2024年初中升學考試專題復習數學總復習（按知識點分類）因式分解的應用

因式分解的應用1．（2023?成都）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個正整數為“智慧優(yōu)數”．例如，16＝52﹣32，16就是一個智慧優(yōu)數，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進行研究．若將智慧優(yōu)數從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數是15；第23個智慧優(yōu)數是57．【考點】因式分解的應用；一元一次不等式的整數解．【分析】根據新定義m2﹣n2，可以分別列出m2和n2的值，進而即可求解．【解答】解：根據題意，且m﹣n＞1，當m＝3，n＝1，則第1個智慧優(yōu)數為：32﹣12＝8，當m＝4，n＝2，則第2個智慧優(yōu)數為：42﹣22＝12，當m＝4，n＝1，則第3個智慧優(yōu)數為：42﹣12＝15．正整數的平方分別為：1，4，9，16，25，36，49，64，81．當m＝5，n＝3，則第3個智慧優(yōu)數為：52﹣32＝16，當m＝5，n＝2，則第3個智慧優(yōu)數為：52﹣22＝21，當m＝5，n＝1，則第3個智慧優(yōu)數為：52﹣12＝24，以此類推，當m＝6時，有4個智慧優(yōu)數，同理m＝7時有5個，m＝8時，有6個，1+2+3+4+5+6＝21，又兩數之間的差越小，平方越小，所以后面也有智慧優(yōu)數比較小的第22個智慧優(yōu)數，當m＝9時，n＝5，第22個智慧優(yōu)數為：92﹣52＝81﹣25＝56，第23個智慧優(yōu)數，當m＝11時，n＝8，第23個智慧優(yōu)數為：112﹣82＝121﹣64＝57，故答案為：15，57．【點評】本題考查新定義下智慧優(yōu)數的計算和分類，根據規(guī)律計算求解，解題的關鍵是能有分類進行求解．2．（2023?涼山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x3﹣10x2+5x+2027的值等于2023．【考點】因式分解的應用．【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，將所求式子變形為3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整體代入計算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴3x3﹣10x2+5x+2027＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027＝3x﹣4﹣3x+2027＝2023，故答案為：2023．【點評】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是整體代入思想的應用．因式分解的應用13．（2023?河北）若k為任意整數，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】先根據完全平方公式進行計算，再合并同類項，分解因式后再逐個判斷即可．【解答】解：（2k+3）2﹣4k2＝4k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝3（4k+3），∵k為任意整數，∴（2k+3）2﹣4k2的值總能被3整除，故選：B．【點評】本題考查了因式分解的應用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此題的關鍵．因式分解的應用17．（2023?十堰）若x+y＝3，xy＝2，則x2y+xy2的值是6．【答案】6【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入數據計算即可．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了解因式的應用中的整體思想，提公因式xy，出現兩個整體xy、x+y是關鍵，代入數據計算即可．因式分解的應用13．（2023?深圳）已知實數a，b，滿足a+b＝6，ab＝7，則a2b+ab2的值為42．【答案】42．【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝7×6＝42．故答案為：42．【點評】本題考查了因式分解．14．（2023?濟寧）已知實數m滿足m2﹣m﹣1＝0，則2m3﹣3m2﹣m+9＝8．【答案】8．【分析】由已知條件可得m2﹣m＝1，將2m3﹣3m2﹣m+9先變形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后將m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再將m2﹣m＝1代入運算即可．【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m3﹣3m2﹣m+9＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9＝2m﹣m2﹣m+9＝﹣m2+m+9＝﹣（m2﹣m）+9＝﹣1+9＝8，故答案為：8．【點評】本題考查因式分解的應用及代數式求值，將代數式拆項并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解題的關鍵．因式分解的應用14．（2023?嘉興、舟山）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為（x+1），請你寫出一個符合條件的多項式：x2﹣1（答案不唯一）．．【考點】因式分解的應用．【分析】根據題意，可以寫出分解因式中含有（x+1）的一個多項式，本題答案不唯一，符合