專題導數(shù)文科課件

新課標高考的考查：注意基本概念、基本性質、基本公式的考查及簡單的應用；高考中本單元的題目一般為選擇題、填空題，屬于中低檔題；而在解答題中的考查卻有很高的綜合性，并且與思想方法緊密結合，主要考查用導數(shù)研究函數(shù)的性質，用函數(shù)的單調性證明不等式等.平均變化率的定義:函數(shù)y=f(x)從到的平均變化率是說明：(1)平均變化率就是運動物體的平均速度(2)割線AB的斜率，其中A(x1，y1)，B(x2,y2)導數(shù)定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導數(shù),記作或,即說明：(1)導數(shù)即瞬時變化率，(2)導數(shù)的物理意義是運動物體的瞬時速度基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:常函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)導數(shù)的運算法則中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是()DA．3B．2C．1D．02．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()AA．a(chǎn)＝1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1B．a(chǎn)＝－1，b＝1D．a(chǎn)＝－1，b＝－1f(x0＋2Δx)－f(x0)

3Δx)B3．若lim

△x?0

2A. 3＝1，則f′(x0)等于(

3

B.

2C．3D．2x＋y－2＝04．曲線y＝2x－x3在點(1,1)處的切線方程為___________.答案：A2．(2010·江西高考)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝ (

)A．－1B．－2C．2D．0解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.答案：Bμ′(x)±v′(x)μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)3．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系在區(qū)間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減．4．函數(shù)的單調性與極值的關系一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，且在點a處有f′(a)＝0.(1)若在x＝a附近的左側導數(shù)

，右側導數(shù)

，則

f(a)為函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)若在x＝a附近的左側導數(shù)

，右側導數(shù)

，則

f(a)為函數(shù)y＝f(x)的極大值．小于0大于0大于0小于0考點1導數(shù)概念例1：若f′(x0)＝－3，則lim

△x?0f(x0＋h)－f(x0－h(huán))

h等于()A．－3C．－9B．－6D．－12【互動探究】等于()f(x0－Δx)－f(x0)

Δx

1．設函數(shù)f(x)在x0

處可導，則lim

△x?0A．f′(x0) B．－f′(x0)C．f(x0) D．－f(x0)Bf[x0＋(－Δx)]－f(x0)解析：lim

△x?0f(x0－Δx)－f(x0)

Δx＝－lim

△x?0(－Δx)＝－f′(x0)，故選B.考點2曲線的幾何意義

例2：如圖4－1－1，函數(shù)y＝f(x)的圖像在點P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝________.

圖4－1－1

解題思路：區(qū)分過曲線P處的切線與過P點的切線的不同，后者的P

點不一定在曲線上．

解析：觀察圖4－1－1，設P(5，f(5))， 過P點的切線方程為

y－f(5)＝f′(5)(x－5)， 即y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它與y＝－x＋5重合， 比較系數(shù)知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故f(5)＋f′(5)＝2.

求切線方程時要注意所給的點是否是切點．若是， 可以直接采用求導數(shù)的方法求；若不是則需設出切點坐標．[思路點撥]

(1)驗證點P在曲線上，求導后，把P點坐標代入便得斜率，(2)設出切點坐標，找等式求坐標．(3)求曲線過點P(1,0)的切線方程．(3)求曲線過點P(1,0)的切線方程．求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0的導數(shù)，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率；(2)在已知切點坐標P(x0，f(x0))和切線斜率的條件下，求得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①當曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為x＝x0；②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解．［小結：］[例2]已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(x＋1)＋x2－10x的一個極值點．(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間．[思路點撥]

(1)由f′(3)＝0求a的值，(2)利用導數(shù)求函數(shù)單調性．求可導函數(shù)的單調區(qū)間的一般步驟：(1)確定定義域區(qū)間；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得函數(shù)的遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，得函數(shù)的遞減區(qū)間．注意：當一個函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間有多個時，不能盲目將它們取并集．［小結：］1.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：(1)確定定義域．(2)求導數(shù)f′(x)．(3)①若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢驗f′(x)在方程根左右函數(shù)值的符號，求出極值．(當根中有參數(shù)時要注意分類討論)②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況，從而求解．[例3]設函數(shù)f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范圍；[例3]設函數(shù)f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范圍；在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結果應與實際情況相符合．用導數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點．[例4]某集團為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調查，每年投入廣告費t(百萬元)可增加銷售額約－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該集團將當年的廣告費控制在300萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使集團由廣告費而產(chǎn)生的收益最大？[自主解答]

(1)設投入廣告費t(百萬元)后由此增加收益為f(t)(百萬元)，則f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴當t＝2時，f(t)max＝4.即當集團投入200萬元廣告費，才能使集團由廣告費而產(chǎn)生的收益最大．[例4]某集團為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調查，每年投入廣告費t(百萬元)可增加銷售額約－t2