浙江省錢塘聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022學(xué)年第二學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共6頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?學(xué)號(hào)和姓名；考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知數(shù)列滿足，則（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式可知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合首項(xiàng)求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為又因，所以.故選：C2.的展開式中的系數(shù)是（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及性質(zhì)，即可求得展開式中的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可得由多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故選：B.3.2023年4月5日是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“清明節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個(gè)青團(tuán)子，其中兩個(gè)肉餡，三個(gè)豆沙餡，王華隨機(jī)拿了兩個(gè)青團(tuán)子，若已知王華拿到的兩個(gè)青團(tuán)子為同一種餡，則這兩個(gè)青團(tuán)子都為肉餡的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)事件A為“王華拿到的兩個(gè)青團(tuán)子為同一種餡”，事件AB為“兩個(gè)青團(tuán)子都為肉餡”，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，事件AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，所以,故選：A4.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算律判斷A,B,D選項(xiàng)，根據(jù)簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)判斷C選項(xiàng).

【詳解】,A選項(xiàng)錯(cuò);,B選項(xiàng)錯(cuò);,C選項(xiàng)正確;,D選項(xiàng)錯(cuò);故選:C.5.算盤起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，是中國(guó)古代的一項(xiàng)偉大的發(fā)明.在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前，算盤是世界廣為使用的計(jì)算工具.下圖一展示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個(gè)位?十位?百位?千位，上面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如圖二，個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠?兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤的個(gè)位?十位?百位?千位?萬(wàn)位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，則表示的五位數(shù)至多含3個(gè)5的情況有（）A.10種 B.25種 C.26種 D.27種【答案】C【解析】【分析】分類情況討論結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算可得種類.

【詳解】方法一：至多含3個(gè)5，有以下四種情況：不含5，有種；含1個(gè)5，有種；含2個(gè)5，有種；含3個(gè)5，有種，所以，所有的可能情況共有種方法二：所有可能的情況有種，其中不符合條件有含有4個(gè)5，有種；含有5個(gè)5，有種；所以，所有的可能情況共有種故選：C.

6.為了預(yù)防肥胖，某校對(duì)“學(xué)生性別和喜歡吃甜食”是否有關(guān)做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡吃甜食的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡吃甜食的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡吃甜食與和性別有關(guān)，則被調(diào)查的男生人數(shù)可能是（）參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.附：A.7 B.11 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】設(shè)男生的人數(shù)為：，根據(jù)題意可列出列聯(lián)表，由公式求出，由求出的取值范圍，可得答案.【詳解】由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設(shè)男生的人數(shù)為：，由題意可列出列聯(lián)表：男生女生合計(jì)喜歡吃甜食不喜歡吃甜食合計(jì).由于有的把握認(rèn)為是否喜歡吃甜食和性別有關(guān)，所以；解得：，因?yàn)?，故的可能取值為：，即男生的人?shù)可以是：，所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C.7.已知定義在上奇函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，，則，即是偶函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不等式可化簡(jiǎn)為，即，所以，解得.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，若不等式對(duì)任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)構(gòu)造數(shù)列和等差數(shù)列定義，通項(xiàng)公式以及對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，可得，易知，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以且，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以整理得恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，舍去.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）4235銷售額y（萬(wàn)元）49263954若與線性相關(guān)，且線性回歸方程中的為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)增加1個(gè)單位時(shí)，增加約個(gè)單位C.與正相關(guān)D.若廣告費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷售額一定是萬(wàn)元【答案】ABC【解析】【分析】由于線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以求出，代入回歸方程中可求出，即可得到回歸直線方程，在一一判斷即可；【詳解】依題意，，樣本中心點(diǎn)是，則.所以線性回歸方程為，所以A正確，對(duì)于B，由，可知當(dāng)增加1個(gè)單位時(shí)，增加約個(gè)單位，所以B正確，對(duì)于C，因，所以與正相關(guān)，所以C正確，對(duì)于D，令，則，所以若廣告費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷售額大約是萬(wàn)元，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為B.若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則C.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或D.函數(shù)必有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)極大值的定義，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)?函數(shù)零點(diǎn)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，令或，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，所以有，故B正確；對(duì)于：若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，而，顯然必有兩根，則在遞減，故C錯(cuò)誤；項(xiàng)：或由于的，且所以必有2相異非零根，故必有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BD11.為了迎接杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)，某高校一學(xué)生會(huì)計(jì)劃從6男4女共10名大學(xué)生干部中，選出3男2女共5名志愿者，安排到杭州奧體中心的A，B，C，D，E五個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行志愿者活動(dòng)，每名志愿者安排去一個(gè)場(chǎng)館且不重復(fù)，其中女同學(xué)甲不能安排在A?B兩個(gè)場(chǎng)館，男乙同學(xué)不能安排在B場(chǎng)館，并且男同學(xué)丙必須被選且必須安排在場(chǎng)館，則（）A.甲?乙都不選的方案共有432種B.選甲不選乙的方案共有216種C.甲?乙都選的方案共有96種D.總的安排方案共有1440種【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，可分為四種情況：甲乙都不選、選甲不選乙、選乙不選甲和甲乙都選，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，甲乙都不選的方案共有種，所以選項(xiàng)A正確；選甲不選乙的方案共有種，所以選項(xiàng)B正確；甲乙都選，則分兩種情況：乙排或乙不排，乙排的方案共有種，乙不排的方案共有種所以甲乙都選的方案共有種，所以C正確；由總的安排為四種情況：甲乙都不選、選甲不選乙、選乙不選甲和甲乙都選，其中選乙不選甲的方案，共有種所以總方案共有種，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知函數(shù)在上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】將問題等價(jià)于在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在有唯一不為1的根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知函數(shù)在上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，等價(jià)在有兩個(gè)不同的根.，令，則，即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，令，則，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，且即，故選：BD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和公式即可求解.【詳解】根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以，解得，故答案為：.14.某單位的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過(guò)三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目的測(cè)試，如果通過(guò)兩個(gè)或三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試即可被錄用.已知甲通過(guò)每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是.若用表示甲通過(guò)測(cè)試項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，結(jié)合方差的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，隨機(jī)變量的可能的取值分別為，因?yàn)榧淄ㄟ^(guò)每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是，且每個(gè)項(xiàng)目之間相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.故答案為：.15.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，若存在，使得，則__________.【答案】11【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式，逐個(gè)計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】，逐個(gè)計(jì)算故答案為:16.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】.【解析】【分析】由，得到，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出的圖象，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得，令，可得，令，解得或或x=0當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又由時(shí)，；（左側(cè)）時(shí)，；（右側(cè)）時(shí)，；時(shí)，，且，所以函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)，即與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列基本量的計(jì)算以及等差中項(xiàng)即可求解，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可化簡(jiǎn)求值.【小問1詳解】已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，,解得，【小問2詳解】，.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）【解析】【分析】（1）求得，結(jié)合和的解集，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得到函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，可得由得或，由得，因此函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問2詳解】解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由因此，解得，所以所以函數(shù)在上的最小值是.19.2022年11月30日美國(guó)OpenAI研發(fā)的聊天機(jī)器人程序ChatGPT（全名：ChatGenerativePre-trainedTransformer）發(fā)布，再次引發(fā)了人類是否會(huì)被人工智能（AI）取代的熱議.目前為止，要機(jī)器人或人工智能系統(tǒng)完全達(dá)到人類的水平，有自發(fā)的情感和創(chuàng)造性是很難實(shí)現(xiàn)的.但在某些理性思維的領(lǐng)域機(jī)器人有著明顯的優(yōu)勢(shì)，比如國(guó)際象棋方面.某國(guó)際象棋協(xié)會(huì)組織棋手與機(jī)器人進(jìn)行國(guó)際象棋比賽，比賽規(guī)則如下：兩位棋手組隊(duì)挑戰(zhàn)，兩人各與機(jī)器人比賽一次為一輪比賽，每一輪比賽中兩人的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響.在一輪比賽中兩人都贏小組積分1分，兩人都輸小組積分-1分，兩人一贏一輸小組積分0分，兩輪比賽后計(jì)算每組得分.現(xiàn)甲?乙兩位棋手組隊(duì)向機(jī)器人發(fā)起了挑戰(zhàn)，甲贏機(jī)器人的概率為，乙贏機(jī)器人的概率為，記該小組在一輪比賽中的得分記為，在兩輪比賽中的得分為.（1）求的概率；（2）求均值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）得出隨機(jī)變量的取值為，結(jié)合，即可求解；（2）先得出隨機(jī)變量的可能取值為，結(jié)合題意求得相應(yīng)的概率，得出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，可得隨機(jī)變量的取值為，可得，，所以.【小問2詳解】解：由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，可得，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為.20.已知函數(shù).（1）若時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求在上的最小值.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值為無(wú)極小值；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求解極值，（2）由函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可求解.【小問1詳解】由題設(shè),令，，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的極大值為無(wú)極小值；【小問2詳解】，，，由于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，若時(shí)，，若時(shí)，，綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.21.在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將兩已知式聯(lián)立可以先求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；（2）首先根據(jù)要求列出關(guān)于的不等式，再根據(jù)都是正整數(shù)，即可判斷出落入內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法即可求出其前項(xiàng)的和．試題解析：（1）因?yàn)槭且粋€(gè)等差數(shù)列，，所以，即，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故．由，得，即．所以，（2）對(duì)，若，則，因此，故得，于是．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；3、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式；4、分組求和法．22.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為