應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)

為了估計(jì)總體X的未知參數(shù)，前面已經(jīng)介紹了矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法．由于總體X的未知參數(shù)的估計(jì)量是隨機(jī)變量，無論這個(gè)估計(jì)量的性質(zhì)多么好，它只能是未知參數(shù)的近似值，而不是的真值．并且樣本不同，所得到的估計(jì)值也不同．那么的真值在什么范圍內(nèi)呢？是否能通過樣本，尋求一個(gè)區(qū)間，并且給出此區(qū)間包含參數(shù)真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題．§2·4區(qū)間估計(jì)1應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)定義1

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;)含有一個(gè)未知參數(shù),,對(duì)于給定值(0<<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和滿足則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信度為的置信區(qū)間,

和分別稱為置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限與置信上限，稱為置信水平(置信度)．2.4.1區(qū)間估計(jì)的一般步驟這種估計(jì)的方法叫做區(qū)間估計(jì).評(píng)價(jià)一置信區(qū)間好壞的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1）精度：越小越好；2）置信度：越大越好.2應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)１）當(dāng)Ｘ是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)于給定的，我們總是按要求：求出置信區(qū)間．［注］２）當(dāng)Ｘ是離散型隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)于給定的，常常找不到區(qū)間使得恰好為．此時(shí)我們?nèi)フ沂沟帽M可能地接近．3應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的一般步驟：1.給出“好”的點(diǎn)估計(jì)（按前面的標(biāo)準(zhǔn)），并知道它的分布（只依賴待估的未知參數(shù)）；2.求一個(gè)區(qū)間（參數(shù)的一個(gè)鄰域）或，使得對(duì)于給定的置信水平，且一般要求區(qū)間長盡可能小。將不等式變形得到等價(jià)的形式

其中g(shù)(x)為可逆的已知函數(shù)，的分布已知且與θ無關(guān)。4應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)對(duì)于給定的(0<<1),令

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

2.4.2單個(gè)正態(tài)總體的情況⑴均值的置信區(qū)間(a)2為已知時(shí),因?yàn)榍蟮玫闹眯哦人綖?1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2或X是,的無偏估計(jì),且5應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)(b)2為未知時(shí),因?yàn)镾2是2的點(diǎn)估計(jì)量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/26應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)1)例如當(dāng)=0.05

時(shí),即1-=0.95,查表得于是得到的置信水平為0.95的置信區(qū)間:即即(4.71,5.69)這時(shí)已不是隨機(jī)區(qū)間,說明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度為95%.2)若樣本值為,則得到一個(gè)置信區(qū)間3)置信水平為(1)的置信區(qū)間不唯一.如上例=0.05,可證又若=1,n=16,置信區(qū)間長度越短表示估計(jì)的精度越高.÷÷????è?+-96.099.0,znXznXss7應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)例1

有一大批月餅，現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量（以克計(jì)）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，設(shè)袋裝月餅的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為即（500.4,507.1）

這就是說估計(jì)袋裝月餅重量的均值在500.4與507.1之間，這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%。若以此區(qū)間內(nèi)任一值作為的近似值，其誤差不大于（克），這個(gè)誤差估計(jì)的可信程度為95%。由已知的數(shù)據(jù)算得8應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)

2的無偏估計(jì)量為S*2

，(只介紹未知的情況)當(dāng)1-給定后,因?yàn)榧吹玫椒讲?

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間/2/29應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)例2

有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量（以克計(jì)）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：現(xiàn)在查表得又S*=6.2022，(4.58,9.60)得所求的標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為由(4)式10應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)2.4.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

[例2.27]有A、B兩種牌號(hào)的燈泡各一批，A、B種燈泡的壽命是獨(dú)立的且分別服從.希望通過抽樣試驗(yàn)并進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.

在實(shí)際中常遇到下面的問題：已知產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，但由于原料、設(shè)備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個(gè)正態(tài)總體均值差或方差比的估計(jì)問題。11應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)1．兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間(a)

和已知,求的置信區(qū)間

相互獨(dú)立由此可得的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間為：

設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值與方差.12應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)

(b),但為未知.從而可得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為由定理1.15,時(shí)，13應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)[例2.28]在例2.27中,隨機(jī)選取A種燈泡5只,B種燈泡7只,做燈泡壽命實(shí)驗(yàn),算得兩種牌號(hào)的平均壽命分別為1000和980小時(shí),樣本方差分別為784和1024小時(shí)2.取置信度0.99,希望進(jìn)行區(qū)間估計(jì).考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.

14應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)僅討論總體均值1,2

為未知的情況。

(2)兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間由于于是得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為15應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)例

研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只，測(cè)得樣本方差；抽取機(jī)器生產(chǎn)的管子13只，測(cè)得樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨(dú)立，且設(shè)由機(jī)器A、機(jī)器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布，這里均未知。試求方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間。即（0.45,2.79）由于的置信區(qū)間包含1，在實(shí)際中我們就認(rèn)為兩者沒有顯著差別。解現(xiàn)在16應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)*單側(cè)置信區(qū)間

定義設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中是未知參數(shù)，為總體的樣本，給定，如果存在統(tǒng)計(jì)量滿足：，則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限，稱為置信水平或置信度。如果存在統(tǒng)計(jì)量，滿足則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限。17應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)

例從某批燈泡中隨機(jī)地取5只作壽命試驗(yàn)．測(cè)得其壽命（單位：h）如下：

10501100112012501280設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，試求均值的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間(θ1,+∞)．

解設(shè)燈泡壽命為，由于．由=0.95查表得，使得，即，18應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)

本題中，=2.1318,因此的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的0.95置信下限為1065．于是得的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的置信下限為..19應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)記，置信水平為，則

[例2.29]

大樣本場(chǎng)合下非正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(jì)

由中心極限定理知，只要n充分大，近似地有：當(dāng)已知時(shí)，的置信區(qū)間為當(dāng)未知時(shí)，的置信區(qū)間為2.4.4非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)20應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大樣本，求p的置信度為(1)

的置信區(qū)間.2.4.4非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[例2.30]設(shè)總體X~b(1,p),p為未知參數(shù),X的分布律為由中心極限定理，知已知(0-1)分布的均值和方差分別為于是有近似N(0，1)21應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)記而不等式等價(jià)于此處于是得p

的近似的置信度為(1)

置信區(qū)間為:22應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章參數(shù)估計(jì)(3)區(qū)間估計(jì)解一級(jí)品率