導數(shù)壓軸題十種構(gòu)造方法及解題方法

等價變形，轉(zhuǎn)化構(gòu)造構(gòu)造常見典型函數(shù)局部構(gòu)造二次求導研究函數(shù)的興致構(gòu)造一元函數(shù)元函數(shù)與對數(shù)分離元函數(shù)函數(shù)分拆，獨立雙變量，換元構(gòu)造函數(shù)分拆成熟悉與不熟悉構(gòu)造換元構(gòu)造函數(shù)邏輯分析構(gòu)造函數(shù)方法1等價變形，轉(zhuǎn)化構(gòu)造肓法導讀研究函數(shù)閑性質(zhì)是高考壓軸題的核心思想，但直接構(gòu)遺或者簡單拆分函數(shù)依然復敘這時候需耍依賴對函數(shù)的尊榆變形，通過恒等變形發(fā)現(xiàn)簡單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進行構(gòu)造研究，會起到事半功倍的效果，方法導引例1已知函數(shù)/(x)=ER),茁(對=^4-1.〔I、求函數(shù)g(M)的扱值；<2)當a3*吋*求證；f(x)>解析：〔1)由禺(艾)=嚴+「得&0)=字，龍義域為(山+s).^■g\x)=0.解得x=e?列表如卜：X(如X(如gM+單.調(diào)遞贈e（気+g）0-極大值甲調(diào)遞減結(jié)令表格可知函數(shù)血〕的極大值為貞刃W+L無極小值.<2)耍證PB/Cx)>g(x^即證y+1s叩定義域?qū)?6+00、所以只要證ojcb-】nx-x二0,又因為a>-r所以如屮—It応一工M丄兀護一1吧一益￡!e所以只要證呦上兀h-\nx-xS0令F(x)=2訶-lnx—Xi貝叭劉=(x+1)(曠一？-右》記hM=一丄，則h(力在(0,+8)單調(diào)遞增且/1(1)=0,?I所以當Xe(0,1)時，h(x)<0,從而F(x)<0：當xw(1,+8)時，h(x)>0,從而F(x)>0,即F(x)在(0.1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞増，F(xiàn)(x)>F(l)=0.所以當Q二『寸，/(X)工ff(X).例2己短濟0,函數(shù)/?)="門一??其中常數(shù)嚴2.71828……<1)求/(x)的最小值;(2)當心1時，求證:對任意x>0.都右#(x)>2lnx+廠曲.解析：(I)因為/(x)=嚴一ax，則ff(x)=a(嚴i-1)，/"(“)二”嚴>0故/'(X)為人上的増函數(shù)，令f(x)=0.解得a=—a故當r(x)<0./*(x)單調(diào)謹減；Ia)當xGfl,+oc\r(x)>0,f(x)單凋遞增，w)則/(心卜。故函數(shù)/(x)的報小值為0.(2)證明：要證明x/(-Y)>2lnx+l-ax1等價于證明xeMt-'>2//zv+l由<1)可知：?w_l-ar>0，即eM~l>ax因為A->0.故xe嚴］>ax：2故等價于證明av2>2/m+l即ux2-2lnx-1>O,.ve(0,+a>)令g(x)=ax2-21nx-\r即證g(x)>O,xe(O,+cc)恒成立.又并)=2心J遜泌也?X令g'(x)=0,解得兀=±倉⑴<0,g(x)單調(diào)遞減;，-K?&(X)>O,g(x)單調(diào)遞增;故^(x)>g[+卜2lny[a=Ina有因為67>b故but>0故g(.r)>/w6r>0即證.即對仟總Mo,都冇WJ^Slnx+l-fir2.方法二：構(gòu)造常見典型函數(shù)方法導讀常見典型函數(shù)主要包括Mur,x/lnx,inx/x;g，x*Q/x等，通過變形發(fā)現(xiàn)簡單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進行構(gòu)造硏究，會起到事半功倍的效果。方法導引例3己知函數(shù)/(X)=—(?G町任x=2處的切線金|率為￡(I〉求實數(shù)a的佰，并討論函數(shù)/'(X)的單調(diào)性；(2)g(x)=evlnx+/(%)?i正明：c/(x)>1.思路分析：(1)先對函數(shù)/'a)求導，山函數(shù)在x=2處的切線斜率為夕即可求山a的值，進而町得函數(shù)的單調(diào)性;(2)要1止9(x)>1,即證xlnx>土一構(gòu)造函數(shù)上0)=xlnx,77?(x)=臺-彳，用導數(shù)的方法求函數(shù)用)的最小值和函數(shù)加⑴的最人值?即對得岀結(jié)論.【詳解】(1)f(X)=彳(夕)'=]2^=砒"1乎，由切線斜率k=f'(2)=ae-^~=p解得a=2.??-/(x)-,其定義域為(一s,0)U(0,+co),/(x)-2e'T乎，令f(x)>0,解得x>1?故/'⑴在區(qū)間(1,+oo)I心調(diào)遞增：令f(x)V0,解得x<1,FUH0,故/'(x)在區(qū)間(一8,0)和區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞誡：(2)由(I)知g(x)=ex\nx+乂一?定義域為(0,+8).從而g(x)>1等價J-x\nx>三一匕xee設h(x)=x\nx(x>0),則=lnx+1,/t(-)=In-+1=0..??當xe(0,丄)時，/i(x)<0,當xG(p+oo)時，h'(x)>0.故h(x)在區(qū)間(0,*)I沖調(diào)遞誠，在區(qū)間Q,+oo)I沖?調(diào)遞增，從而心)在(0,*)的嚴小值為hQ)=-j.設7H(X)=舌一扌(X>0),則加(尤)=孚，???當XW(0,1)時，771(X)>0-當Xe(1,十8)時，7R(X)<0.故m(x)在IX間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減,從而？n(x)在(0,+8)的垠人值為m(l)=-綜上所述,在區(qū)e間(0,+8)上恒冇h(x)>m(x)成立，即g(x)>1.點評：本題卞要?考代了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值和最值,:考任了曲?數(shù)的思想和考住的發(fā)散思維能力，屬于中檔題.利用&數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，首先求岀函數(shù)的定義域，忽略定義域是最常見的錯誤：證明不等式通過構(gòu)造新函數(shù)，研究新I的數(shù)的單調(diào)性，求得其最值足最常用的思想方法,木題解答的難點是(3)屮逋過構(gòu)造新函數(shù)并求得其極值點，從而判斷p的范圍是解題的關(guān)鍵.例4(2020?全國高三七題練習(理〉)已知函數(shù)/(x)=ll^^(t/eA),g(x)=cx-l.A求/(x)的譏調(diào)區(qū)間：若^(x)>/(x)在(0,+a)上恒成立，求。的取值范圍.I—[ny—/；思路分析：1)對函數(shù)進行求導得f\x)=——；一,再解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)將不等式恒成立等價轉(zhuǎn)化為a<xex-x-]nx,再構(gòu)造函數(shù)/7(a-)=xel-Inx,利用導數(shù)研究函數(shù)Mx)的最小値用導數(shù)研究函數(shù)Mx)的最小値?(1)(x>0).當0<xv4時，f\x)>0J(x)單調(diào)遞增:當x〉c」時,/U)<o,/W單調(diào)遞減.所以/(力的單訓遞増區(qū)間為(O,d“)，單調(diào)遞減區(qū)間為(d°,+耳)⑵由g⑴>/0)得e*-l>lnA1aX也就是a<一X-InX，令/?(x)=xe1-x-lnx則h\x)=cA+-1--=(x+l)(cJ--),由x>0知,x+i>0.XX設/(x)=er-丄，/V)=ev+4>0?心)在(0，+8)弔調(diào)遞增，Xf又/(i)=V^-2<0,/(l)=e-l〉0,所以療在％w(*,1)便得f(兀)=0,x1即L二一.%當xw(O,Xo)時，h\x)<0,〃(x)在(0,旺)單調(diào)遞減；當xw(X0,+oo)時，h*(x)>0,h(x)在(％,+s)單調(diào)遞增;所以/?(%=h(xj=帶一兀一In竝一I一%+%=I.所以"的取值范國是(-8,1].點評：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范國；也可分離變星,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題加成立問題的處理方法:(I)根拯參變分離.轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最値問題；(2)若/(X)>0就町討論參數(shù)不同取值卜的暢數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值,最終轉(zhuǎn)化為/(x)luin>0,若f(x)<0恒成立,就轉(zhuǎn)化為/(x)max<0；(3)若f(X)>如恒成立,可轉(zhuǎn)化為f(X)min>PWmax-方法三局部構(gòu)造方法導讀整體與局部是認識論重要的哲學視角，在研究函數(shù)問題要學會從不同視角觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，如果從整體觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)感覺束手無策或復雜時，可以從觀察函數(shù)的局部結(jié)構(gòu)入手，可能會柳暗花明。#（3〉在考慮函數(shù)最值時,除了依靠單調(diào)性,也可根據(jù)最值點的出處?即“只有邊界點與極值點才是最值點的候選點所以有的討論點就集屮在匕極值點”是否落在定義域內(nèi).?廠（x）為/⑴的導函數(shù).f(x)=-ax+仝-(a?廠（x）為/⑴的導函數(shù).例23?已知函數(shù)1門兀（1）當“=0時，求函數(shù)/（□的極值；⑵若3xpx,c[e,e2],便/（兀）5廠（兀）+°+扌成立，求實數(shù)。的最小值.解析：（1）/⑴的定義域為（0J）O（1.+OD）,,“、lnx-1當“0吋，/心耐,令/U)=0,得工=s列表得（0,1）(1,￡)e（S+CC）廣⑴——0+fM極小值e/所以當X=￡時，/（X）取得極小值，且極小值為J無極大值.（2）若冇,兀2寸?/]，f（X,）</r（x2）+￡7+-^成立o/（再）.<廠（衛(wèi)）+^+-.、\nx-\由（1）知，JU）=-￡7+-~,（lnx）所以/*(x2)+t/+|=In兀一所以/*(x2)+t/+|=In兀一I(2)2則原式=一尸+/+2I41的最大值為1.X11故存在xie\e,e2\,/(x))<l,即一co\+訂;SI，化為a>令h(x)令h(x)=_丄+—!—xInx則h\x)=—則h\x)=—1_(ln,x)2-xx(lnx)?x'(lnx)2對于函數(shù)0(x)=Inx-x/x.x>0)?0(X)=丄_對于函數(shù)0(x)=Inx-x/x.x>0)?0(X)=丄_X12>/x2—>/x2x3x=4時，爐⑴取最大值為ln4-2<0,所以lnx<Vx所以(Inx)2<x.故hF(x)<0fn成立，A(x)ftjteTe,e~為減函數(shù),最小值為—■—,曠2所以dn—t-h—?a的最小值為—7"*—?e22e22例24.己知函數(shù)幾兀)"+bx.討論/a)的單調(diào)性；若曲線y=fW的一條切線方程為2x-y+i=o,(i〉求b的值：(ii)若尤2>勺>()時，-*2)V(勺-勺)(皿］+皿2+1)恒成立，求實數(shù)巾的取值范囲解析：由/'(x)=/+處得/■'(%)=ex+b,若b“,則/(X)>0,Bp/(x)=ex+bx在(-~+8)上是增附數(shù);若b<0,令/(X)>0得x>ln(-b)t令/(x)<0得x<ln(-6),即/'(*)=/+&在(-8山】(-巧)上是單調(diào)減函數(shù)，在(In(-b),+8)上是單調(diào)增函數(shù).⑵⑴設切點為(％必)，f(x)=『+bx得=r+b由題意得e+b=27o=e+bx°2勺-為+仁°,消去b與兒得JTXxoe°_e°+1=(),令9(x)=xex-/+1,g(x)=xex9XVO時，"a)<0；X>O時，“(x)>0；*=0時，90)=0；.?.〃(%)在(-8,0)I.是減用|數(shù)，在(0,+co)I.是增函數(shù)，A^Wmin=^(0)=0,即g{x)=xex-ex4］僅有一個零點x=Ot即方程訂-e°+1=0僅冇一個根x=o,ab=2-=1(ii)由Ci)知fCO="+心z2-22X/Vi)-/(x2)<(x1-x2)(mx1+m^2+l)z2-22X時2>xi>0知,上式等價于函數(shù)=/W-mx2-x=er-mx2在①+8)為増函數(shù)eTOC\o"1-5"\h\z?x2m<???</>(x)=e-2mx>0,g|Jx、ex宀-1)h(x)=—h(x)=——-一令x9(x>0),Hba)V()時.0<x<1.h(x)>0時.x>1.h(x)=()時，x=1???力(兀)在((),1)上單調(diào)遞減,在(1,48)上單調(diào)遞增,efe???/1Wmin=/1(1)=e,貝Ij2m<e,所以實數(shù)汝的范圍為\".例25.已知函數(shù)/W=ax-a+lnxt⑴討論函數(shù)厲尢)的單調(diào)性;(2)當兀€(1,+8〕時，曲線y=/(x)總在曲線y=d("2-l)的下方，求實數(shù)a的取值范闈.解析?1/(x)=a+—(1)由fW=ax-a+lnx可得f(x)的定義域為(0,+9)，冃.乙若a>0,則f'M>0,函數(shù)兀町在①+?。┥蠁握{(diào)遞增;①—①—口丿上單調(diào)遞坯V玄<p若也=0,則當口時，r（x）>oTr（x）在當叫林，fMvo./丿上單調(diào)遞減.綜上，當□巨。時，函數(shù)/〔勸在（A+s）上單調(diào)遞增：『目（二十司當a<（）時，Kx）^\口丿上單調(diào)遞增，桿I口丿上單調(diào)遞減.■2）原命題等價丁不等式-l）>ax-a+inx^xe（i,+⑷）上恒成立即VzEClf+oo）p爪等式a（^2-z）>inx恒成立+即證當時，。大于”-工的最大值.hM=-<l(x>I)又丁當x>1時，(KTnx<x-1<x(x-1}f二x-x粽上所述，【方法點晴】本題止要芳查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式怕成立問題，屬于難題.不等式恒成立問題常見方法；①分離參數(shù)⑴恒成立（心?？Ъ纯桑┗騐f（町恒成立嚴監(jiān)fd）亦即可九②數(shù)形結(jié)臺『=