新教材數(shù)學蘇教版課件1222復數(shù)的乘除運算

第2課時復數(shù)的乘除運算必備知識·自主學習1.復數(shù)乘法的運算法則和運算律(1)復數(shù)乘法的運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù),則z1z2=(a+bi)(c+di)=_________________.導思1.兩個復數(shù)怎樣進行乘法運算?2.兩個復數(shù)能直接進行除法運算嗎?(ac-bd)+(ad+bc)i(2)復數(shù)乘法的運算律對任意復數(shù)z1,z2,z3∈C,有交換律z1z2=____結(jié)合律(z1z2)z3=________乘法對加法的分配律z1(z2+z3)=________z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3(3)復數(shù)的乘方復數(shù)的乘方是相同復數(shù)的積,即對任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,則有:zmzn=zm+n,（zm）n

=zmn,

.【思考】復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算有什么關(guān)系?提示:復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似,只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1,并且把實部和虛部分別合并即可.2.復數(shù)除法的運算法則(1)共軛復數(shù)的概念如果兩個復數(shù)滿足實部_____,虛部互為_______,那么稱這兩個復數(shù)為共軛復數(shù),z的共軛復數(shù)用__表示.即z=a+bi,則

=_____.相等相反數(shù)a-bi(2)復數(shù)除法運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),則

(c+di≠0).(3)本質(zhì):復數(shù)的除法,其實質(zhì)是分母實數(shù)化,即把分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù).(4)應(yīng)用:共軛復數(shù)的主要應(yīng)用是將復數(shù)的除法化為乘法運算,也可以單獨命題考查.【思考】兩個共軛復數(shù)的和一定是實數(shù)嗎?兩個共軛復數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎?提示:若z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,則z+

=2a∈R.因此,和一定是實數(shù);而z-

=2bi.當b=0時,兩共軛復數(shù)的差是實數(shù),而當b≠0時,兩共軛復數(shù)的差是純虛數(shù).n(n∈N*)的周期性計算復數(shù)的乘方要用到虛數(shù)單位i的乘方,in(n∈N*)有如下性質(zhì):i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,從而對于任何n∈N*,有i4n=1,i4n+1=i,同理可證i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.上述公式中,說明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4,n可以推廣到整數(shù)集.注意:4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期,顯然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*),因為in(n∈N*)具有周期性,解題時要靈活運用或適當變形,創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為i的計算,一般地,有(1±i)2=±2i,

【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)是它們的模相等的必要條件. ()(2)若z1,z2∈C,且

=0,則z1=z2=0. ()(3)復數(shù)加減乘除的混合運算法則是先乘除,后加減. ()提示:(1)×.兩個復數(shù)為共軛復數(shù),則它們的模相等;但是兩個復數(shù)的模相等,復數(shù)不一定是共軛復數(shù),如z1=3+4i,z2=4+3i.(2)×.例如當z1=1,z2=i時,

=0,但z1≠0,z2≠0.(3)√.復數(shù)的運算法則和實數(shù)一樣,都是先乘除,后加減.2.(2020·江蘇高考)已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)z=(1+i)(2-i)的實部是________.

【解析】z=(1+i)(2-i)

=3+i,則實部為3.答案:33.(教材二次開發(fā):例題改編)(2-i)÷i=________.

【解析】(2-i)÷i=

=-1-2i.答案:-1-2i關(guān)鍵能力·合作學習類型一復數(shù)的乘法運算(數(shù)學運算)【題組訓練】1.(2019·北京高考)已知復數(shù)z=2+i,則z·

= ()A.

B.

2.(1-i)

(1+i)= ()A.1+

i B.-1+

iC.

+i3.(2020·上海高一檢測)已知復數(shù)(a+3i)(1+2i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________.

【解析】1.選·

=(2+i)(2-i)=4-i2=5.2.選B.(1-i)

(1+i)=(1-i)(1+i)

=(1-i2)=2

=-1+

i.3.復數(shù)(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是純虛數(shù),則a-6=0,3+2a≠0,解得a=6.答案:6【解題策略】復數(shù)乘法運算法則的應(yīng)用(1)復數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行運算,注意選用合適的乘法公式進行簡便運算.(2)常用公式:(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)(1±i)2=±2i.【補償訓練】計算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i).【解析】(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.類型二復數(shù)的除法運算(數(shù)學運算)【典例】(2020·青島高二檢測)已知復數(shù)

(1)求z的共軛復數(shù)

;(2)若az+b=1-i,求實數(shù)a,b的值.【解題策略】兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟(1)首先將除式寫成分式;(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù);(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.【跟蹤訓練】(2020·哈爾濱高二檢測)計算下列各式:(1)

(2)

【解析】(1)

(2)

【拓展延伸】ω的性質(zhì)由方程x3-1=0,得x1=1,

,取ω1=

,ω2=

,則具有如下關(guān)系:(1)

(2)1+ω1+ω2=0;(3)

(4)(5)ω1·ω2=1,

(6)ω3n=1,ω3n+1=ω,ω3n+2=ω2.同樣地,ω具有周期性,解題時靈活運算,適當變形,巧用ω的性質(zhì),從而達到事半功倍的效果.【拓展訓練】(2020·上海高二檢測)已知ω=-

+

i(i為虛數(shù)單位),求:(1)

(2)(3)類比i(i2=-1),探討ω(ω3=1,ω為虛數(shù))的性質(zhì),求ωn

(n∈R)的值.【解析】(1)因為ω=-+i,所以ω2=--i=,ω3=1,ω2+ω+1=0,ω·=1,所以=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2+5ω+8=3.(2)

(3)由(1)可知ω2=--i=,ω3=1,所以ωn=類型三復數(shù)乘、除運算的綜合應(yīng)用(數(shù)學運算、邏輯推理)

角度1i的乘方的周期性及應(yīng)用

【典例】計算i1+i2+i3+…+i2020=________.

【思路導引】先利用復數(shù)的運算計算i1+i2+i3+i4的值,再根據(jù)周期性,計算i1+i2+i3+…+i2020的值.【解析】因為i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i1+i2+i3+i4=0,所以in+in+1+in+2+in+3

=0(n∈N*),所以i1+i2+i3+…+i2020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)=0.答案:0【變式探究】本例改為計算“

的結(jié)果”.【解析】

=(1+2i-i)2-i10=(1+i)2-i10=1+2i.角度2共軛復數(shù)的應(yīng)用

【典例】已知z∈C,

為z的共軛復數(shù),若z·

-3i

=1+3i,求z.【思路導引】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi;代入所給等式,利用復數(shù)的運算及復數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組求解.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi(a,b∈R),由題意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,則有

解得

或所以z=-1或z=-1+3i.【解題策略】 共軛復數(shù)的求解與應(yīng)用(1)若復數(shù)z的代數(shù)形式已知,則根據(jù)共軛復數(shù)的定義可以寫出

,再進行復數(shù)的四則運算.(2)若已知關(guān)于z和

的方程,而復數(shù)z的代數(shù)形式未知,求z,解此類題的常規(guī)思路為設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,代入所給等式,利用復數(shù)相等的充要條件,轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.【題組訓練】1.復數(shù)z=

,則ω=z2+z4+z6+z8+z10的值為 ()A.1 B.-1 【解析】選2==-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1.2.(2019·全國Ⅱ卷)設(shè)z=i(2+i),則

= ()【解析】選D.由z=i(2+i)=-1+2i,得

=-1-2i.3.(2020·蚌埠高二檢測)計算

(i是虛數(shù)單位).【解析】=i1008+i6=1-1=0.備選類型復數(shù)乘、除運算與其他知識的結(jié)合(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例】(2020·新泰高二檢測)已知復數(shù)z=1-2i(i為虛數(shù)單位).(1)若z·z0=2z+z0,求復數(shù)z0的共軛復數(shù);(2)若z是關(guān)于x的方程x2-mx+5=0一個虛根,求實數(shù)m的值.【思路導引】(1)因為z·z0=2z+z0,所以

,求出z0,即可得到z0的共軛復數(shù);(2)將z=1-2i代入方程x2-mx+5=0,根據(jù)復數(shù)相等可求出實數(shù)m的值.【解析】(1)因為z·z0=2z+z0,所以=所以復數(shù)z0的共軛復數(shù)為2-i.(2)因為z是關(guān)于x的方程x2-mx+5=0的一個虛根,所以(1－2i)2-m(1－2i)+5=0即(2-m)+(2m-4)i=0.又因為m是實數(shù),所以m=2.【解題策略】利用復數(shù)的乘除運算求解與復數(shù)概念相關(guān)問題的技巧復數(shù)乘除運算可以結(jié)合方程、集合等知識綜合考查,其關(guān)鍵就是復數(shù)的運算.利用復數(shù)的乘除運算求解與復數(shù)概念相關(guān)問題,比如復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模及共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部、虛部有關(guān),所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時,需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解.【跟蹤訓練】(2020·濟南高二檢測)若

(n=1,2,3,4),則

的所有取值構(gòu)成的集合為________.

【解析】因為f(n)=

=in+(-i)n=in[1+(-1)n],所以當n=1,3時f(n)=0;當n=2時,f(2)=i2[1+(-1)2]=-2;當n=4時,f(4)=i4[1+(-1)4]=2;故f(n)的所有取值構(gòu)成的集合為{-2,0,2}.答案:{-2,0,2}1.已知i是虛數(shù)單位,則(-1+i)(2-i)= ()A.-3