人教高中數(shù)學(xué) 第課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型一根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式

【典型例題】1.f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=x(x-1)，則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=______.2.已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且滿足f(x)＋g(x)＝求f(x)，g(x).【解題探究】1.對(duì)于題1，應(yīng)如何設(shè)自變量x？2.題2中，如何應(yīng)用“f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)”這一條件？探究提示：1.應(yīng)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi).2.應(yīng)用函數(shù)奇偶性，需出現(xiàn)f(-x)，g(-x)，故用-x代替原式中的x，列出方程組，解關(guān)于f(x)與g(x)的方程組.【解析】1.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，-x∈(-∞,0)，f(-x)=-x(-x-1).又f(x)為R上的奇函數(shù)，所以x∈(0,+∞)時(shí)，-f(x)=-x(-x-1)，即f(x)=-x(x+1).答案：-x(x+1)2.由f(x)＋g(x)＝①把x換成-x，得f(-x)＋g(-x)＝∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(-x)＝f(x).又∵g(x)為奇函數(shù)，∴g(-x)＝-g(x)，∴f(x)－g(x)＝②由①②得【拓展提升】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式的一般步驟(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi).(2)轉(zhuǎn)化代入已知區(qū)間的解析式.(3)利用函數(shù)f(x)的奇偶性寫出-f(-x)或f(-x)，從而解出f(x).【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f(x)=x2-2x-3，求函數(shù)y=f(x)的解析式.【解題指南】設(shè)x＜0，則-x＞0，利用偶函數(shù)的定義，f(-x)=f(x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【解析】令x＜0，則-x＞0,故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.又f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，故f(x)=x2+2x-3，∴類型二函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用

【典型例題】1.若f(x)是R上的偶函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，則下列各式成立的是()A.f(-2)＞f(0)＞f(1)B.f(-2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(-2)D.f(0)＞f(-2)＞f(1)2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上遞增，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范圍.【解題馬探究】1.題1中如金何將f(袍-2腐)轉(zhuǎn)化駕為自惡變量超在［0，+∞束)上與芹之相辨等的古函數(shù)牙值？2.偶函恨數(shù)在重兩個(gè)吊對(duì)稱雹區(qū)間宜上的迅單調(diào)各性有里什么嶄關(guān)系股？解圖決題2的關(guān)應(yīng)鍵點(diǎn)指是什政么？探究但提示獵：1.利用詳函數(shù)胡的奇儲(chǔ)偶性敘，因俗為f(待x)在R上是宿偶函村數(shù)，族所以f(討-2旅)=災(zāi)f(針2)越.2.偶函綢數(shù)在舊兩個(gè)敵對(duì)稱鋪區(qū)間哭上的槍單調(diào)怒性相膠反，州即若攀一個(gè)迫區(qū)間籌是增騎函數(shù)當(dāng)，則為相應(yīng)永對(duì)稱逆區(qū)間筐上為氧減函胡數(shù).解決秒本題闊的關(guān)悅鍵是廈去掉裂“f”，轉(zhuǎn)大化為議具體籍不等傲式求興解.【解析】1.選B.您f(嶺x)是R上的卻偶函朱數(shù)，燈所以f(仗-2遭)=匯f(忙2)端.又f(若x)在［0，+∞旅)上是門增函控?cái)?shù)，允故f(雷0)＜f(總1)＜f(跟2)，即f(賭-2條)＞f(祖1)＞f(場(chǎng)0)義.2.由f(鍋x)在R上是鋪偶函頁(yè)數(shù)，喇在區(qū)怖間(－∞憶，0)上遞狹增，蘇可知f(揚(yáng)x)在(0，＋抖∞)上遞羞減.∵2畝a2+a河+1幻玉=2歪(a歐+腫)2+＞0，2a2-2釋a+杜3=答2(促a-弄)2+＞0，且f(賞2a2+a碌+1有)＜f(蓮2a2-2淋a+逆3)，∴2a2+a源+1＞2a2-2刷a+謀3，即3a司-2＞0，解常得a＞【互動(dòng)闖探究】若題2中“快偶函包數(shù)”把改為祝“奇魂函數(shù)倒”，泡則結(jié)同果如索何？【解析】若f(茫x)為R上的被奇函術(shù)數(shù)，譽(yù)在區(qū)檔間(-幸∞，0)上遞移增，榴則f(撤x)在(0，+∞綿)上遞利增，又∵f(妥2a2+a打+1秤)＜f(吵2a2-2股a+勉3)，∴2a2+a溝+1＜2a2-2標(biāo)a+蔬3，即3a藏-2＜0，解峰得a＜【拓展冤提升】1.函數(shù)敞奇偶復(fù)性和隸單調(diào)班性的內(nèi)關(guān)系(1慌)若f(蠶x)是奇趟函數(shù),且f(醫(yī)x)在［a,居b］上丘是單癢調(diào)函落數(shù),則f(姻x)在［-b猛,-氧a］上羅也為導(dǎo)單調(diào)繭函數(shù),且具氧有相畝同的神單調(diào)哭性.(2真)若f(鋒x)是偶鼠函數(shù),且f(救x)在［a,遲b］上則是單遞調(diào)函奇數(shù),則f(冤x)在［-b本,-性a］上肝也為邪單調(diào)芬函數(shù),且具批有相述反的耗單調(diào)詞性.2.利用轟單調(diào)殿性和加奇偶偶性解騰不等遮式的常方法(1極)充分短利用綠已知賢的條激件，粘結(jié)合交函數(shù)醉的奇秒偶性董，把揪已知楚不等幕式轉(zhuǎn)弓化為f(使x1)＞f(惠x2)或f(濫x1)＜f(給x2)的形脾式，脖再利鞋用單厲調(diào)性啄脫掉服“f”求解.(2彩)在對(duì)淚稱區(qū)絹間上昂根據(jù)圾奇函施數(shù)的銳單調(diào)里性一謙致，裙偶函狂數(shù)的挎單調(diào)田性相津反，纏列出謎不等慈式或鑼不等紐奉式組級(jí)，求休解即黃可,同時(shí)貸要注告意函證數(shù)自快身定派義域許對(duì)參匠數(shù)的義影響.【變式辨訓(xùn)練】若偶萍函數(shù)f(稻x)在區(qū)稱間［3，7］上咳是增青函數(shù)熄且最籠大值蠻為5，那米么f(避x)在區(qū)盾間［-7，-3］上溪是(鑼)A.增函擔(dān)數(shù)且姨最小但值是5B.增函粥數(shù)且鑄最大窄值是5C.減函紛數(shù)且墨最大獄值是5D.減函秘?cái)?shù)且系最小梯值是5【解析】選C.偶函辮數(shù)圖嫩象關(guān)扇于y軸對(duì)檔稱，f(甘x)在區(qū)惱間［3，7］上監(jiān)是增爸函數(shù)奧，則散在區(qū)曉間［-7，-3］上施是減夜函數(shù)間，且四最大滾值為5.【規(guī)范企解答】函數(shù)毅奇偶雖性與昌單調(diào)捏性的撓綜合灘應(yīng)用【典例】【條件情分析】【規(guī)范騰解答】(1這)令x1=x2=1①得f(貼1)唯=f貞(1局)+烘f(研1)布,∴f擇(1土)=盤0.伶……止……恒……冰……軋…碑3分(2歡)令x1=x2=－1①,則f(不-1詢)=嶄0，……喜……兵……運(yùn)……縱…鋸4分令x1=－1,珠x2=x①，∴f(－x)慰=f(牧x)，又定馳義域肯為{x鐘|x尖≠0怎}，關(guān)嚼于原晌點(diǎn)對(duì)齡稱，∴f(退x)為偶魚函數(shù).悄……孝……勝……均……詢…旱7分(3浮)∵貓f(廟4)甜=1柔,又f(腎x1·x2)=厚f(嘩x1)+廉f(廚x2),∴f法(4等)+贊f(航4)捏=f替(4暢×4名)=螞f(脆16銀),∴f棟(1南6)變+f街(4偶)=闖f(助16金×4屯)=奪f(涉64察),∴f矩(6體4)瓜=f貿(mào)(4諒)+怖f(覽4)通+f量(4準(zhǔn)),∴f綠(6聲4)串=3裂.②……亭……季……也……漢…票8分∴f(愉3x棕+1泳)+庭f(－6)擔(dān)≤3等價(jià)導(dǎo)于f(求-6昆(3絨x+眾1)球)≤貞3,∴f(頓|-么6(清3x標(biāo)+1賤)|至)≤謀f(辜64魂),∴嘩…皮……孤……幕……漆…骨1私0分解得……算……迎……調(diào)……始12分【失分叉警示】【防范腫措施】1.賦值扭法的蠢應(yīng)用抽象皺函數(shù)閣的求宰值與續(xù)性質(zhì)凝討論造，往旬往需怕要恰田當(dāng)?shù)孛阗x值霉，此路時(shí)要想明確哥利用江哪些誘式子艱說(shuō)明程問題壇，如河本題寒中判自斷函微數(shù)奇鵝偶性棚，看f(省-x)與f(劈燕x)的關(guān)扭系，田關(guān)鍵巖是出曠現(xiàn)f(態(tài)-x)與f(譯x)之后葡，不堆要出曲現(xiàn)多伏余變川量.2.偶函竄數(shù)的撥一個(gè)赤重要檢性質(zhì)根據(jù)啊偶函踐數(shù)的補(bǔ)定義晨，可陣得f(牢x)=f(屑|x|)，從嫩而把規(guī)自變兵量都御集中姻在區(qū)艱間(0，+∞促)上，抬應(yīng)用第單調(diào)叼性時(shí)濱，就娃可以斜避免眼分自丑變量顫在不剩同區(qū)就間內(nèi)顏的繁前瑣討想論，塞把f(孝-6吸(3鏡x+邁1)襯)寫成f(反|-胸6(尺3x杏+1恩)|桶)，避尖免對(duì)-6拜(3睡x+鉤1)的符逗號(hào)討仔論.【類題獸試解】已知當(dāng)函數(shù)y=f(透x)是定獨(dú)義在R上的疊奇函敗數(shù)，刪且當(dāng)x≥揭0時(shí)，f(鮮x)=旁-x2+a察x.(1擴(kuò))當(dāng)a=烘-2時(shí)，認(rèn)求函悅數(shù)f(旬x)的解潤(rùn)析式.(2察)若函戒數(shù)f(床x)為R上的霜單調(diào)冊(cè)減函醋數(shù)，①求a的范懷圍；②若展對(duì)任豆意實(shí)粉數(shù)m,換f(優(yōu)m-遵1)眾+f綁(m2+t潛)<識(shí)0恒成歌立，帽求實(shí)遇數(shù)t的取遇值范畢圍.【解析】(1芒)當(dāng)x<陡0時(shí)，-x駱>0盒,又因文為f(斯x)為奇異函數(shù)非，且a=猾-2債,所以f(鋼x)=丟-f(揚(yáng)-x)=透x2-2艱x，所誤以(2吹)①當(dāng)a≤柱0時(shí)，弄對(duì)稱撐軸x=眨≤0倍,所以f(消x)=芳-x2+a苦x在［0,繭+∞涌)上單旅調(diào)遞黨減,由于微奇函扶數(shù)在智關(guān)于釣原點(diǎn)課對(duì)稱舉的區(qū)沾間上飲單調(diào)尸性相兄同，永所以f(匠x)在(-岸∞,雞0)上單竹調(diào)遞乓減,又在(-肌∞,榨0)上f(挺x)>旦0,在(0譽(yù),+辦∞)上f(穿x)<竟0,所以躍當(dāng)a≤基0時(shí)，f(皺x)為R上的蹄單調(diào)杠減函莖數(shù).當(dāng)a>圍0時(shí)，f(肚x)在(0，)上單脆調(diào)遞挑增，朝在(災(zāi)+∞立)上單園調(diào)遞減，線不合賭題意.所以梳函數(shù)f(跪x)為單詞調(diào)減壁函數(shù)掛時(shí)，a的范漸圍為a≤胳0.②∵f(則m-詞1)體+f普(m2+t鋤)<絕0,腹∴f再(m數(shù)-1鍋)<撥-f園(m2+t蘿),又∵f(服x)是奇弟函數(shù)秧，∴f(秀m-誕1)騎<f妄(-碧t-油m2),又∵f(桌x)為R上的膚單調(diào)售減函栽數(shù)，仰∴m-格1>窩-t送-m2恒成嬸立,∴t巾>-鴉m2-m絲式+1關(guān)=-閉(m飄+耀)2+恒成爽立,∴狀t>1.若函盤數(shù)f(普x)＝x3，x∈剖R，則癥函數(shù)y=f(算-x)在其革定義鴉域上邁是(停)A.單調(diào)灰遞減共的偶錢函數(shù)B.單調(diào)輛遞減撓的奇差函數(shù)C.單調(diào)鍛遞增議的偶環(huán)函數(shù)D.單調(diào)暖遞增格的奇店函數(shù)【解析】選B.查f(綠-x)=巷-x3為奇伐函數(shù)饒，設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2,則-x1＞-x2，f(趟-x1)-艘f(疑-x2)＝∴f(掛-x1)＞f(順-x2)，f(龜-x)為減橫函數(shù).2.已知f(毒x)是定罩義在R上的宵奇函啊數(shù)，咬當(dāng)x≥然0時(shí)，f(廉x)＝x2-2尾x，則f(匯x)在R上的勝表達(dá)嫂式是(閑)A.辰y(tǒng)=x敲(x合-2說(shuō))B.級(jí)y=x歡(|蜂x|掃+2彩)C.墨y=|坦x|械(x含-2嚴(yán))D.形y=x租(|勝x|印-2束)【解析】選D.由x≥夜0，f(植x)＝x2-2梢x，f(英x)是定易義在R上的體奇函數(shù)暴得：甚當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f(田x)＝-f(出-x)＝-(僻x2+2去x)，∴愛即f(遵x)＝x(宿|x點(diǎn)|-暗2)吳.3.定義燃在R上的術(shù)偶函走數(shù)f(寄x)在［0，＋懇∞)上是勞增函跟數(shù)，塵若f(聞a)＜f(既b)，則擺一定逗可得(席)A.六a＜bB.悠a＞bC.賄|a|＜|b難|蓬D巷.0聾≤a＜b或a＞b≥封0【解析】選C.對(duì)于會(huì)定義岸域?yàn)镽的偶酬函數(shù)目，若x≥肥0，則f(頓|x|)＝f(水x)；若x＜0，則f(造|x|)＝f(柄-x)＝f(穩(wěn)x).所以斜，定詳義域糕為R的偶還函數(shù)f(酬x)對(duì)于眠任意x∈吵R，有f(殼|x|)＝f(稿x)．于族是由f(惹a)＜f(形b)，可士得f(核|a|)＜f(著|b|)．而|a卡|≥巡壽0，再岔由f(襖x)在［0，＋橫∞)上是術(shù)增函谷數(shù)可層得|a作|＜|b然|，故概選C.4.函數(shù)f(