向量及其線性運(yùn)算

關(guān)于向量及其線性運(yùn)算第1頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運(yùn)算

第八章第2頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或第3頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.第4頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三規(guī)定:零向量與任何向量平行

;平行向量：若向量

a與

b方向相同或相反,a與

b平行,

a∥b;記作則稱(chēng)

向量共線：當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一

點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在一條直線上

.因此，兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線.時(shí)，如果個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上

.

就稱(chēng)這個(gè)向量共面.向量共面：當(dāng)把個(gè)向量的起點(diǎn)放在同一

點(diǎn)第5頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律

:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加

.第6頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三第7頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.向量的減法三角不等式一般地，任給向量及點(diǎn)第8頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三3、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：第9頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1.

設(shè)M

為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),第10頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.兩個(gè)向量的平行關(guān)系第11頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得第12頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ第13頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.此式稱(chēng)為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量

r可用向徑

OM表示.第14頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)

A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

:有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)

O(0,0,0);第15頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三坐標(biāo)軸:

坐標(biāo)面:第16頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:第17頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)

M,

使解:

設(shè)

M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即第18頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為

AB

的中點(diǎn)

,于是得中點(diǎn)公式:第19頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與第20頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.在

z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn)

.第21頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例4.已知兩點(diǎn)和解:求第22頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或第23頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量

任取空間一點(diǎn)

O,稱(chēng)

=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類(lèi)似可定義向量與軸,軸與軸的夾角

.與三坐標(biāo)軸方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.

記作特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.的夾角

,,為其方向角.第24頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三方向余弦的性質(zhì):第25頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角

.解:計(jì)算向量第26頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例7.設(shè)點(diǎn)

A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點(diǎn)

A

的坐標(biāo)

.則因點(diǎn)

A

在第一卦限

,故于是故點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為

向徑

OA

與

x

軸

y軸的夾

第27頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三解第28頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三第29頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.向量在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影第30頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三空間向量在軸上的投影

稱(chēng)為向量在軸上的分向量.設(shè)數(shù)稱(chēng)為向量在軸上的投影，記作或第31頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)則或記作向量投影的性質(zhì)性質(zhì)1其中為向量與軸的夾角性質(zhì)2性質(zhì)3第32頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三例8一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)，它在軸、

軸、軸上的投影依次為.求這向量的起點(diǎn)的坐標(biāo).解

設(shè)

的坐標(biāo)為由已知可得所以即解例9已知，它與的夾角為，求.第33頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三解第34頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量在軸上的投影與投影定理.第35頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考題1已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線試用表示平行四邊形四邊上對(duì)應(yīng)的向量.解答第36頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考題2解答對(duì)角線的長(zhǎng)為第37頁(yè)，講稿共43頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)題1