數(shù)字信號(hào)處理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)字信號(hào)處理學(xué)問點(diǎn)總結(jié)《數(shù)字信號(hào)處理》輔導(dǎo)一、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的時(shí)域分析〔一〕離散時(shí)間信號(hào)根本概念信號(hào)：信號(hào)傳遞信息的函數(shù)也是獨(dú)立變量的函數(shù)，這個(gè)變量可以是時(shí)間、空間位置等。連續(xù)信號(hào)：在某個(gè)時(shí)間區(qū)間，除有限連續(xù)點(diǎn)外全部瞬時(shí)均有確定值。模擬信號(hào)：是連續(xù)信號(hào)的特例。時(shí)間和幅度均連續(xù)。離散信號(hào)：時(shí)間上不連續(xù)，幅度連續(xù)。常見離散信號(hào)——序列。數(shù)字信號(hào)：幅度量化，時(shí)間和幅度均不連續(xù)。根本序列〔課本第7——10頁〕1, n0單位脈沖序列(n0, n01, 0nN1

單位階躍序列 u(n)1, n00, 0, 矩形序列RN

(n) 4〕實(shí)指數(shù)序列 anu(n)0, n0,nN5〕正弦序列x(nAsin(0

n) 6〕復(fù)指數(shù)序列 x(n)ejnen周期序列x(n)Nx(n)x(nN),nx(n)x(n)N為其周期。留意正弦周期序列周期性的判定〔課本第10頁〕周期序列的表示方法：a.主值區(qū)間表示法b.N表示法3〕周期延拓x(n)N點(diǎn)非周期序列，以周期序列Lx(n)無限次移位相加，即可得到x(n，即當(dāng)LN 時(shí)，x(n)x(n)RN

x(n)(n)

i

x(niL)

當(dāng)LN 時(shí)，x(n)x(n)RN

(n)〔4〕序列的分解序列共軛對(duì)稱分解定理：對(duì)于任意給定的整數(shù)M，任何序列x(n)都可以分解成關(guān)于cM/2xe

(nxo

(n)之和，即x(n)xe并且1

(n)xo

(n),n1x(n) [x(n)x(Mn)]e 2

x(n) [x(n)x(Mn)]o 2序列的運(yùn)算根本運(yùn)算運(yùn)算運(yùn)算性質(zhì)描述序列相乘y(n)x(n)x(n)y(n)ax(n)1 2序列相加y(n)x(n)x(n)1 2序列翻轉(zhuǎn)y(n)x(n)〔將以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)〕x(n)尺度變換y(n)x(mn)〔序列x(n)m-1成的序列〕用單位脈x(n) x(i)(ni)i沖序列表示線性卷積：x(nymx(n)對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘求和——翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和定義式： y(n)線性卷積的計(jì)算：A、圖解B、解析法

m

x(m)x(nm)x(n)x(n)1 2 1 2C、不進(jìn)位乘法〔必需把握〕3〕單位復(fù)指數(shù)序列求和〔必需把握〕N1

1ejN ejN/2(ejN/2ejN/2) ejN/2(ejN/2ejN/2)/(2j)en0

jn 1ej

ej/2(ej/2

ej/2) ej/2(ej/2

ej/2)/(2j)sin(N/2)ej(N1)/2 sin(/2)假設(shè)2k/N，那么依據(jù)洛比達(dá)法則有sin(N/2)N(0)(k0)(或N(N)(kN))sin(/2)可以結(jié)合作業(yè)題3.22進(jìn)展練習(xí)序列的功率和能量E

n

|x(n)|2功率：Plim

N |x(n)2N2N1

nN相關(guān)函數(shù)——與隨機(jī)信號(hào)的定義運(yùn)算一樣〔二〕離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)性質(zhì)線性性質(zhì)定義：設(shè)系統(tǒng)的輸入分別為x1

(nx2

(n)y1

(ny2

(n)，即y(n)T[x1 1

(n)],y2

(n)T[x2

(n)]、統(tǒng)的輸對(duì)于任意給定的常數(shù)a b，下式成立y(n)T[ax1

(n)bx2

(n)by1

(n)則該系統(tǒng)聽從線性疊加原理，為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。判定系統(tǒng)的線性性質(zhì)時(shí)，直接用定義時(shí)不變性質(zhì)統(tǒng)的假設(shè)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化，則稱該i，假設(shè)下式成立：y(ni)T[x(ni)]則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，否則為時(shí)變系統(tǒng)。判定系統(tǒng)的時(shí)不變性質(zhì)時(shí)，直接用定義系統(tǒng)的因果性定義：假設(shè)系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出序列只取決于n時(shí)刻及以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，即系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，否則是非因果系統(tǒng)。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件是：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足h(n)0,n0系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：對(duì)任意有界的輸入，系統(tǒng)的輸出都有界，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件是：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足絕對(duì)可和，即i

|h(i)|對(duì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的描述〔1〕時(shí)域：差分方程〔2〕ZH(z)信號(hào)過系統(tǒng)y(n)h(n)x(n)用線性卷積的相關(guān)學(xué)問計(jì)算，信號(hào)系統(tǒng)學(xué)的根本性質(zhì)可以套用二、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析〔一〕離散時(shí)間信號(hào)1．序列傅里葉變換〔SequenceFourierTransform〔的傅里葉變換〕〔1〕定義序列乘以序列乘以nSFT[nx(n)]j[dX(ej)/d]〔3〕根本序列的傅里葉變換序列序列(n)1傅里葉變換1R(n)N2()ej(N1)/2sin(N)/sin()22anu(n)(|a|1)0cosn(2/為有理數(shù))00(1aej)12()0[()()]0 0sinn(2/為有理數(shù))0 0j[()()]0 0(1ej)1()u(n)2．Z變換〔不生疏的復(fù)習(xí)信號(hào)系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容，或本書2.3相關(guān)內(nèi)容〕〔1〕定義ZT：X(z)ZT[x(n)]

n

x(n)zn Rx

|z|RxIZT：x(n)IZT[X(z)]〔2〕492.3.3

R |z|R12j12j X(z)zn1dzc〔3〕Z452.3.12.3.23.ZSFT的關(guān)系Z變換是由SFTZ變換的收斂域包括zej，ZTSFT。即X(z)|

n

x(n)ejnX(ej)上式說明，SFTZTzej的值〔二〕離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)樾∮趩挝粓A的某個(gè)圓的園外時(shí)，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，則H(z)的極點(diǎn)必定在單位圓內(nèi)。3.系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的影響在這四周消滅峰值。極點(diǎn)越靠近單位圓，振幅特性的峰值越大，當(dāng)極點(diǎn)消滅在單位圓上時(shí)，振幅特性將消滅無窮大，系統(tǒng)不穩(wěn)定。谷點(diǎn)。當(dāng)零點(diǎn)消滅在單位圓上時(shí)，振幅特性為零。零點(diǎn)可以位于單位圓外，不影響穩(wěn)定性。兩個(gè)概念——1、最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)H(z)的全部零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，某點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，系統(tǒng)的相位變化最小。2、最大相位系統(tǒng)：H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)的相位變化最大。低階系統(tǒng)有效?！踩场策B續(xù)〕時(shí)間信號(hào)1．時(shí)域關(guān)系設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa

(t)

，，離散時(shí)間信號(hào)x(n) 則，2．頻域關(guān)系

x(n)xa

(nT)xa

(t)|tnTX(ej

)| T

1Tm

X[j(m)]a ss

為周期進(jìn)展周期延拓。一個(gè)域的離散必定導(dǎo)致另一個(gè)域的周期延拓一個(gè)域的周期延拓必定導(dǎo)致另一個(gè)域的離散單位：rad單位：HzT由于s

，所以max

T2s三、離散傅里葉變換〔DFT〕〔一〕離散傅里葉級(jí)數(shù)變換〔DFST〕說明：周期序列不滿足確定可和的條件，不適用于序列傅里葉變換的定義式，但是它可以開放成離散傅里葉級(jí)數(shù)〔DiscreteFourierSeries，DFS離散傅里葉級(jí)數(shù)可以得到周期序列的離散傅里葉變換表示式。定義DFST：X(k)

Nn0

N

,kIDFST：x(n)

1N1X(kWnkN Nnkn0j2nk

,n2j nk注：1、周期單位復(fù)指數(shù)序列WnkeN

N ,WnkeNN周期單位復(fù)指數(shù)序列對(duì)n、k而言都是以N為周期的，即W(nN)kNWn(kN)NW(nkN)N

NNN

,n,k,n,k,n,k2、周期為Nx(n)可以分解成N個(gè)周期復(fù)指數(shù)序列的和，這些周期復(fù)指數(shù)序列的數(shù)字角頻率為散傅里葉級(jí)數(shù)X(k)打算。N

2k(k0,1,2,,N1)周，它們的幅度和相位由離N根本周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換時(shí)域序列時(shí)域序列離散傅里葉級(jí)數(shù)變換〔DFST〕(n)11N(k)eej2mnNN(km)cos(2mn/N)sin(2mn/N)N[(km)(km)]/2jN[(km)(km)]/2周期序列的離散傅里葉變換X(ej)

N

N可類比信號(hào)系統(tǒng)中周期信號(hào)的傅里葉變換，具體推導(dǎo)過程見課本76頁。〔二〕離散傅里葉變換〔DFT〕定義)

Nn0

N

,0kN1要點(diǎn)：

IDFT：x(n)

1N1X(kWnkN Nnkn0

,0nN1DFTSFT的等間隔采樣，即X(k)X(ej)|2kN

,0kN1變換區(qū)間：[0,N-1]，有限長(zhǎng)N點(diǎn)變換結(jié)果與序列長(zhǎng)度N有關(guān)當(dāng)N足夠大時(shí)，X(k)的包絡(luò)趨近于X(ej)曲線頻譜分析的意義：X(k)表示k

(2/N)k頻點(diǎn)的幅度譜線，假設(shè)x(n)是模擬信號(hào)的采樣，采樣間隔為T，T2f/T ，則k 與相應(yīng)的模擬頻率的關(guān)系為：2k N

k2f

T 即f kk k NT

對(duì)模擬頻率域而言，NDFT意味著頻域采樣間隔為1 Hz。所以用DFT進(jìn)展譜分析時(shí)，稱F 1 為頻率區(qū)分率。而NTNT NT表示時(shí)域采樣的區(qū)間長(zhǎng)度(即觀看時(shí)間或記錄長(zhǎng)度TP

NT)，明顯為了提高區(qū)分率就必需是記錄長(zhǎng)度足夠大。DFT的隱含周期性1〕DFTSFTX(ej以2為周期；2〕WkN

W(kmN)的周期性N時(shí)域抽樣，頻域周期延拓；頻域采樣，時(shí)域周期延拓N N頻域循環(huán)移位性質(zhì)NXN N頻域循環(huán)移位性質(zhì)NX((kl)) R(k)N N時(shí)域循環(huán)卷積Wnlx(n)Nx(n)x(n)X(k)X(k)1 2 1 2頻域循環(huán)卷積x(n)x(n)1 2N1X(k)X(k)1 2帕斯瓦爾定理N1|x(n)|21N1|X(k)|2n0Nk0性質(zhì)線性性質(zhì)時(shí)域〔x(n)、y(n)〕ax(n)bx(n)頻域〔X(k)、Y(k〕aX(k)bX(k)1 21 2時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)x((nm)) R(n)WkmX(k)復(fù)共軛序列的DFT共軛對(duì)稱性x(n)x (n)X*(Nk)X (k)epRx (n)opjX(k)Ix(n)RX (k)epjx(n)IX (k)op根本序列的離散傅里葉變換時(shí)域序列時(shí)域序列離散傅里葉級(jí)數(shù)變換〔DFST〕(n)1R(n)N2ejNmnR(n)Ncos(2mn/N)R(n)Nsin(2mn/N)R(n)NN(k)N(km)N[(km)(kNm)]/2jN[(km)(kNm)]/2頻域采樣定理x(n)X(ej，在區(qū)間[0,2X(ejN點(diǎn)等間隔采樣〔2/N〕X(kX(k對(duì)應(yīng)的IDFTxN則

(n)，x(n)N

x(nrN)這是由于，在頻域內(nèi)對(duì)X(ej)等間隔采樣，導(dǎo)致時(shí)域序列x(n)周期延拓，并且在區(qū)間[0,2X(k)IDFT是原序列以N為周期進(jìn)展周期延拓后的主值序列。假設(shè)序列的長(zhǎng)度為MNM時(shí)，才x(nx(nX(kX(ej。N〔三〕連續(xù)信號(hào)傅里葉變換CFT、序列傅里葉變換SFT散傅里葉級(jí)數(shù)變換〔DFST、離散傅里葉變換〔DFT〕的關(guān)系抽樣

周期延拓周期延拓tnTtnT

xaCFT

sSFT SFT

N取主值

DFT周期延拓卷積

周期延拓xNDFST抽樣X() ) )xNDFST抽樣

(k)

a/T

N N取主值s s各個(gè)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系：k:0N1k022k/N數(shù)字頻率F01k/N模擬頻率f0fkf/N

s2fs2fssN sT，T2f

T，2k/Ns s ss s編者按：為什么要有DFT？進(jìn)展處理，而計(jì)算機(jī)只能識(shí)別離散的值，所以需要對(duì)接收到的連續(xù)信號(hào)進(jìn)展采樣截短得到離散的序列。但是，一個(gè)域的離散必定導(dǎo)致另一個(gè)域的周期延拓，當(dāng)對(duì)時(shí)域的連續(xù)信號(hào)進(jìn)展采樣時(shí)，其頻譜必定進(jìn)展周期延拓，所以序列的傅里葉變換是連續(xù)周期的，這樣計(jì)算機(jī)就沒法對(duì)其頻譜進(jìn)展分析。這時(shí)，對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)展周期延拓，又會(huì)使其頻譜離散化。經(jīng)過兩個(gè)域的分別離散化和周期延拓，DFST的對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么，分別對(duì)兩個(gè)域取主值，就可得到適合計(jì)算機(jī)處理的時(shí)域和頻域序列。DFT〔一家之言，僅供參考〕〔四〕卷積的計(jì)算循環(huán)卷積與線性卷積〔有限長(zhǎng)序列的卷積〕設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為h(n)的長(zhǎng)度為yl

(n)，長(zhǎng)度為L(zhǎng) NM1；循環(huán)卷積結(jié)果為yg

L。則兩類卷積有如下對(duì)〔設(shè)NM〕LN時(shí)

y(n)y

(nN), 0nM2LL時(shí)g

y(n)lc

ly(n), M1nN1lNLL時(shí)g

y(n)y(n)c ly(n)y(nL),

L1y(n)lc

ly(n), Ll

gLnL1重疊保存法和重疊相加法〔無限長(zhǎng)序列得卷積〕重疊保存法根本思路：將兩個(gè)序列中長(zhǎng)度較長(zhǎng)或無限長(zhǎng)的序列均勻分段，計(jì)算各個(gè)有〔重疊的是卷積結(jié)果〕h(n)Mx(n)為無限長(zhǎng)序列，計(jì)算步驟：1〕x(nNx(n)k0

x(n)kx(n)x(n)R

x(n), kNn(k1)N1(nkN)k N

else計(jì)算每段子序列與短序列的線性卷積x(n)x(nkN)x(n與h(n)y(n)k k k k將各子序列線性卷積的結(jié)果移位后相加得總輸出yk重疊保存法

(n)y(nkN)，則y(n)kk0

y(n)k根本思路：將兩個(gè)序列中長(zhǎng)度較長(zhǎng)或無限長(zhǎng)的序列在時(shí)間上有重疊地分段，計(jì)算各個(gè)有限長(zhǎng)的子序列與另一短序列的線性卷積，最終保存每段結(jié)果中N〔重疊的是較長(zhǎng)的序列〕h(n)的長(zhǎng)度為Mx(n)為無限長(zhǎng)序列，1將x(n)〔每一段由kN向前重疊M-1個(gè)點(diǎn)N+M-1x(n), kNM1n(k1)N1x(n)k

else計(jì)算每段子序列與短序列