高二文科數(shù)學(xué)暑期講義第9講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的簡單應(yīng)用教師版

第9講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)

一中的簡單應(yīng)用

。滿分晉級

新課標(biāo)剖析

當(dāng)前

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在近五年北京卷（文）中考查分

形勢13?18

要求層次

內(nèi)容具體要求

ABC

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過

局考三次）

要求

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的

應(yīng)用Y函數(shù)的極值、最值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）

“利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.

北京2008年2009年2010年（新課標(biāo)）2011年（新課標(biāo)）2012年（新課標(biāo)）

高考

解讀第13題5分

第18題14分第18題13分第18題13分第18題13分

第17題13分

108

9.1利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法

如果函數(shù)y=/(x)在x的某個開區(qū)間內(nèi)，總有/”(x)>0,則在這個區(qū)間上是增函數(shù);

如果函數(shù)y=/(x)在x的某個開區(qū)間內(nèi)，總有廣。)<0,則在這個區(qū)間上是減函數(shù).

【教師備案】對于函數(shù)f(x),若/'(X)>0(1(幻<0),則f(x)為增函數(shù)(減函數(shù))：反之，若f(x)為

增函數(shù)(減函數(shù))，則r(x)》0(尸(x)W0)恒成立，且尸(x)不恒等于零.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)L函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系

【教師備案】選修2-2A版教材引入方式

1.如下圖，函數(shù)圖象的切線的斜率(即導(dǎo)數(shù))的正負(fù)可以反映函數(shù)的單調(diào)性.

導(dǎo)數(shù)/'(/)表示函數(shù)/(x)在點(diǎn)(%,/(%))處的切線的斜率.在x=x0處，/'伉)>0,

切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)/(x)在X。附近單調(diào)遞增；在X=X1處，/(苔)<0,

切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)/(x)在占附近單調(diào)遞減.

2.已知導(dǎo)函數(shù)尸(x)的下列信息：

當(dāng)l<x<4時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)x<l或x>4時(shí)，f\x)<0;當(dāng)x=l或x=4時(shí)，/'(x)=0.

試畫出函數(shù)的大致形狀.

W(x)

【教師備案】選修2-2B版教材引入方式

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［x,x+Ar］上的平均變化率為電.

依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：

若包>0,則函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)；若竺<0,則函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù).

從導(dǎo)數(shù)的角度看：lim=lim/(%+Ar)~/(X)=f'(x).

若r(x)>o,則函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)；若(a)<o,則函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù).

因此我們可以用導(dǎo)數(shù)作工具來研究函數(shù)的性質(zhì).

【鋪墊】老師可以以此鋪墊給學(xué)生講解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，觀察導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

r

1ZJF

卜

/XO|X

(3)

⑴(2)

【解析】導(dǎo)函數(shù)的圖象

為：▲

工

(1)/⑵

(3)

從導(dǎo)函數(shù)的圖象我們可以看出，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于零時(shí)原函數(shù)是單調(diào)遞增的；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于零

時(shí)，原函數(shù)是單調(diào)遞減的.

【例1】★根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷原函數(shù)圖象

(2010石景山一模文理7)

己知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)((X)的圖象如右圖所示，那么函數(shù)/(X)的圖象最有可能的是(

2

ABCD

【解析】A

考點(diǎn)2：從導(dǎo)數(shù)角度解釋函數(shù)增減的快慢

【教師備案】函數(shù)圖象如圖1、2所示，由圖3、4可知，當(dāng)自變量Ar逐次增加一個單位增量Ar時(shí)，

函數(shù)g(x)的相應(yīng)增量Ay,Ay2,Ay3，…越來越大；函數(shù)/(x)的相應(yīng)增量Ay,，△為，…

越來越小.

y=fW

110

圖1圖2

圖3圖4

從導(dǎo)數(shù)的角度來看：g'（x）＞o,g'（x）為增函數(shù)；r（x）＞o,r（x）為減函數(shù).

圖象特點(diǎn)：如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得

快，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）.

如果一個函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值越來越大，那么對應(yīng)的函數(shù)圖象就越來

越陡峭.反之，就越來越平緩.

【鋪墊】如圖，水以恒速（即單位時(shí)間內(nèi)注水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分

別找出與各容器對應(yīng)的水的高度力與時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系圖象.

ABCD

【解析】以容器⑵為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以恒速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高

度增加得越來越快.反映在圖象上，（A）符合上述變化情況，同理可知其他三種容器的情

況.

⑴1B;⑵-A;⑶-D;⑷-C.

【例2】?★函數(shù)的增長速度

⑴汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路

程s看作時(shí)間/的函數(shù)，其圖象可能是（）

⑵如左圖所示，液體從球形漏斗漏入一圓柱形燒杯中，開始時(shí)漏斗中盛滿液體，經(jīng)過3分

鐘漏完，已知燒杯中液面上升的速度是一個常量，H是漏斗中液面下落的距離，則”與

下落時(shí)間r（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示可能是右圖中的（）.

【解析】⑴A

（2）D

考點(diǎn)3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【教師備案】求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

第一步：確定函數(shù)〃x）的定義域；

第二步：求r（x）,令r（x）=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根；

第三步：把函數(shù)〃x）在間斷點(diǎn)（即“X）的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小

到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)/（x）的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)

間；

第四步：確定尸（X）在各個小區(qū)間的符號，根據(jù)尸（X）的符號判斷函數(shù)“X）在每個相應(yīng)

小區(qū)間的增減性.

【注意】①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用不等式表示，必須寫成區(qū)間形式；

②當(dāng)一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個時(shí)，這些單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接，可

用“，”或“和”連接.

提高班學(xué)案1

【鋪1】確定函數(shù)〃x）=x3-3x在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？

【解析】已知函數(shù)在區(qū)間（1,+8）和（-8,-1）內(nèi)是增函數(shù)；在區(qū)間（-1,1）內(nèi)是減函數(shù).

尖子班學(xué)案1

【鋪2】已知函數(shù)/（x）=xe;求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間.

【解析】〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,-1）.

【例3】★求單調(diào)區(qū)間

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（1）/（x）=Xs-3x2-9x+5；（2）/（x）=x2-21nx.

【解析】⑴函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（TO,-1）和（3,+8）;單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,3）.

（2"（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,+8）,的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,

112

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】已知函數(shù)/（x）=￡,求函數(shù)〃x）的定義域及單調(diào)區(qū)間.

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xrl}.

/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,+oo）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,1）和（1,2）.

求函數(shù)/'（X）=21nx-ov（aGR）的單調(diào)區(qū)間.

【解析】當(dāng)々W0時(shí)，y=/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）;

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2],單調(diào)遞減區(qū)間是（2,+8）.

提高班學(xué)案2

【鋪1】若丁=以與y=-2在（0,+8）上都是減函數(shù)，對函數(shù)丫=?3+質(zhì)的單調(diào)性描述正確的是

X

（）

A.在（V，+8）上是增函數(shù)B.在（0,+8）上是增函數(shù)

C.在（YO,+8）上是減函數(shù)D.在（-8,0）上是增函數(shù)，在（0,+8）上是減函數(shù)

【解析】C

【例4】★?已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍

已知函數(shù)/（*）=也*-；,4一2.4聲0）不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求〃的取值范圍.

【追問】若改為存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍是多少.

【解析】a的取值范圍為（YO,-1].

【追問】“的取值范圍為（一1,0）（0,+oo）.

尖子班學(xué)案2

已知函數(shù)/（工）=℃二

【拓2】2-,xe（0,2],若f（x）在xe（O,l]上是增函數(shù)，則a的取值范圍

為_________

【解析】a》一1.

目標(biāo)班學(xué)案2

【拓3】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍.

【解析】a的取值范圍是[-2及，+8）.

9.2利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值與最值

知識點(diǎn)睛

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：

已知函數(shù)y=/(x),設(shè)/是定義域內(nèi)任一點(diǎn)，如果對乙附近的所有點(diǎn)x,都有/。)</(不)，則稱函

數(shù)/(%)在點(diǎn)與處取極大值,記作y極大=f(x0),并把均稱為函數(shù)/(A-)的一個極大值點(diǎn).

如果在與附近都有f(x)>f(1),則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)與處取極小值,記作y極小=/(x0).并把也稱為

函數(shù)/(x)的一個極小值點(diǎn).

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).

【教師備案】老師可以借助經(jīng)典精講中的【鋪墊】來講解函數(shù)的極值，先讓學(xué)生自己觀察，然后老師

再來總結(jié)極值，并總結(jié)極值中應(yīng)注意的方面.

我們可以從以下幾個方面理解概念：

①極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可.要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的

連續(xù)點(diǎn)取得.一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值

也可能大于另一點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系.即極大

值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小.

②函數(shù)的極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說，若

r(c)存在，r(c)=o是/(X)在x=c處取得極值的必要條件，但不是充分條件.比

如在x=0處，/'(0)=0但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以一定要注意點(diǎn)的

左右變化趨勢.

③若在區(qū)間(〃，與內(nèi)有極值，那么“X)在(〃，切內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間

上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.

④如果函數(shù)“X)在［a,可上有極值的話，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的.相鄰兩個極

大值點(diǎn)之間必有一個極小值點(diǎn)，同樣，相鄰兩個極小值點(diǎn)之間必有一個極大值點(diǎn),一

般地，當(dāng)函數(shù)在［a,句上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)/(x)在［a,以內(nèi)的極

大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.

2.求函數(shù)y=〃x)的極值的方法

⑴確定函數(shù)定義域

⑵求導(dǎo)數(shù)/'(x);

⑶求方程((x)=0的根；

⑷檢查了'(X)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么/(x)在這個根處取得極大值：如果左

負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值

【教師備案】①使r(x)無意義的點(diǎn)也要討論.即可先求出尸(x)=0的根和使尸(x)無意義的點(diǎn)，這些

點(diǎn)都稱為可疑點(diǎn)，再用定義去判斷.

②極大值點(diǎn)可以看成是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點(diǎn)，極大值是極大值點(diǎn)附近

曲線由上升到下降的過渡點(diǎn)的函數(shù)值.極小值則是極小值點(diǎn)附近曲線由下降到上升的

過渡點(diǎn)的函數(shù)值.

3.求函數(shù)y=/(x)在［a,句上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數(shù)y=/(%)在(a，6)內(nèi)的極值；

⑵將函數(shù)y=的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值八。),/伍)必，其中最大的一個是最大值,最小

的一個是最小值.

【教師備案】老師在講最值時(shí),也可以繼續(xù)以【鋪墊】為例，問學(xué)生在一個區(qū)間上的最值，并提出需

114

要注意的幾點(diǎn).

在理解函數(shù)最值時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：

①函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最

大者，最小值必是整個區(qū)間上的所有函數(shù)值中的最小者.

②函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極大值、極小值

是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的.函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極

值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值可以在端點(diǎn)取得；有極值未必有最值，有最值也未必有極

值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值：極值不一定是最值，比

如說，某位同學(xué)在班里的成績最好，可以認(rèn)為是班里的極大值，但在全校不一定是最

好的，即使在全校最好，也不一定在全國最好，所以極大值不一定是最大值，老師也

可以以此為例講解極小值不一定是最小值.

藻)經(jīng)典精

【鋪墊】如圖所示，函數(shù)y=〃x)在a,b,c,d,e,f,g,人等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有

什么大小關(guān)系？y=〃x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=〃x)的導(dǎo)數(shù)的符號

有什么規(guī)律？

【解析】以“，力兩點(diǎn)為例，我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值/(“)比它在點(diǎn)x=a附近

其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/'(")=();而且在點(diǎn)x=a附

近的左側(cè)((x)<0,右側(cè)/(x)>0.類似地，函數(shù)

)'=f(x)在點(diǎn)x=6的函數(shù)值/(〃)比它在點(diǎn)x=》附

近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/修)=0；而且在點(diǎn)》=人

附近的左側(cè)r(尤)>0,右側(cè)尸(x)<0.

其它的點(diǎn)老師可以自由發(fā)揮，隨便問學(xué)生.

考點(diǎn)4：與極值相關(guān)的圖象問題

【例5】★與極值相關(guān)的圖象問題

⑴函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)在圖示區(qū)間上

A.無極大值點(diǎn)，有四個極小值點(diǎn)

B.有三個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)

C.有兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)

D.有四個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

⑵(2010朝陽二模6)

【解析】(DC

(2)A

考點(diǎn)5：求函數(shù)的極值與最值

尖子班學(xué)案3

【鋪2】用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)/(x)=x+2的極值.

X

【解析】/(x)在x=-0時(shí)取得極大值-2&,在工=亞時(shí)，取得極小值2立.

【例6】?求函數(shù)的極值與最值

己知函數(shù)/(x)=2x3—3x2+l(xGR).

⑴求〃X)的極值；

⑵求函數(shù)/(X)在閉區(qū)間［-1<2］上的最值.

【解析】⑴,f(x)的極小值為了。)=0;極大值為"0)=1.

⑵函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［-1,2］上的最小值為-4,最大值為5.

提高班學(xué)案3

【鋪1】設(shè)函數(shù)f(x)=，1+3x+2有極值，求。的取值范圍.

【解析】〃的取值范圍為a<0.

【例7】★★已知函數(shù)存在極值，求參數(shù)范圍

設(shè)函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),若/(*)=加-#+X,aeR.

⑴用a表示:⑴；

⑵若函數(shù)在R上存在極值，求。的范圍.

【追問】若函數(shù)在R上不存在極值，則。的取值范圍是多少？

【解析】⑴/(l)=2a-2.

(2)0<a<3.

【追問】(-00,o］U［3,4-00)

目標(biāo)班學(xué)案3

116

【拓3】（2010北京卷18）設(shè)函數(shù)/（司=1寸+芯+6+"（4>0）,且方程f'（x）-9x=0的兩個根分

別為1,4.

（1）當(dāng)”=3且曲線y=/（x）過原點(diǎn)時(shí)，求“X）的解析式；

（2）若/（x）在（YO,+8）內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】⑴/（X）=X3-3X2+12X.

（2）a的取值范圍是[1,9].

右圖是導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象，試找出函數(shù)），=〃x）

的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，我們可以判斷原函數(shù)的單調(diào)性，由

此，我們可以得到，函數(shù)在x=%處取得極大值，即超

為極大值點(diǎn)；函數(shù)在x=x4處取得極大值，即匕為極小

值點(diǎn).

【點(diǎn)評】一方面，學(xué)生在看到此圖時(shí)，第一反應(yīng)會默認(rèn)為4和與分別為極值點(diǎn)，但是我們要審清題意，

這里給的是導(dǎo)函數(shù)的圖象，不是原函數(shù)的圖象，我們要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象;

另一方面，學(xué)生也會誤認(rèn)為五為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，我們從圖象上就可以看出原函數(shù)在

（工5,+8）一直是單調(diào)遞增的，所以人不是函數(shù)的極值點(diǎn).所以原函數(shù)的單調(diào)性只與導(dǎo)函數(shù)的

正負(fù)有關(guān)，與導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性無關(guān).

o實(shí)戰(zhàn)演練

【演練1】已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖象如右圖所示，那么函數(shù)“X）的圖象最有可能的

【解析】A

【演練2】向高為〃的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深/?的函數(shù)關(guān)系的圖象如左圖

所示，那么水瓶的形狀是（）.

BCD

【解析】B

【演練3】設(shè)（（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，將y=:/（x）和），=/（幻的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不