高中數(shù)學(xué)-絕對值三角不等式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo)：1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進行簡單的應(yīng)用。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學(xué)重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學(xué)難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1．請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。。幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。（2），（3），（4）那么二、講解新課：結(jié)論：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.）已知是實數(shù)，試證明：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.）方法一：證明:10.當(dāng)ab≥0時,20.當(dāng)ab<0時,綜合10,20知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方（略）定理1如果是實數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.）（1）若把換為向量情形又怎樣呢？根據(jù)定理1，有，就是，。所以，。定理（絕對值三角形不等式）如果是實數(shù)，則注：當(dāng)為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.推論1：推論2：如果是實數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋？（設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b，c，則線段當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）三、典型例題：例1、已知，求證證明（1），∴（2）由（1），（2）得：例2、已知求證：。證明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)四、課堂練習(xí)：1.(課本習(xí)題1.2第1題)求證:⑴;⑵2.(課本P19習(xí)題1.2第3題)求證:⑴;⑵3．（1）、已知求證：。（2）、已知求證：。五、課堂小結(jié)：1．實數(shù)的絕對值的意義:⑴;（定義）⑵的幾何意義:2．定理（絕對值三角形不等式）如果是實數(shù)，則注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題學(xué)情分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。學(xué)習(xí)本專題，學(xué)生已掌握的知識有：第一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組(1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。(3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題第二、高中必修5不等式內(nèi)容：(1)不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。(4)基本不等式及其應(yīng)用（求最值）。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容。回顧并重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系。效果分析在解絕對值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要讓同學(xué)們了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進行簡單的應(yīng)用。充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。同時要注意絕對值三角不等式的應(yīng)用，在教學(xué)過程中，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式，學(xué)習(xí)了本節(jié)后學(xué)生會簡單的應(yīng)用絕對值三角不等式進行證明，學(xué)習(xí)中可以有更多的方案解決這類問題。教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．整個專題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學(xué)設(shè)計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。第三四講高考無要求。觀評記錄一、利用已有知識，滲透類比思想本節(jié)課教學(xué)設(shè)計，充分尊重學(xué)生的已有經(jīng)驗，密切聯(lián)系了學(xué)生的已有的舊知識，巧妙地利用學(xué)生熟悉的等式的基本性質(zhì)，通過對等式基本性質(zhì)的復(fù)習(xí)，促使學(xué)生利用類比的思想，產(chǎn)生正向的知識遷移，使學(xué)生感覺到所學(xué)的新知識與以前所學(xué)的舊知識是有很大聯(lián)系的，兩者之間有很多相同點，更加深了他們對兩者之間的不同點的關(guān)注，這對于解決這節(jié)課的難點：不等式基本性質(zhì)3起到了潛移默化的作用，同時也增進學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感。二、巧妙引導(dǎo)，在探究中構(gòu)建新知本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計的核心部分就是對不等式基本性質(zhì)的探究，新課程理念下的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識的教育已經(jīng)不是教學(xué)的全部內(nèi)容了，如何在知識教育的同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察、探究、合作、歸納等方面的能力才是新課程改革的主導(dǎo)方向，這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計在這一方面做了良好的嘗試，不等式的基本性質(zhì)并不是老師直接給出或是由老師的推導(dǎo)出來的，老師通過幾組練習(xí)題，通過這幾組練習(xí)題，由學(xué)生自主地歸納出不等式的基本性質(zhì)，利用這種方法學(xué)生既可以獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，同時也能培養(yǎng)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能，這也正是課標(biāo)中所倡導(dǎo)的：讓學(xué)生在觀察、操作、猜測、交流的反思等活動中逐步體會數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，獲得積極的情感體驗，感覺數(shù)學(xué)的力量，同時掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能。也充分地體現(xiàn)了建構(gòu)主義教學(xué)理念：知識不可能以實體的形式存在于個體之外，盡管通過語言賦予了知識一定的外在形式，并且獲得了較為普通的認(rèn)同，但這并不意味著學(xué)習(xí)者對這種知識有同樣的理解。真正的理解只能由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗背景而建構(gòu)起來，取決于特定情境下的學(xué)習(xí)活動過程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動的復(fù)制式的學(xué)習(xí)。三、尊重學(xué)生，體現(xiàn)人文關(guān)懷。重視評價、激勵促發(fā)展。在課上我們可以看到教師盡量做到讓每個學(xué)生都有表現(xiàn)自己的機會，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中獲得到一種積極的成功體驗。一位哲學(xué)家說過，一個人品嘗過一次成功的喜悅，會激勵他千百次地戰(zhàn)勝失敗。因此課堂上教師對學(xué)生進行的適時且有效的評價，這對學(xué)生的心理成長和學(xué)習(xí)都有很大幫助。總之，本節(jié)課充分體現(xiàn)了新課程改革所提倡的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個簡單的、被動的接受過程，而是學(xué)生自己體驗、探索、實踐活動的過程這一理念。四、值得探討反思的幾個問題1、雖然老師注意到對學(xué)生的評價對學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情的影響，但是，同時整個課堂還是存在著部分學(xué)生參與意識不強的問題，如何做到面向全體學(xué)生，尤其是如何調(diào)動后進生的學(xué)習(xí)熱情依然是新課程改革的一個大命題。2、本節(jié)課的練習(xí)充分體現(xiàn)了層次性、實效性，從訓(xùn)練中我們能夠真實地看到孩子們在課堂學(xué)習(xí)中所獲得情感體驗。但數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一就是要促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。因此我認(rèn)為在練習(xí)的設(shè)計上還可以有一定的延展性?！菊n后鞏固案】當(dāng)成立的充要條件是對任意實數(shù)，恒成立，則的取值范圍是；對任意實數(shù)，恒成立，則的取值范圍是若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是方程的解集為,不等式的解集是已知方程有實數(shù)解，則a的取值范圍為。畫出不等式的圖形，并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等式（1）;（2）8、（1）已知求證：。（2）已知求證：。（3）已知求證：9、（1）已知求證：（2）已知求證：課后反思本節(jié)課主要從以下幾點反思一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)求知欲望，每一個學(xué)生都有著強烈的好奇心和求知欲，如何利用這一點使學(xué)生能夠以一個飽滿的熱情投入到新知識的學(xué)習(xí)中來呢？創(chuàng)設(shè)一個有吸引力的初始情境是最好的手段，這節(jié)課上課開始老師通過問題展示，創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課，積極的為學(xué)生營造了和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生紛紛自覺投入到學(xué)習(xí)活動中。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計既活躍了課堂氣氛，又讓學(xué)生初步領(lǐng)會到不等式的特點，為學(xué)生在緊跟其后的學(xué)習(xí)中通過自己的實踐活動自主探究不等式的基本性質(zhì)做好了鋪墊。整節(jié)課結(jié)構(gòu)有張有弛，詳略得當(dāng)，學(xué)生在一節(jié)課的時間中始終都處于一個問題思索、規(guī)律探究的過程中，正如蘇霍姆林斯基所說，評價一節(jié)課是否成功，關(guān)鍵要看在這節(jié)課中，學(xué)生是否有充分的腦力活動。從這個角度來評價這節(jié)課，無疑是成功的。二、巧妙引導(dǎo)，自主、合作、探究。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生有效的學(xué)習(xí)活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。這節(jié)課的主體設(shè)計正體現(xiàn)了新課改的主要理念，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，讓他們在主動的探索和與他人的合作探究中由舊的知識中得出新的知識，完成學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的更新和重構(gòu)，在這節(jié)課中，老師并沒有羅列出不等式有哪些基本性質(zhì)，而是給出了一組填空題來讓學(xué)生完成，讓學(xué)生們在自己觀察，自我猜想，自我嘗試，自我驗證中得出結(jié)論，由于填空題入手簡單，學(xué)生們都樂于嘗試，人人都動手進行練習(xí)，這為下面的探究工作做好的情緒上的鋪墊，而最后的歸納工作也留給學(xué)生，讓學(xué)生們自已去歸納經(jīng)驗，總結(jié)規(guī)律，同時也讓他們自己去驗證自己的發(fā)現(xiàn)，充分地體現(xiàn)了建構(gòu)主義的自主、自發(fā)的理念。在上述探究活動中，一方面使學(xué)生對不等式的性質(zhì)由以前的籠統(tǒng)的，模糊的感性認(rèn)識上升到清晰的、準(zhǔn)備的理性認(rèn)識，同時又發(fā)展了學(xué)生的多種能力，如語言表達能力，自主探究能力，批判與反思能力及自學(xué)能力。三、充分的練習(xí)，鍛煉了解題能力。以往的探究型學(xué)習(xí)課有一個誤區(qū)，認(rèn)為新課程理念只重視探究、總結(jié)的過程，而忽略對學(xué)生的實際解題能力培養(yǎng)，其實，探究與學(xué)生的解題能力的培養(yǎng)根本就不矛盾，在這節(jié)課中，探究、歸納之后，老師并沒有僅僅停留在這些規(guī)律上，而是馬上讓學(xué)生投入到規(guī)律的應(yīng)用中去，通過解決一些數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生明白，前面的規(guī)律到底如何應(yīng)用，這些規(guī)律能解決什么問題。通過這些工作，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情更加高漲。四、欠缺之處有句話說