）即在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分等于零。這一結(jié)論稱為靜電場的環(huán)路定理，它與“靜電場力作功與路徑無關(guān)”是一致的。我們把作功與路徑無關(guān)的力場，稱為保守力場或勢場。顯然，靜電場是保守力場(勢場)。1.2.2電勢能根據(jù)系統(tǒng)中保守內(nèi)力所作的功，數(shù)量上等于相應(yīng)勢能增量的負值這一規(guī)律可知，靜電場力所作的功應(yīng)該等于電勢能增量的負值。當檢驗電荷q0從靜電場中某一位置a移到另一位置b時，電場力作功Aab與a、b位置的電勢能Wa和Wb間的關(guān)系為如果選b為零勢能的參考點，即Wb=0，則（1.15）理論研究中，常取無限遠處的電勢能為零，這樣q0在電場中某一點p的電勢能為（1.16）1.2.3電勢

由式(1.16)可以看出，比值

與檢驗電荷無關(guān)，它反映了電場本身在p點的某一性質(zhì)。因此，我們把電荷在電場中某點的電勢能與它的電量的比值，稱為該點的電勢，用符號V表示。（1.17）該式表明，靜電場中某點的電勢，等于單位正電荷從該點移動到零參考點過程中電場力所作的功；或者說，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點所具有的電勢能。顯然，電勢是描述電場性質(zhì)的物理量，與檢驗電荷存在與否毫無關(guān)系。電勢是標量。在電場中，沿著電場線的方向電勢逐點降低；同一電場線上，任意兩點的電勢不相等。電勢是相對量，必須規(guī)定零電勢參考點后，才能確定其它位置的電勢值。理論上，對有限帶電體電場中的電勢，常取無窮遠處為零電勢點，而在實際工程應(yīng)用中，則常取地球或電子儀器的底板為電勢零點。

1.2.4電勢差電場中兩點電勢之差稱為電勢差(亦稱為電壓)，用符號U表示，如a，b兩點的電勢差為（1.18）由上式可見，電勢差與電勢零點的選取無關(guān)。實際應(yīng)用中，電勢差比電勢更有意義。在國際單位制中，電勢和電勢差的單位名稱是伏[特]，符號為V。

【例1.4】求點電荷電場的電勢分布解取無窮遠處的電勢為零，則電場中距點電荷q為r的任意一點p的電勢為（1.19）可見，點電荷中某點的電勢與該點到點電荷的距離r成反比。當場源電荷q為正時，它的電場中電勢處處為正；若場源電荷q為負時，它的電場中電勢處處為負。根據(jù)場強疊加原理和電勢的定義可以證明，點電荷系電場中某點的電勢等于各個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，稱為電勢疊加原理，即（1.20）如果電荷連續(xù)分布在一物體上，則可把帶電體看成由無窮多電荷元dq組成。根據(jù)疊加原理，該帶電體產(chǎn)生的電勢為（1.20）上式積分號下的“Ω”表示對整個帶電體求積分。1.2.5等勢面像場強的分布可以用電場線形象地表示一樣，電勢的分布也可以用電勢相等的點組成的曲面——等勢面來形象地表示。圖1.8中用虛線畫出了幾種電場的等勢面，其中實線為電場線。從圖1.8中，我們不難總結(jié)出等勢面如下的一些性質(zhì)：1．等勢面與電場線處處正交。2．在等勢面上任意兩點之間移動電荷時，電場力作功為零。3．電場線總是從電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面。4．若相鄰兩等勢面間的電勢差恒定，則等勢面越密的地方，場強越大。電勢是標量，容易用實驗方法測量電場中的電勢或電勢差。因此，在研究電場分布時，通常用實驗測出電勢或電勢差值，繪出等勢面，再由正交關(guān)系畫出電場線，進而分析出電場的分布狀況。在前兩節(jié)的討論中，我們從庫侖定律出發(fā)，應(yīng)用疊加原理，借助了演繹推理的方法。這種從實驗定律出發(fā)，根據(jù)實驗提出幾個科學的概念，借助演繹推理，推導出一定范圍內(nèi)有用結(jié)果的科學研究方法在今后的學習中會經(jīng)常用到。學習和掌握這種研究、分析、解決問題的科學方法，對今后的學習、研究是大有裨益的。*1.2.6靜電場聚焦在靜電場中，當運動的電子穿過等勢面時只有垂直于等勢面(即沿電場線方向)的速度發(fā)生變化，而垂直于電場線的速度分量vˊ不變(如圖1.9)。因此有即此式與光的折射定律形式相似。它指出，受到電場加速的電子偏向法線(電場線)，而受到電場減速的電子則偏離法線。

圖1.10所示，利用兩圓筒之間的電勢差，使電子束連續(xù)通過一系列等勢面后被聚集在一點F，它類似于光學中平行光線的聚焦，稱為靜電場聚焦。聚焦點F的位置決定于電勢的分布，實際應(yīng)用中(如示波管中的電子槍)通過調(diào)節(jié)各筒之間的電勢差，使電子會聚在需要的位置。

電子顯微鏡就是利用電場聚焦電子束的原理制成的(圖1.11)。電子槍發(fā)射的電子束經(jīng)電子聚焦透鏡L1后形成了平行電子束，它經(jīng)過觀測對象(膜片)S和靜電透鏡(物鏡)L2后，將S放大成Sˊ，放大的物像Sˊ又經(jīng)靜電透鏡(目鏡)L3再次放大后成像在熒光屏或照相底片上。電子顯微鏡的分辯率遠遠高于光學顯微鏡，因此被廣泛應(yīng)用于對分子等精細結(jié)構(gòu)的觀察。1.3電容靜電場的能量1.3.1電容電工和電子儀器中應(yīng)用極為廣泛的一種電子元件就是電容器。大多數(shù)常用電容器都可看成是由兩塊彼此靠得很近的平行金屬板組成的平行板電容器。圖1.12示意了一些常見的電容器。平行板電容器的兩金屬板稱為電容器的兩個極板。通常極板面積的尺度比極板間距離大得很多，可以把極板看作為無窮大平面。當兩極板分別均勻帶等量異號電荷(±q)時，極板間的電場是均勻的。電容器所帶電荷q與兩極板間的電勢差U的比值是一個確定的常量，定義該常量為電容器的電容，用符號C表示（1.22）電容是反映電容器本身性質(zhì)(容納電荷和儲存電能能力)的物理量，它取決于電容器本身的結(jié)構(gòu)，即與電容器極板的形狀、大小、極板間距離及極板間的電介質(zhì)有關(guān)，與電容器是否帶有電荷無關(guān)。在國際單位制中，電容的單位名稱是法[拉]，符號為F。實用中還常用μF(微法)和pF(皮法)作單位，它們間的換算關(guān)系為1F=106μF=1012pF【例1.5】平行板電容器兩極板相對面積為S，極板間距離為d，求其電容。解

設(shè)兩極板均勻帶電量分別為±q，則其面電荷密度為

，極板間的電場強度大小為兩極板間的電勢差為根據(jù)電容器的定義式得平行板電容器電容為（1.23）該例題給出了根據(jù)電容的定義求電容器電容公式的一般方法。實際工作中，常常用實驗的方法測量電容器的電容電容和額定電壓是電容器的兩個主要指標。例如，某電容器上標有“20