2023新教材高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.4.2超幾何分布1．通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，能夠判斷隨機變量是否服從超幾何分布．(重點)2．能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決簡單的實際問題，會求服從超幾何分布的隨機變量的均值與方差．1．借助對超幾何分布概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過對超幾何分布的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從8件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，用X表示取到的次品數(shù)，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)?知識點1超幾何分布定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．從3本物理書和5本數(shù)學(xué)書中選出3本，記選出的數(shù)學(xué)書為X本，X服從超幾何分布嗎？[提示]服從．1．某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則P(X＝3)＝________．eq\f(5,21)[P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)·C\o\al(1,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(5,21)．]知識點2服從超幾何分布的隨機變量的均值設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而eq\f(X,n)是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則E(X)＝eq\f(nM,N)＝np．2．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則E(X)＝________．eq\f(6,5)[E(X)＝4×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5)．]類型1超幾何分布的概率【例1】10件產(chǎn)品中有2件次品，任取2件進行檢驗，求下列事件的概率．(1)至少有1件次品；(2)至多有1件次品．[解]法一：(1)“至少有1件次品”的對立事件是“2件都是正品”．“2件都是正品”的概率為eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)．所以“至少有1件次品”的概率為1－eq\f(28,45)＝eq\f(17,45)．(2)“至多有1件次品”的對立事件是“2件都是次品”，“兩件都是次品”的概率為eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45)．所以“至多有1件次品”的概率為1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45)．法二：(1)記“至少有1件次品”為事件A，“1件次品1件正品”為事件B，“2件次品”為事件C，則A＝B＋C(B與C互斥)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(C)＝eq\f(C\o\al(2,2)·C\o\al(0,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45)，∴P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(16,45)＋eq\f(1,45)＝eq\f(17,45)．(2)記“至多有1件次品”為事件A1，“1件次品1件正品”為事件A2，“兩件正品”為事件A3，則A1＝A2＋A3(A2與A3互斥)，P(A2)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(A3)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，∴P(A1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(16,45)＋eq\f(28,45)＝eq\f(44,45)．超幾何分布的概率(1)超幾何分布的概率計算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運用公式求解，但是不能機械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進行記憶．(2)超幾何分布是隨機變量的另一種分布形式．在這里，要特別注意公式中的各個字母的取值范圍及其含義，超幾何分布中隨機變量X取某一個值的概率，本質(zhì)上還是這一事件在該隨機試驗中發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值．[跟進訓(xùn)練]1．袋中有7個球，其中3個黑球、4個紅球，從袋中任取3個球，記紅球數(shù)為X，求至少有一個紅球的概率．[解]由題意知X服從超幾何分布，且X＝0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)．∴至少有一個紅球的概率P＝eq\f(12,35)＋eq\f(18,35)＋eq\f(4,35)＝eq\f(34,35)．類型2超幾何分布的分布列、均值【例2】在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張．①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列和均值．[解](1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)．因此X的分布列為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3)．②Y的所有可能取值為0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)．因此隨機變量Y的分布列為Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)E(X)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16．解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．[跟進訓(xùn)練]2．一袋中有7個大小相同的小球，其中有2個紅球，3個黃球，2個藍球，從中任取3個小球．(1)求紅、黃、藍三種顏色的小球各取1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的藍色小球的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解](1)P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)．(2)X可能取0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)．∴X的分布列為X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)E(X)＝eq\f(4,7)＋eq\f(2,7)＝eq\f(6,7)．類型3超幾何分布的綜合應(yīng)用【例3】目前，有些城市面臨“垃圾圍城”的窘境．垃圾分類可助力將不易降解的物質(zhì)分出來，減輕對土地的嚴(yán)重侵蝕，減少土地流失．某市將實行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四類．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源．如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75%，節(jié)省造紙能源消耗40%～50%．現(xiàn)調(diào)查了該市5個小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量/噸55.15.24.84.9塑料品投放量/噸3.53.63.73.43.3(1)從A，B，C，D，E這5個小區(qū)中任取1個小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；(2)從A，B，C，D，E這5個小區(qū)中任取2個小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個數(shù)，求X的分布列及期望．[解](1)記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件A．由題意，得B，C兩個小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以P(A)＝eq\f(2,5)．(2)因為回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有B，C，共2個小區(qū)，X的所有可能取值為0，1，2．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)．所以X的分布列為X012Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(4,5)．超幾何分布的應(yīng)用(1)超幾何分布常應(yīng)用在產(chǎn)品合格問題、球盒取球(兩色)問題、男女生選舉問題等．(2)這類問題有一個共同特征，就是對每一個個體而言，只研究其相對的兩種性質(zhì)而不涉及其他性質(zhì)，如產(chǎn)品的“合格”與“不合格”，球的“紅色”與“非紅色”，學(xué)生的“男生”與“女生”等．(3)在實際問題中需通過關(guān)注的實際對象來確定M的值．(4)注意超幾何分布問題涉及三個參數(shù)的特征和順序．如產(chǎn)品問題中，H(n，M，N)的意義是“超幾何分布(取出產(chǎn)品數(shù)，所有產(chǎn)品中不合格品數(shù)，所有產(chǎn)品數(shù))”．[跟進訓(xùn)練]3．在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球，從這10個球中任取3個．求：(1)取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列；(2)取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．[解](1)由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，且X服從參數(shù)為N＝10，M＝3，n＝3的超幾何分布，因此P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3)，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(35,120)＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(63,120)＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,120)＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)．所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件A，“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件A1，“恰好取出2個紅球”為事件A2，“恰好取出3個紅球”為事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,20)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為：P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(1,3)．所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為eq\f(1,3)．1．一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為X，男生的人數(shù)為Y，則P(X＝2)＋P(Y＝2)等于()A．eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30)) B．eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))C．eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30)) D．eq\f(C\o\al(2,10)＋C\o\al(1,20)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))C[由題意可知X，Y服從超幾何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20),C\o\al(3,30))，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10)C\o\al(1,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(2,20),C\o\al(3,30))．故選C．]2．一個袋子中裝有4個白球，5個黑球和6個黃球，從中任取4個球，則含有3個黑球的概率為()A．eq\f(20,273) B．eq\f(10,273)C．eq\f(20,91) D．eq\f(10,91)A[隨機變量X服從N＝15，M＝5，n＝4的超幾何分布，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)·C\o\al(1,10),C\o\al(4,15))＝eq\f(20,273)．]3．在15個村莊中，有7個村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用ξ表示10個村