高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第1頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第1頁。第一篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明要點(diǎn)重溫之不等式的性質(zhì)與證明1．在不等式兩邊非負(fù)的條件下能同時平方或開方，具體的：當(dāng)a>0,b>0時，a>ban>bn；2222當(dāng)a<0,b<0時，a>bab|a|>|b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數(shù)，但不等號的方向要改變，如：由01x<2推得的應(yīng)該是：x>或x<0，而由1x>2推得的應(yīng)該是：（別漏了“013f(x)1f(x)3[舉例]若f(x)=2x,則g(x)為。的值域為；h(x)1的值域解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒數(shù)”求：3-f(x)<3，分兩段取倒數(shù)即0<3-f(x)<3得13f(x)3>或3-f(x)<0得13f(x)<0,∴g(x)∈(-,0)∪（1a1b13,+)；f(x)+3>30<1f(x)3<1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第2頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第2頁。baab[鞏固1]若0，則下列不等式①abab；②|a||b;|③ab；④2中，正確的不等式有A．1個B．2個C．3個D．4個（）[鞏固2]下列命題：①若a>b,則ac2>bc2；②若ac2>bc2,則a>b；③若a>b,c>d則a-d>b-c；④若a>b,則a>b；⑤若a>b,則lg(a21)lg(b21),⑥若aab>b；⑦若a|b|；⑧若aa>b>0,則acabcbbaab2；⑨若a>b且1a1b,則a>0,b<0；；其中正確的命題是。[遷移]若a>b>c且a+b+c=0，則：①a>ab，②b>bc，③bccaba的取值范圍是：(-12,1)，的取值范圍是：（-2，-12）。上述結(jié)論中正確的是。2．同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時要求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第3頁。[舉例]已知函數(shù)f(x)ax高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第3頁。解析：解決本題的一個經(jīng)典錯誤如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3②由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：113≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：163≤9a+c≤13⑦，即163≤f(3)≤13。錯誤的原因在于：當(dāng)且僅當(dāng)1=－a－c且2=4a+c時⑤式中的1=a成立，此時，a=1，c=－2；當(dāng)且僅當(dāng)－4a－4c=8且4a+c=3時⑥式中的可見⑤⑥兩式不可能同時成立，所以⑦中的正解是待定系數(shù)得f(3)=∴7≤f(3)≤343163113=c成立，此時，a=53，c=113；=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤103；163≤高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第4頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第4頁。。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯解分析知：當(dāng)a=1，53c=－2時，不等式c=113≤f(1)和163≤f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當(dāng)a=34353，時，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這個解法是沒有問題的?？梢?，在求變量范圍時也并非絕對不能用“同向不等式相加”，只要“等號”能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時“接近”。注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標(biāo)函數(shù)f(3)的最大、最小值。[鞏固]設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則的最大值是：A．(ab)cB．a(chǎn)bcax+byC．a(chǎn)2bcD．(ab)3．關(guān)注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy≥0|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第5頁。|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第5頁。[舉例1]若m>0,則|x-a|C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件。解析：|x-a|m,∴|x-a|解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0log2x>0x>1∴不等式的解集為（1，+)。[鞏固1]a,b都是非零實(shí)數(shù)，下列四個條件：①|(zhì)a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|；④||a|-|b||<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價的條件是：（填條件序號）。[鞏固2]方程|x2xx1|=|x2|+|xx1|的解集是。2abab4．若a、b∈R，則+ab≥ab2≥ab≥；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立；其中包含常用不等式：ab≥ab2(ab)；(ab)（1a1b)≥4以及基本不等式：ab2高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第6頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第6頁。若：a、b∈R，則a2b2≥2ab；用基本不等式求最值時要關(guān)注變量的符號、放縮后是否為定值、等號能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。[舉例1]若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x+y-4x-2y-8=0的周長，則值為。解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，∴a+b=1,1a2baba2a2bbba2ab21a2b的最小=3322,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立。[舉例2]正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3ab-2ab-3≥0等號成立。a+b=ab-3≤（ab≥3ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時ab2)-3(ab)4(ab)120a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立。注：該方法的實(shí)質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。[鞏固1]在等式119中填上兩個自然數(shù)，使它們的和最小。[鞏固2]某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的年增長率為a，第三年的年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則A．xab2高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第7頁。a高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第7頁。ab2（）ab2B．xC．xD．x[遷移]甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時到教室D．不能確定誰先到教室5．比較大小的方法有：①比差：判斷“差”的正負(fù)，因式分解往往是關(guān)鍵；②比商：判斷“商”與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；③變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變量，常見的有0，1等；⑤數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。[舉例1]已知ab0且ab1，若0c1,plogp、q的大小關(guān)系是（）abc2,qlogc（1ab),則A．pq解析：記x=ab2B．pqC．pqD．pq,y=（1ab)2,直接比較x、y的大小將大費(fèi)周章，但：x>2ab2=1,y=1ab2ab1ab2x高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第8頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第8頁。12ab2=4，∴x>y，又0[舉例2]x0是x的方程a=logax(0如右，它們的交點(diǎn)為P（x0，y0）,易見x0<1,y0<1，而y0=ax=logax0即logax0<1,又0a,即aln22ln33ln552a2、、,q=2a4a2[鞏固2]設(shè)a>2，p=aA．p>qB．pq與p=q都有可能D．p>q與p[遷移]設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②當(dāng)x>0時,f(x)>1；判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性。6．放縮法的方法有：①添加或舍去一些項，如：a1a；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：lg3lg5（lg3lg5)（lg）(lg)lg4；n(n1)n(n1)等；④利用常用結(jié)論：下列各式中kN（Ⅰ）kk(k1)k1（Ⅱ）k1k1k11k高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第9頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第9頁。112k1k；（Ⅲ）1k!k(k1)k11k(k1)1k111k(k2)；k(k1)1k1(Ⅳ)1kk11(k1)(k1)2k1(a1k1(k2)；b高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第10頁。c1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第10頁。[舉例]已知a、b、c是⊿ABC的三邊長，A=1a1b,B=,則：A．A>B,B．Ac1c=11c1<11ab1=ab1ab=a1abb1aba1ab1b=A[鞏固]若n∈N﹡,求證：(n1)1(n1)n1n[遷移]已知an=2n-1,數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn=對一切自然數(shù)n，恒有Tn<2。簡答1Sn,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：1．[鞏固1]B，[鞏固2]②③④⑥⑦⑨⑩；[遷移]①③④⑤；2、[鞏固]A；3、[鞏固1]①④，[鞏固2]（-1，0]∪[2,+);4、[鞏固1]4，12；[鞏固2]B，[遷移]B；高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第11頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第11頁。ln55<ln22<ln55,[鞏固2]A，[遷移]遞增；6、[鞏固]有理化，[遷移]放縮：1n(n1),(n2)。第二篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：不等式的證明及應(yīng)用不等式的證明及應(yīng)用知識要點(diǎn)：1．不等式證明的基本方法：ab0ab（1）比較法：ab0abab0ab用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。（2）綜合法：利用題設(shè)、不等式的性質(zhì)和某些已經(jīng)證明的基本不等式（a2|aa0;a2b22ab;a3b3c33abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч奔磸囊粋€（一組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出所要求證的不等式。（3）分析法：“執(zhí)果索因”從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。2．不等式證明的其它方法：（1）反證法：理論依據(jù)AB與BA等價。先否定命題結(jié)論，提出假設(shè)，由高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第12頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第12頁。（2）放縮法：理論依據(jù)a>b,b>ca>cB（3）函數(shù)單調(diào)性法。3．?dāng)?shù)（式）大小的比較：（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數(shù)單調(diào)性法4．不等式在函數(shù)中的應(yīng)用：（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的值域（3）研究函數(shù)的單調(diào)性5．基本不等式法求最值：（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數(shù)，等號可取。（2）絕對值不等式|a||b||ab||a||b|的應(yīng)用。其中|ab||a||b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba|+|b|取等號的條件是ab。6．方程與不等式解的討論（1）一元二次方程ax2a0,b2bxc0有嚴(yán)格的順序性：及x1,2b2a4ac0,bx1x2acxx12a。（2）函數(shù)與不等式：利用函數(shù)圖象找出等價關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式問題去解決。第三篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)_第六章不等式高中數(shù)學(xué)第六章-不等式考試內(nèi)容：不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．考試要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．（2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．（4）掌握簡單不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第13頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第13頁。1.不等式的基本概念（1）不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)（1）abba（對稱性）（2）ab,bcac（傳遞性）（3）abacbc（加法單調(diào)性）（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0a(nZ,且n1)（開方法則）3.幾個重要不等式（1）若aR,則|a|0,a20（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么ab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時，S的值最??；○2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,則abca=b=c時取等號）3ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第14頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第14頁。(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么11abab（當(dāng)僅當(dāng)2a=b時取等號）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：2222abababab22特別地，ab(（當(dāng)a=b時，())ab）2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1nn1)（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa123n時取等號b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第15頁。1g(x)0定義域f(x)g(x)f(x)0高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第15頁?！?f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對值不等式1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化○g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)1234②yx(1x)y()y223272類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號，故取等)222xxx第四篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法本科生畢業(yè)設(shè)計（論文中學(xué)證明不等式的常用方法所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名：張俊學(xué)號：1010510020指導(dǎo)教師：曹衛(wèi)東完成日期：2014年04月15日）高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第16頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第16頁。本文主要是對高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞:不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)ABSTRACTThispaperismainlyonthehighschoolstagetheinequalityproofmethodandsummarized.Theinequalityproofmethodsvaried,includingcomparison,analysis,synthesis,reductiontoabsurdity,mathematicalinduction,scalingandothercommonmethods,andsomestudentsarenotfamiliarwithbutalsothemethodsused,suchasconstructionmethod,vectormethod,derivationmethod,methodandsoon.Keywords:Theinequalityproof;function;extremevalue;derivative目錄1.構(gòu)造函數(shù)法·········································11.1移項法構(gòu)造函數(shù)·································11.2作差法構(gòu)造函數(shù)·····························21.3換元法構(gòu)造函數(shù)·····························21.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)······················31.5主元法構(gòu)造函數(shù)··································31.6構(gòu)造形似函數(shù)····································42.比較法·············································42.1作差比較法······································42.2作商比較法······································53.放縮法············································54.判別式法············································65.反證法············································76.向量法···········································87.不等式證明的具體應(yīng)用································9參考文獻(xiàn)··············································11江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第17頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第17頁。1.1移項法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)ln(x1)x,求證：當(dāng)x1時,恒有11ln(x1)x.x1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)11,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)ln(x1)x1證:先證左邊,令g(x)ln(x1)111x1,則g(x)x1x1(x1)2(x1)2當(dāng)x(1,0)時,g(x)0;當(dāng)x(0,)時,g(x)0,即g(x)在x(1,0)上為減函數(shù),在x(0,)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(1,)上的最小值為g(x)ming(0)0,∴當(dāng)x1時,g(x)g(0)0,即ln(x1)110x1∴l(xiāng)n(x1)1再證右邊,f(x)1(左邊得證).x11x1x1x1∴當(dāng)1x0時,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上為增函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)0,即f(x)在x(0,)上為減函數(shù),于是函數(shù)f(x)在(1,)上的最大值為f(x)maxf(0)0,1江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）因此,當(dāng)x1時f(x)f(0)0,即ln(x1)x0∴l(xiāng)n(x1)x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x1時,有11ln(x1)xx1【啟迪】:如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)f(a)（或f(x)f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證．1.2作差法構(gòu)造函數(shù)【例2】當(dāng)x(0,1)時,證明:(1x)ln(1x)x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個函數(shù)變?yōu)橐粋€函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)(1x)ln(1x)x,易得f(0)0，221x)2x,當(dāng)x0時,f'(x)0高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第18頁。而f'(x)ln(1x)2ln(又得,f''(x)22ln(1x)222[ln(1x)x]，1x1x1x當(dāng)x(0,1)時,f''(x)高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第18頁?！鄁'(x)在x(0,1)上遞減,即f'(x)f'(0)0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)0,從而原不等式得證.【啟迪】:本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)122xxyy3.1xy2【例3】已知,求證:222分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)xy經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因為1其中12x2y22,所以可設(shè)xrcos,yrsin，22r22,02.1212∴xxyyrrsin2r(1sin2)江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）1sin2,222121322r(1sin2)rr22232121而r3,r222122xxyy3.2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)【例4】若函數(shù)yf(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，(x)f(x)此時可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xfF(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)af(a)bf(b)0ab,得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)【例5】設(shè)a,b,c,dR,且滿足(abc)求證:abbcca22(a2b2c2)4d，3d高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第19頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第19頁。不等式入手,對其進(jìn)行變換.證:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡,得一元二次不等式2(bc)a(bc)24d022xaf(x)x2(bc)x(bc)4d用替換,構(gòu)造一個函數(shù)a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當(dāng)xa時,f(a)0.224(bc)4[(bc)4d]0其判別式江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）d.同理把b,c看成未知量,可得cad,abd疊加可得abbcca3d.化簡,得bc【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)【例6】當(dāng)abe時,證明ab.分析:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0,也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)blnxxlnb,然后只需要證明證:要證ab,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.blnbxblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)blnxxlnb(xbe),則f(x)be,xblnb1,b1f(x)0xf(x)在(e,)上單調(diào)遞減.abf(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb0ba即blnaalnbab.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性來證明簡單不等式.2.比較法2.1作差比較法【例1】若0x1,證明loga(1x)loga(1x),(a0,a1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮問題.證:(1)當(dāng)0a1時,01x1,11x2高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第20頁。loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第20頁。0x1,01x1loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時,01x1,11x2loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)0x1,01x122222江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）loga(1x)0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1x)loga(1x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數(shù)式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法【例2】設(shè)a,bR,且a0,b0,求證(ab)ab22aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商,判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:ab0,(ab)abab20,將不等式兩邊相除，ba2baa()2baabb得(ab)ab2aab2bbaa21.當(dāng)ab時,()baab10,當(dāng)0ba時，b2baaa02()()1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaaa0aab2()()1.10當(dāng)0ab時，,同理可得bbb2綜上所述,對于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)ab2aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法2n1an(nN)【例1】已知數(shù)列an的前n項和為sn12(1)設(shè)xn(2n1)sn,求證:數(shù)列xn為等差數(shù)列.11115..........(2)當(dāng)n2時,2.222xnxnxx321n22n分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n1(snsn1)證:(1)當(dāng)n2時,sn12江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）化簡,得(2n1)sn2(2n1)sn1由已知條件得xn其通項公式為xnxn是以首項為x1xn12,高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第21頁。即xnxn1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第21頁。2公差d2的等差數(shù)列，2n.1111..........(2)2222xnxnxx1n22n11111......][22224n(n1)(n2)(2n)11111......][4n(n1)n(n1)(n1)(n2)(2n1)(2n)1111111[()()()......4n1nnn1n1n2111111n1()]()()2n12n4n12n42n(n1)1n142(n1)26(n1)411442(n1)6n14令f(n)2(n1),當(dāng)n2時,f(n)的值隨著n的增大而增n1大,f(n)f(2),111136即444f(2)616322(n1)6n1111152.222..........xnxn1xn2x2n32【啟迪】:采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法較多.4.判別式法7【例1】已知xyz5,xyz9,求證x,y,z都屬于1,3222江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根、有兩個相等實(shí)根、沒有實(shí)根的充要條件是:b記4ac0、b24ac0、b24ac0．b24ac,稱其為方程是否有實(shí)根的判別式.同時也是與方程對應(yīng)的函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z5xyxyz9中證:有條件可得,代入化簡可得:x2(y5)xy25y80xR,且方程有解,根的判別式b24ac02277y1,.即(y5)4(y5y8)0,解得1y,即3377同理,替換x,y可得z1,,x1,.33得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個未知量,其實(shí)只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第22頁。用根的判別式來確定范圍.5.反證法【例1】設(shè)0a,b,c1,求證:(1a)b,(1b)c,(1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第22頁。盾.證:假設(shè)(1a)b,(1b)c,(1c)a三個數(shù)都大于,則有(1a)b111,(1b)c,(1c)a444又0a1,0b1,0c1111(1a)b,(1b)c,(1c)a.2227江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）(1a)b(1b)c(1c)a2ab1abab(1a)b又由基本不等式得，221bc1ca(1b)c,(1c)a,把上面三個式子相加得(1a)b(1b)c(1c)a32顯然與相矛盾,所以假設(shè)不成立.(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法,反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法a2b2c212.【例1】設(shè)a1,b1,c1,證明:b1c1a1分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法向量法,構(gòu)造兩個向量.利用向量的知識進(jìn)行解決.m證:設(shè)(a2b2c2，),n(b1,c1,a1)b1c1a1m則na2b2c2b1c1a1b1c1a1abc222abcabc3cosb1c1a1a2b2c2abc3b1c1a1a2b2c2abcb1c1a1abc33abc3abc323江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）a1,b1,c1.a2b2c212.兩邊同時平方可得b1c1a1得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用1125【例1】已知a0,b0,且ab1,求證(a)(b)ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第23頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第23頁。1125(a)(b)要證，ab4222只要證4ab4ab25ab40，即證4ab233ab80，1ab或ab8.即因為a0,b0,ab1,所以ab8不成立.1ab又因為1ab2ab,所以.得證.解法二:作差比較法ab1,a0,b0ab2ab,ab41125a21b2125(a)(b)ab4ab44a2b233ab8(14ab)(8ab)04ab4ab1125(a)(b).ab4解法三:三角代換法ab1,a0,b0江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）故設(shè)asin,bcos,0,21122)(cos)則原式(sin22sincossin4cos42sin2cos224sin22(4sin2)21624sin222sin214sin2413.1122.(4sin2)1625,24sin241125(a)(b).ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進(jìn)行一步步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)橐坏肋\(yùn)算式,這樣就把問題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第24頁。號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如ab1,a2b2高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第24頁。角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對式子進(jìn)行更好的化簡.并且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均可采用,根據(jù)學(xué)生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）參考文獻(xiàn)[1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55[2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學(xué)版[J],2009:55～57[3]曹軍芳.高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學(xué)院報[A],2014(1):220～221[4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學(xué)院報,1995(3):31～33[5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學(xué)報,1999(4):101～103[6]徐志科.王彥博.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法.自然科學(xué)版[A],2013(7):7～8[7]李天榮.曹玉秀.中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法.臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2013(2):88～90[8]嚴(yán)萬金.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明的常見技巧及方法策略.數(shù)學(xué)教育[A],2012(2):64[9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學(xué)習(xí)[J],2012:72～73[10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J],2012(8):28～30[11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61[12]孫桂枝.不等式證明方法集萃.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J],2012:81～82[13]甘志國.例談常用方法證明不等式.理科考高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第25頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第25頁。[A],2012(4):108～109第五篇：數(shù)學(xué)教案【不等式的性質(zhì)及證明】一、教學(xué)內(nèi)容：不等式性質(zhì)及證明．二、教學(xué)目標(biāo)：1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景．2.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式證明的基本方法．三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.了解不等式的有關(guān)概念及其分類，掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，明確各個性質(zhì)中結(jié)論成立的前提條件．2.利用不等式性質(zhì)的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理及證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力．四、教學(xué)過程：（一）知識要點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實(shí)數(shù)a、b，都有abab0；abab0；abab0．（2）比較兩實(shí)數(shù)a、b大小的方法——求差比較法，即通過判斷它們的差ab的符號來判斷a、b的大?。?、不等式的性質(zhì)定理定理1：若ab，則ba；若ba，則ab．即abba．說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性．定理2：若ab，且bc，則ac．說明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性．定理3：若ab，則acbc．說明：①不等式的兩邊都加上同一個實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；②定理3的證明相當(dāng)于比較ac與bc的大小，采用的是求高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第26頁。高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第26頁。④不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊．定理3推論：若ab，且cd，則acbd．說明：①推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；②這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；③同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式．定理4：如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc．推論1：如果ab0且cd0，那么acbd．說明：①不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變；②兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；③推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘．這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向．nn推論2：如果ab0，那么ab(nN且n1)．定理5：如果ab0，那么nanb(nN且n1)．例題1對于實(shí)數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假．（1）若ab，則acbc；（2）若ab，則acbc；（3）若acbc，則ab；（4）若ab0，則aabb；（5）若ab0，則22222211ba；（6）若ab0，則．a(chǎn)babcc．a(chǎn)b◆應(yīng)用Ⅰ證明簡單的不等式例題2.1已知ab0，c0，求證：應(yīng)用練習(xí)設(shè)a、b是非零實(shí)數(shù)；若ab，則下列不等式成立的是（）A.abB.ababC.◆應(yīng)用Ⅱ判斷命題的真假高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)-不等式的性質(zhì)與證明全文共29頁，當(dāng)前為第27頁。例題2.2對于任意實(shí)數(shù)a、b、c，在下列命題中，真命題是（）A.“acbc”是“ab”的必要條件B.“acbc”是“ab”的必要條件