高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性(新人教B版)_第1頁
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文檔簡介

觀察下列函數(shù)圖象設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間M?A,如果取區(qū)間M中的

兩個值x1,x2,改變量

,則當(dāng)

時,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù),如圖(1);當(dāng)

時,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù),如圖(2).Δ

x=x2-x1>0任意Δ

y=f(x2)-f(x1)>0Δ

y=f(x2)-f(x1)<0如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說y=f(x)在這個區(qū)間M上具有

(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間).單調(diào)性[思路點撥]

函數(shù)解析式和區(qū)間已給出,要證明函數(shù)是增函數(shù),只需用定義證明即可.[一點通]利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下:[例2]畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.函數(shù)y=|x|在區(qū)間[-1,1]上的增區(qū)間為________.答案:[0,1]解:(1)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞);(2)y=x2-2x-3的對稱軸方程是x=1,并且開口向上,所以其單調(diào)減區(qū)間是(-∞,1],單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞).[例3]

(12分)已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范圍.

[思路點撥]

不等式f(1-a)<f(2a-1)為抽象不等式,不能直接解.考慮到函數(shù)的單調(diào)性,可將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系,即轉(zhuǎn)化為具體不等式來求解.[一點通]解決此類與抽象函數(shù)有關(guān)的變量的取值范圍問題,關(guān)鍵是利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號“f”,從而轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),對任意x1∈D

,x2∈D,且f(x1)<f(x2),則有x1<x2;若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù),對任意x1∈D

,x2∈D,且f(x1)<f(x2),則有x1>x2.但需要注意的是,不要忘記函數(shù)的定義域.6.若函數(shù)y=f(x)在R上為增函數(shù),則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是________.答案:f(-3)>f(-π)答案:C8.已知函數(shù)f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.解:∵f(x)=x2-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,∴f(x)的減區(qū)間是(-∞,1-a].又∵已知f(x)在(-∞,4]上是減函數(shù),∴1-a≥4,即a≤-3.∴所求實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3].(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的某個子集上的性質(zhì).這個子集可以是整個定義域,也可以是定義域的真子集.(2)若x1>x2,f(x1)>f(x2),則函數(shù)y=f(x)是單調(diào)增函數(shù);若x1>x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)y=f(x)

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