中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)方差

關(guān)于中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)方差第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1．頻率分布直方圖在頻率分布直方圖中，縱軸表示

，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用

表示，所有長方形面積之和

.

提示：注意頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個不同的概念．雖然它們的橫軸表示的內(nèi)容是相同的，但是頻率分布條形圖的縱軸(矩形的高)表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組距上的矩形的面積．頻率與組距的比值小長方形的面積等于1第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2．頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的

，就得頻率分布折線圖．

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所有的組數(shù)增加，

減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．中點組距3．莖葉圖當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，一是從統(tǒng)計圖上沒有

丟失，二是方便記錄與表示，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就不太方便了．原始數(shù)據(jù)第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三4．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

(2)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在

位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

(3)如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么 叫做這n個數(shù)的平均數(shù)．較多中間5．標準差和方差

(1)標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種 ．

(2)s＝

. (3)方差：

(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù))．平均距離第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【思考】

總體平均數(shù)與總體方差分別反映了總體的什么特征，有哪些區(qū)別？答案：總體平均數(shù)即總體期望值，是反映總體平均水平的一個值；而總體方差是反映總體的波動情況的一個量，二者反映的角度不同，不可相互比較，但有些問題在總體期望值差距不大時，可考慮用總體方差進一步區(qū)分．第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1．(2009·福建卷)一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻率為(

)A．0.13B．0.39C．0.52D．0.64

解析：由列表可知樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻數(shù)為52，故其頻率為0.52.

答案：C組別(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)1213241516137第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2.右圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計年鑒2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖．圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字．從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為(

)A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6

解析： ＝303.6.

答案：B第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標準差為(

)A. B. C．3 D.解析：由標準差公式計算可得．答案：B分數(shù)54321人數(shù)2010303010第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三4．(2009·湖北卷)如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為________，數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的概率約為________．解析：200×0.08×4＝64；(0.02＋0.08)×4＝0.4.

答案：64

0.4第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三5:

甲、乙兩臺機床同時加工直徑為10mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品的 質(zhì)量，從產(chǎn)品中各隨機抽取6件進行測量，測得數(shù)據(jù)如下

(單位mm)

甲：99,100,98,100,100,103

乙：99,100,102,99,100,100 (1)分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；

(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求．第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三思維點撥：已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為，方差為

標準差為解：(1)

[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝

第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)因為

，說明甲機床加工零件波動比較大，因此乙機床加工零件更符合要求．第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小．附注：第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①s2＝②數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；③數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為2.02t.第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三說明:2.02這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實際中位數(shù)值不一致.第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.n個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:X=值為：在頻率分布直方圖中每個小矩形度面積乘以小矩形的底邊中點的橫坐標之和第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

3、由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計時可靠性降低。第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三在頻率分布直方圖中，中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)如何確定？提示：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標.第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1．(2009年上海高考)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是(

)A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【解析】由于甲地總體均值為3，中位數(shù)為4，即中間兩個數(shù)(第5、6天)人數(shù)的平均數(shù)為4，因此后面的人數(shù)可以大于7，故甲地不符合．乙地中總體均值為1，因此這10天的感染人數(shù)總和為10，又由于方差大于0，故這10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合．丙地中中位數(shù)為2，眾數(shù)為3,3出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)8，故丙地不符合．故丁地符合．【答案】D第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2：(2009·安徽高考)某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照試驗．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)完成數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論．第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【解】

(1)第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)．(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3．從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位：mm)，結(jié)果如下：甲品種：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品種：28429229530430630731231331531531631831832032232232432732933133333633734335609海南寧夏第31頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三由以上數(shù)據(jù)設(shè)計了如下莖葉