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文檔簡介
-.z.**工業(yè)大學—數(shù)學建模論文貨物運送問題組員:班級:指導教師:侯為根2013-7-301、問題重述一公司有二廠,分處A、B兩市,另外還有4間具有存貯機構(gòu)的庫房,分別在P、Q、R和S市。公司出售產(chǎn)品給6家客戶C1,C2,…,C6,由各庫房或直接由工廠向客戶供貨。配送貨物的費用由公司負擔,單價見下表:表一受貨者供貨者A市廠B市廠P庫房Q庫房R庫房S庫房P庫房0.5----Q庫房0.50.3R庫房1.00.5S庫房0.20.2客戶C11.02.0----1.0--------客戶C2--------1.50.51.5----客戶C31.5----0.50.52.00.2客戶C42.0----1.51.0----1.5客戶C5------------0.50.50.5客戶C61.0----1.0----1.51.5注:單位元/噸;劃"----”表示無供貨關系.*些客戶表示喜歡由*廠或*庫房供貨.計有:C1--------A市廠C2--------P庫房C5--------Q庫房C6--------R庫房或S庫房A市廠月供貨量不能超過150千噸,B市廠月供貨量不能超過200千噸。各庫房的月最大流通量千噸數(shù)為表二庫房PQRS流通量705010040各客戶每月所必須滿足的供貨量為(單位:千噸)表三客戶C1C2C3C4C5C6要求貨量501040356020現(xiàn)假設可以在T市和V市建新庫房,和擴大Q市的庫房,而庫房的個數(shù)又不能多于4個,必要時可關閉P市和S市的庫房。建新庫房和擴建Q市庫房的費用(計入利息)攤至每月為下表所列值(萬元),它們的潛在的月流通量(千噸)也列于表中表四庫房月費用流通量TVQ(擴建)1.20.40.3302520關閉P市庫房月省費用1萬元;關閉S市庫房月省0.5萬元。涉及新庫房的配送費用單價(元/噸)見下表表五供貨受貨ABTVT0.60.4V0.40.3C11.2----C20.60.4C30.5----C4----0.5C50.30.6C60.80.92、問題分析隨著經(jīng)濟的發(fā)展、交通網(wǎng)絡的不斷健全以及各項科技的進步。使得各個行業(yè)競爭激烈,生產(chǎn)商要在滿足客戶要求與盡量減少生產(chǎn)成本之間面臨更復雜決策。在整個配送問題中,所有的對象有三種,一種就是廠房,它是貨物的產(chǎn)源地分別地處A、B兩個市,它所生產(chǎn)的貨物,可以直接運給客戶,也可以放到庫房里存放;第二種就是庫房,用于存放來自于A、B兩個廠房的生產(chǎn)物以及將貨物配送給它的顧客,這種庫房分別位于P、Q、R、S市;第三種就是客戶,接收由工廠或庫房提供的貨物;問題一、在配送過程中,我們需要建立一個數(shù)學模型來計算如何配貨公司的運輸費用最低,如何配送貨物,既能滿足客戶的要求,又能為公司節(jié)約足夠的資金。當然還要考慮到增加工廠和庫房的生產(chǎn)能力對配送費用的影響,費用單價、客戶對供應貨物的最低要求以及工廠和庫房生產(chǎn)能力各微小變化對配貨方案的影響等因素來進行方案設計。設計出來的方案還要能體現(xiàn)出公司在什么樣的改進下能獲得更高的經(jīng)濟效益。可以用數(shù)學模型來建立最優(yōu)解,進而解決設計方案的建立。問題二、在問題一得基礎上幾乎沒什么變化,A,B倆市供貨量限制和客戶需求量都沒發(fā)生變化;改變的是庫房,在T、V市新建庫房,擴建Q庫房,即改變了流通量,必要時刻關閉P、S庫房;也就是說到底對庫房做出怎樣的變化,這就引進了應否關閉P,S和應否新建T,V以及應否擴大Q庫房,引進零、一變量解決好此問題公司與興建新的庫房,根據(jù)實際問題條件分析下應建那些新庫房?Q市庫房是否擴建?P市和S市庫房應否關閉?配運費用最小的配貨方案是什么?根據(jù)實際情況為公司減少運費提高利潤,設計出合理的配貨方案。3、符號說明問題一、A、B為生產(chǎn)廠,P、Q、R、S為庫房,C1、C2、C3、C4、C5、C6為客戶。工廠向各庫房和客戶的供貨量以及庫房向客戶的供貨量如下兩表(單位:千噸)工廠向各庫房的供應量:受貨者供貨者PQRSA*11*12*13*14B*21*22*23*24工廠和各庫房向客戶的供應量:受貨者供貨者ABPQRSC1*011*012*013*014*015*016C2*021*022*023*024*025*026C3*031*032*033*034*035*036C4*041*042*043*044*045*046C5*051*052*053*054*055*056C6*061*062*063*064*065*066模型要求公司在配貨時的最小運輸費用,即:
min問題二、A、B給庫房P、Q、R、S、T、V的貨物量為:*11、*12、*13、*14、*15、*16;*21、*22、*23、*24、*25、*26;由A、B供給客戶C1、C2、C3、C4、C5、C6的貨物量為:y11、y12、y13、y14、y15、y16;y21、y22、y23、y24、y25、y26;由庫房P、Q、R、S、T、V供給客戶C1、C2、C3、C4、C5、C6的貨物量為:z11、z12、z13、z14、z15、z16;z21、z22、z23、z24、z25、z26;z31、z32、z33、z34、z35、z36;z41、z42、z43、z44、z45、z46;z51、z52、z53、z53、z55、z56;z61、z62、z63、z64、z65、z66;由于最多只能用四個客房,故要確定選哪四個,即對P、Q、R、S、T、V五個庫房定一個零、五變量:a1、a2、a3、a4、a5表示庫房P、Q、S、T、V的0-1變量:a1為0表示關閉P庫房,為1表示未關閉P庫房;a2為0表示未擴建Q庫房,為1表示未關閉P庫房;a3為0表示關閉R庫房,為1表示未關閉R庫房;a4為0表示未新建T庫房,為1表示擴建T庫房;a5為0表示新建V庫房,為1表示擴建V庫房;4、模型假設(1)公司出售產(chǎn)品給6家客戶C1,C2,…,C6,由各庫房或直接由工廠向客戶供貨。(2)A市廠月供貨量不能超過150千噸,B市廠月供貨量不能超過200千噸。庫房的月最大流通量保持不變,即在庫房有貨物剩余的情況下,月最大流通量不因此而加大。
(3)*些客戶表示喜歡由*廠或*庫房供貨.計有:C1--------A市廠C2--------P庫房C5--------Q庫房C6--------R庫房或S庫房假設顧客與庫房之間不存在喜好關系。(4)在問題的解決過程中,由于這個問題只提及運輸費用的問題,而不考慮公司在貨物賣出時的收益問題,所以我們只對運輸上的經(jīng)濟情況進行討論,不管運輸時各個運輸路線的單價如何變化,我們的模型都能將最好的方案給出來。(5)假設可以在T市和V市建新庫房,和擴大Q市的庫房,而庫房的個數(shù)又不能多于4個,必要時可關閉P市和S市的庫房。
5、模型建立在配貨過程中,可以由A市廠和B市廠直接向客戶直接供貨,也可以把兩廠的貨物運到P、Q、R、S四個倉庫之后再向客戶供貨,所以在這個模型中,我們首先把A,B看成生產(chǎn)地,同時又把它們作為與P、Q、R、S一樣的庫房來看待,并規(guī)定產(chǎn)地A、B不向庫房A、B運送貨物,在處理的時候,如果相互之間沒有配送關系,我們可以認為配送貨物的費用為"無窮大”,在具體運算時,我們再對"無窮大”賦予一個比較大的具體值。配送貨物的費用由公司負擔,單價見下表:受貨者供貨者A市廠B市廠P庫房Q庫房R庫房S庫房P庫房0.5----Q庫房0.50.3R庫房1.00.5S庫房0.20.2客戶C11.02.0----1.0--------客戶C2--------1.50.51.5----客戶C31.5----0.50.52.00.2客戶C42.0----1.51.0----1.5客戶C5------------0.50.50.5客戶C61.0----1.0----1.51.5注:單位元/噸;劃"----”表示無供貨關系.工廠向各庫房的供應量:受貨者供貨者pQRSA*11*12*13*14B*21*22*23*24可以得出以下結(jié)果:位于A地的廠向P、Q、R、S地庫房供應貨物所需運費:位于B地的廠向P、Q、R、S地庫房供應貨物所需運費:各庫房貨物的月流通量:庫房PQRS流通量705010040則得之,*11<=70,*12+*22<=50,*13+*23<=100,*14+*24<=40;各客戶每月所必須滿足的供貨量為(單位:千噸)客戶C1C2C3C4C5C6要求貨量501040356020工廠和各庫房向客戶的供應量:受貨者供貨者ABPQRSC1*011*012*013*014*015*016C2*021*022*023*024*025*026C3*031*032*033*034*035*036C4*041*042*043*044*045*046C5*051*052*053*054*055*056C6*061*062*063*064*065*066問題一、可以得到以下線性方程:客戶C1可分別由工廠A、B以及庫房Q三方供應貨物,且配貨所需單價分別為1.0、2.0、1.0,則得為C1配貨的花費為:C1客戶的月需求為:;客戶C2可分別庫房P、Q、R三方供應貨物,且配貨所需單價分別為1.5、0.5、1.5,則得為C配貨的花費為:C2客戶的月需求量為:;客戶C3可分別由工廠A以及庫房P、Q、R、S五方供應貨物,且配貨所需單價分別為1.5、0.5、0.5、2.0、0.2,則得為C3配貨的花費為:C3客戶的月需求量為:;客戶C4可分別由工廠A以及庫房P、Q、S四方供應貨物,且配貨所需單價分別為2.0、1.5、1.0、1.5,則得為C4配貨的花費為:C4客戶的月需求量為:;客戶C5可分別由庫房Q、R、S三方供應貨物,且配貨所需單價分別為0.5、0.5、0。5,則得為C5配貨的花費為:C5客戶的月需求量為:;客戶C6可分別由工廠A以及庫房P、R、S四方供應貨物,且配貨所需單價分別為1.0、1.0、1.5、1.5,則得為C6配貨的花費為:客戶C6的月需求量為:;根據(jù)上面式子中的所有變量以及題給意思可知:A廠的每月最大供應量為:;B廠的每月最大供應量為:;從問題考慮,使費用最小,即為庫房的存儲量供完貨后為0是最好的。P庫房的貨物量有A廠,運出的貨物量為客戶C2、C3、C4、C6,由約束條件如下:;Q庫房的貨物量有A、B廠,運出的貨物量為客戶C1、C2、C3、C4、C5,由約束條件如下:;R庫房的貨物量有A、B廠,運出的貨物量為客戶C2、C3、C5、C6,由約束條件如下:;S庫房的貨物量有A、B廠,運出的貨物量為客戶C3、C4、C5、C6,由約束條件如下:;總結(jié)以上的模型,可得配貨的最小運輸費用問題實際上為一個線性規(guī)劃模型:目標函數(shù):min=0.5**11+0.5**12+1.0*13+0.2**14+0.3**22+0.5**23+0.2**24+*011+2.0**012+*014+1.5**023+0.5**024+1.5**025+1.5**031+0.5**033+0.5**034+2.0**035+0.5**036+2.0**041+1.5**043+*044+1.5**046+0.5**054+0.5**055+0.5**056+*061+*063+1.5**065+1.5**066;約束條件:*11<=70;*12+*22<=50;*13+*23<=100;*14+*24<=40;*011+*012+*014=50;*023+*024+*025=10;*031+*033+*034+*035+*036=40;*041+*043+*044+*046=35;*054+*055+*056=60;*061+*063+*065+*066=20;*11+*12+*13+*14+*011+*031+*041+*061<=150;*22+*23+*24+*012<=200;*023+*033+*043+*063-*11=0;*014+*024+*034+*044+*054-*12-*22=0;*025+*035+*055+*065-*13-*23=0;*036+*046+*056+*066-*14-*24=0;則建立模型如下:min=0.5**11+0.5**12+1.0*13+0.2**14+0.3**22+0.5**23+0.2**24+*011+2.0**012+*014+1.5**023+0.5**024+1.5**025+1.5**031+0.5**033+0.5**034+2.0**035+0.5**036+2.0**041+1.5**043+*044+1.5**046+0.5**054+0.5**055+0.5**056+*061+*063+1.5**065+1.5**066;*11<=70;*12+*22<=50;*13+*23<=100;*14+*24<=40;*011+*012+*014=50;*023+*024+*025=10;*031+*033+*034+*035+*036=40;*041+*043+*044+*046=35;*054+*055+*056=60;*061+*063+*065+*066=20;*11+*12+*13+*14+*011+*031+*041+*061<=150;*22+*23+*24+*012<=200;*023+*033+*043+*063-*11=0;*014+*024+*034+*044+*054-*12-*22=0;*025+*035+*055+*065-*13-*23=0;*036+*046+*056+*066-*14-*24=0;問題二建新庫房和擴建Q市庫房的費用(計入利息)攤至每月為下表所列值(萬元),它們的潛在的月流通量(千噸)也列于表中庫房月費用流通量TVQ(擴建)1.20.40.3302520關閉P市庫房月省費用1萬元;關閉S市庫房月省0.5萬元。涉及新庫房的配送費用單價(元/噸)見下表供貨受貨ABTVT0.60.4V0.40.3C11.2----C20.60.4C30.5----C4----0.5C50.30.6C60.80.9問題二基于問題一的內(nèi)容故可得出如下:a1、a2、a3、a4、a5表示庫房P、Q、S、T、V的0-1變量:a1為0表示關閉P庫房,為1表示未關閉P庫房;a2為0表示未擴建Q庫房,為1表示未關閉P庫房;a3為0表示關閉R庫房,為1表示未關閉R庫房;a4為0表示未新建T庫房,為1表示擴建T庫房;a5為0表示新建V庫房,為1表示擴建V庫房;則對P庫房的調(diào)整費用為-1+a1;則對Q房的調(diào)整費用為0.3*a2;則對R房的調(diào)整費用為-0.5+0.5*a3;則對T房的調(diào)整費用為1.2*a4;則對V房的調(diào)整費用為0.4*a5;由題意可知目標函數(shù)為貨物配送費用與庫房調(diào)整費用相加得出:Min=0.5**11+0.5**12+*13+0.2**14+0.6**15+0.4**16+y11+1.5*y13+2*y14+y16+0.3**22+0.5**23+0.2**24+0.4**25+0.3**26+2*y21+1.5*z12+0.5*z13+1.5*z14+z16+z21+0.5*z22+0.5*z23+z24+0.5*z25+1.5*z32+2*z33+0.5*z35+1.5*z36+0.2*z43+1.5*z44+0.5*z45+1.5*z46+1.2*z51+0.6*z52+0.5*z53+0.3*z55+0.8*z56+0.4*z62+0.5*z64+0.6*z65+0.9*z66-1+a1+0.3*a2-0.5+0.5*a3+1.2*a4+0.4*a5約束條件:有問題一可以輕松得出:*11+*12+*13+*14+*15+*16+y11+y13+y14+y16<=150;*22+*23+*24+*25+*26+y21<=200;最大存儲量為70*a1千噸約束條件為:*11<=70*a1;Q庫房的存儲量約束條件為:*12+*22<=50+20*a2;R庫房的存儲量約束條件為:*13+*23<=100;S庫房的存儲量約束條件為:*14+*24<=40*a3;V房的存儲量約束條件為:*16+*26<=25*a5;C1-C6客戶需求量的約束條件:y11+y2+z21+z51=50;z12+z22+z32+z52+z62=10;y13+z13+z23+z33+z43+z53=40;y14+z14+z24+z44+z64=35;z25+z35+z45+z55+z65=60;y16+z16+z36+z46+z56+z66=20;由問題一可知同理有要求供給平衡z12+z13+z14+z16-*11=0;z21+z22+z23+z24-*12-*22=0;z32+z33+z35+z36-*13-*23=0;z43+z44+z45+z46-*14-*24=0;z51+z52+z53+z55+z56-*15-*25=0;z62+z64+z65+z66-*16-*26=0;庫房的約束條件為:a1+a3+a4+a5<=2;綜上所述,有以下數(shù)學模型:Min=0.5**11+0.5**12+*13+0.2**14+0.6**15+0.4**16+y11+1.5*y13+2*y14+y16+0.3**22+0.5**23+0.2**24+0.4**25+0.3**26+2*y21+1.5*z12+0.5*z13+1.5*z14+z16+z21+0.5*z22+0.5*z23+z24+0.5*z25+1.5*z32+2*z33+0.5*z35+1.5*z36+0.2*z43+1.5*z44+0.5*z45+1.5*z46+1.2*z51+0.6*z52+0.5*z53+0.3*z55+0.8*z56+0.4*z62+0.5*z64+0.6*z65+0.9*z66-1+a1+0.3*a2-0.5+0.5*a3+1.2*a4+0.4*a5*11+*12+*13+*14+*15+*16+y11+y13+y14+y16<=150;*22+*23+*24+*25+*26+y21<=200;*11<=70*a1;*12+*22<=50+20*a2;*13+*23<=100;*14+*24<=40*a3;*16+*26<=25*a5;y11+y2+z21+z51=50;z12+z22+z32+z52+z62=10;y13+z13+z23+z33+z43+z53=40;y14+z14+z24+z44+z64=35;z25+z35+z45+z55+z65=60;y16+z16+z36+z46+z56+z66=20;z12+z13+z14+z16-*11=0;z21+z22+z23+z24-*12-*22=0;z32+z33+z35+z36-*13-*23=0;z43+z44+z45+z46-*14-*24=0;z51+z52+z53+z55+z56-*15-*25=0;z62+z64+z65+z66-*16-*26=0;a1+a3+a4+a5<=2;6、模型求解:問題一:
min=0.5**11+0.5**12+1.0*13+0.2**14+0.3**22+0.5**23+0.2**24+*011+2.0**012+*014+1.5**023+0.5**024+1.5**025+1.5**031+0.5**033+0.5**034+2.0**035+0.5**036+2.0**041+1.5**043+*044+1.5**046+0.5**054+0.5**055+0.5**056+*061+*063+1.5**065+1.5**066;*11<=70;*12+*22<=50;*13+*23<=100;*14+*24<=40;*011+*012+*014=50;*023+*024+*025=10;*031+*033+*034+*035+*036=40;*041+*043+*044+*046=35;*054+*055+*056=60;*061+*063+*065+*066=20;*11+*12+*13+*14+*011+*031+*041+*061<=150;*22+*23+*24+*012<=200;*023+*033+*043+*063-*11=0;*014+*024+*034+*044+*054-*12-*22=0;*025+*035+*055+*065-*13-*23=0;*036+*046+*056+*066-*14-*24=0;end問題二:Min=0.5**11+0.5**12+*13+0.2**14+0.6**15+0.4**16+y11+1.5*y13+2*y14+y16+0.3**22+0.5**23+0.2**24+0.4**25+0.3**26+2*y21+1.5*z12+0.5*z13+1.5*z14+z16+z21+0.5*z22+0.5*z23+z24+0.5*z25+1.5*z32+2*z33+0.5*z35+1.5*z36+0.2*z43+1.5*z44+0.5*z45+1.5*z46+1.2*z51+0.6*z52+0.5*z53+0.3*z55+0.8*z56+0.4*z62+0.5*z64+0.6*z65+0.9*z66-1+a1+0.3*a2-0.5+0.5*a3+1.2*a4+0.4*a5*11+*12+*13+*14+*15+*16+y11+y13+y14+y16<=150;*22+*23+*24+*25+*26+y21<=200;*11<=70*a1;*12+*22<=50+20*a2;*13+*23<=100;*14+*24<=40*a3;*16+*26<=25*a5;y11+y2+z21+z51=50;z12+z22+z32+z52+z62=10;y13+z13+z23+z33+z43+z53=40;y14+z14+z24+z44+z64=35;z25+z35+z45+z55+z65=60;y16+z16+z36+z46+z56+z66=20;z12+z13+z14+z16-*11=0;z21+z22+z23+z24-*12-*22=0;z32+z33+z35+z36-*13-*23=0;z43+z44+z45+z46-*14-*24=0;z51+z52+z53+z55+z56-*15-*25=0;z62+z64+z65+z66-*16-*26=0;a1+a3+a4+a5<=2;bin(a1);bin(a2);bin(a3);bin(a4);bin(a5);end7、結(jié)論解釋{這段本來是lingo運行的結(jié)果,現(xiàn)把結(jié)果給刪去了,用表格體現(xiàn)的結(jié)果}問題一:該問題的最小費用為:210.5000單位;對應的配貨方案見下表:受貨者供貨者A市廠B市廠P庫房Q庫房R庫房S庫房P庫房40Q庫房50R庫房15S庫房40客戶C150客戶C210客戶C340客戶C435客戶C551540客戶C620A-P:40千噸,A-S:40千噸,A-C1:50千噸,A-C6:20千噸;B-Q:50千噸,B-R:15千噸;Q-C2:10千噸,Q-C4:35千噸,Q-C5:5千噸;P-C3:40千噸,R-C5:15千噸,S-C5:40千噸;問題二:該問題的最小費用為:106.4000單位;其具體的運輸調(diào)運方案為:受貨者供貨者A市廠B市廠Q庫房R庫房S庫房V庫房Q庫房20R庫房40S庫房V庫房25客戶C150客戶C210客戶C340客戶C41025客戶C560客戶C620關閉S倉庫,新建V倉庫;R:40千噸,運往C1:50千噸,運往C6:20千噸;Q:20千噸;運往V:25千噸Q-C2:10千噸;運往C4:10千噸;運往C5:60千噸;S-C3:40千噸;V-C4:25千噸;在模型一中,我們發(fā)現(xiàn)雖然總費用最小,但是A、B兩廠運送到s庫房的貨物數(shù)量并不確定,即配貨方案并不唯一,經(jīng)過分析,發(fā)現(xiàn)A、B運送到S的單價是相同的,所以不影響最后結(jié)果;在模型二中,我們也發(fā)現(xiàn)了類似的情況,因為從A廠運到C4和從A廠將貨物運到P庫房然后再運到C4的費用也是相同的,所以在這里的配送方案也不唯一。所以在實際中,可以結(jié)合實際情況進行調(diào)配模型優(yōu)缺點模型的優(yōu)點:
(1)模型將復雜的配貨過程簡單和直觀化,利用簡單的線性規(guī)劃進行建模,再結(jié)合計算機進行運算,整個過程簡單而易操作。
(2)模型具有一般性和普遍性,適合任何情況下的最優(yōu)配貨方案的設計。(3)該模型的方法還可以推廣大更大的經(jīng)濟領域中去,具有很大的可塑性。
模型的不足:(1)模型中的變量和參數(shù)太多,在輸入的時候可能比較麻煩。(2)在模型的求解過程中,所給出的運貨為零的方案在實際計算中并非真正為0,而是計算機在計算過程中采取了舍入的方法,這些對模型結(jié)果的影響并不大,因為數(shù)據(jù)足夠小,而且在實際中,如果運送的貨物很少的話,對資源反而是一種浪費。
9、模型推廣1.客戶滿意度:
在模型二中,我們對客戶喜好程度的處理是采取將近100%地滿足客戶的要求,而客戶對*個廠房和庫房的喜好也是100%,但是,在實際中并非如此。所以在處理客戶的選擇的時候應該引入客戶對*廠房和*庫房貨物的滿意度,即客戶對該廠房或庫房的喜好程度,所要求的貨物在總的需求量中的比例等,來作為對貨物配送中的一個主要的考慮因素。
2.公司的收益:
在整個模型中,我們只考慮了怎么使運輸費用最少的問題,卻沒有考慮貨物賣出之后能掙多少的問題,一批貨物運到這一客戶和運到那一客戶收益有什么不同,貨物的多少對收益又有什么影響,在實際中,收益才是配貨的首要考慮問題。所以,在模型中加入這一因素,就可以實現(xiàn)對整個公司經(jīng)濟活動的宏觀調(diào)控。
10、附件(各種程序等)問題一中的lingo程序:min=0.5**11+0.5**12+1.0*13+0.2**14+0.3**22+0.5**23+0.2**24+*011+2.0**012+*014+1.5**023+0.5**024+1.5**025+1.5**031+0.5**033+0.5**034+2.0**035+0.5**036+2.0**041+1.5**043+*044+1.5**046+0.5**054+0.5**055+0.5**056+*061+*063+1.5**065+1.
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