函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點(diǎn)

關(guān)于函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點(diǎn)第1頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第2頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第3頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性可見,函數(shù)在點(diǎn)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;1.定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且第4頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三注意:在點(diǎn)連續(xù),則極限運(yùn)算和函數(shù)運(yùn)算可以交換順序。即：(1)若(2)函數(shù)存在例1:討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性第5頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2.函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義定義：設(shè)函數(shù)自變量由變到,則叫做自變量的增量；相應(yīng)的函數(shù)值由變到,則叫做函數(shù)值的增量（改變量）第6頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:右連續(xù)左連續(xù)第7頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例2.證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).定義1：若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).同理可證：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).3.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).第8頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.由例2知函數(shù)及在其定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的第9頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三二、函數(shù)的間斷點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱在點(diǎn)間斷，稱為間斷點(diǎn).

在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):則下列情形之一函數(shù)

在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且在無定義;第10頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1.可去間斷點(diǎn)，則稱為的可去間斷點(diǎn)但如果，而在點(diǎn)無定義，或者有定義例2：設(shè),討論在x=1的連續(xù)性第11頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三注意：可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例3：設(shè),討論在x=0處的連續(xù)性解:第12頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2.跳躍間斷點(diǎn)例4：解則稱為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)存在左、右極限，但第13頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)：3.第二類間斷點(diǎn)則稱為的第二類間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)的左、右極限至少有一個(gè)不存在，例5：處的連續(xù)性在討論函數(shù)第14頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例6解第15頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例7解第16頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在第17頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyx可去型oyx第18頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性性質(zhì)1:（局部有界性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)則存在的一個(gè)鄰域及定值，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，性質(zhì)2:（局部保號(hào)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則存在的一個(gè)鄰域，有第19頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)3：（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）例如：例1：證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的。第20頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)4：（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）例2：討論函數(shù)的連續(xù)性。在上連續(xù)，在上各自連續(xù)連續(xù)，解：函數(shù)可以看做是由，復(fù)合而成的，在上各自連續(xù)。所以第21頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)5：（反函數(shù)的連續(xù)性）

連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù).五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例如,定理1：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.第22頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三備用題

確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).第23頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1、解右連續(xù)但不左連續(xù),第24頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2、解第25頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性.第26頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三思考題第27頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)第28頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)題第29頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第30頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)題答案第32頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)第33頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無定義、值太高、值太低跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)第34頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).第35頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！第36頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個(gè)洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！第37頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！第38頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).

這點(diǎn)放哪兒能接上呢？●第39頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●●哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn)第40頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三間斷的演示●：Hi,小紅點(diǎn)，你能不能停?。课以趺匆餐２蛔?，那可怎么連上??？●：Hi,小藍(lán)點(diǎn)，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。第41頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三有界定理;最值定理;零點(diǎn)定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:第42頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1．當(dāng)時(shí)，較等價(jià)無窮小量(B)同階無窮小量(C)低階無窮小量(D)高階無窮小量是（）課堂測(cè)驗(yàn)第43頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2．下列各式中正確的是（）

B

CDA第44頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三3．無窮小量是（）A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)