2023高考數學理科第一輪復習專項：幾何概型

【文庫獨家】第九章第六節(jié)幾何概型一、選擇題1．已知三棱錐S-ABC，在三棱錐內任取一點P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)2．如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平等線相碰的概率是()A.eq\f(a－r,a) B.eq\f(a－r,2a)C.eq\f(2a－r,2a) D.eq\f(a＋r,2a)4．已知P是△ABC所在平面內一點，＋＋2＝0，現將一粒黃豆隨機撒在△PBC內，則黃豆落在△PBC內的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)5．在區(qū)間(0,1)內任取兩個實數，則這兩個實數的和大于eq\f(1,3)的概率為()A.eq\f(17,18) B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,18)6．在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數分別記為a，b，則使得函數f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)二、填空題7．在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．8．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于eq\f(9,8)的概率為________．9．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≥－x,2x－y－3≤0))表示的平面區(qū)域為M，x2＋y2≤1所表示的平面區(qū)域為N，現隨機向區(qū)域M內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為________．三、解答題10．圖(2)中實線圍成的部分是長方體(圖(1))的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是eq\f(1,4)，求此長方體的體積．11．已知函數f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個數中任取的一個數，求上述函數有零點的概率；(2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數，求f(1)>0成立時的概率．12．已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M.(1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機取一個數作為x，從集合Q中隨機取一個數作為y，求復數z為純虛數的概率；(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內的概率．詳解答案一、選擇題1．解析：當P在三棱錐的中截面與下底面構成的三棱臺內時符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).答案：A2．解析：點E為邊CD的中點，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).答案：C3．解析：∵硬幣的半徑為r，∴當硬幣的中心到直線的距離d>r時，硬幣與直線不相碰．∴P＝eq\f(2a－r,2a)＝eq\f(a－r,a).答案：A4．解析：由題意可知，點P位于BC邊的中線的中點處．記黃豆落在△PBC內為事件D，則P(D)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).答案：D5．解析：設這兩個實數分別為x，y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))，滿足x＋y>eq\f(1,3)的部分如圖中陰影部分所示．所以這兩個實數的和大于eq\f(1,3)的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,18).答案：A6．解析：因為f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由幾何概型的概率計算公式可知所求概率為P＝eq\f(2π×2π－π×\r(π)2,2π×2π)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空題7．解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出三個扇形，當P落在其內時符合要求．∴P＝eq\f(3×\f(1,2)×\f(π,3)×12,\f(\r(3),4)×22)＝eq\f(\r(3)π,6).答案：eq\f(\r(3),6)π8．解析：直線與兩個坐標軸的交點分別為(eq\f(3,m＋2)，0)，(0，eq\f(3,3－m))，又當m∈(0,3)時，eq\f(3,m＋2)>0，eq\f(3,3－m)>0，∴eq\f(1,2)·eq\f(3,m＋2)·eq\f(3,3－m)<eq\f(9,8)，解得0<m<2，∴P＝eq\f(2－0,3－0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．解析：如圖，△AOB為區(qū)域M，扇形COD為區(qū)域M內的區(qū)域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×3eq\r(2)＝3，S扇形COD＝eq\f(π,4)，所以豆子落在區(qū)域N內的概率為P＝eq\f(S扇形COD,S△AOB)＝eq\f(π,12).答案：eq\f(π,12)三、解答題10．解：設長方體的高為h，則圖(2)中虛線圍成的矩形長為2＋2h，寬為1＋2h，面積為(2＋2h)(1＋2h)，展開圖的面積為2＋4h；由幾何概型的概率公式知eq\f(2＋4h,2＋2h1＋2h)＝eq\f(1,4)，得h＝3，所以長方體的體積是V＝1×3＝3.11．解：(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個數中任取的一個數的基本事件總數為N＝5×5＝25個．函數有零點的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因為事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率為P＝eq\f(12,25)，即函數f(x)有零點的概率為eq\f(12,25).(2)a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此為幾何概型．所以事件“f(1)>0”的概率為P＝eq\f(\f(1,2)×3×3,4×4)＝eq\f(9,32).12．解：(1)記“復數z為純虛數”為事件A.∵組成復數z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現的可能性相等，屬于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i，∴所求事件的概率為P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))))內，屬于幾何概型，該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求事件構成的平面區(qū)域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x≥