二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）（解析版）

第三部分國數(shù)

專題09二次國數(shù)的圖象與性質(zhì)(6大考點)

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

核心考點

核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

核心考點六二次函數(shù)圖象的變換

新題速遞

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命氟題鑒寬

H(2022?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題)點A(〃“，yi),BCm,y2)都在二次函數(shù)產(chǎn)(x-1)2+〃的圖象上.若

9<”，則小的取值范圍為()

33

A.m>2B.m>—C.m<\D.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)y/<y2列出關(guān)于"，的不等式即可解得答案.

【詳解】解：；點A(m-1,9)，BCm,y2)都在二次函數(shù)產(chǎn)(x-1)?+〃的圖象上，

?*.y/=(/?7-1-1)2+n=(m-2)2+n,

y2=(zn-1)2+/z,

yj<y2f

(m-2)2+n<(/77-1)?+小

:.(m-2)2-(k2-1)2<0>

即-2m+3V0,

??〃?〉一,

2

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于〃，的不等式.

甌(2021.江蘇常州.統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)>當(dāng)x>0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)

a的取值范圍是（）

A.a>0B.a>\C.awlD.a<1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開口向上，進而即可求解.

【詳解】???二次函數(shù)y=（a-l）x2的對稱軸為y軸，當(dāng)x>0時，y隨x增大而增大，

.?.二次函數(shù)y=（a-1）/的圖像開口向上，

a-1>0,即：a>\,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=/-2x-3的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于

m,則m的值為.

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線41,頂點為（1,-4）,由圖象上恰好只有三個點到x軸

的距離為〃?可得m=4.

【詳解】解：：y=x2-2x-3=（x-l）2-4,

，拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線41,頂點為（1,-4）,

.??頂點至Ijx軸的距離為4,

V函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m,

.'."2=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵.

◎命題出也

知識點：二次函數(shù)的概念及表達式

1.一般地，形如*（a,b,c是常數(shù)，a*0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

2,二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y^ax+bx^c（a,b,c為常數(shù)，a/0）.

（2）頂點式：*a（x-h）（a,h,k為常數(shù),a右0）,頂點坐標(biāo)是（九k）.

（3）交點式：），=。（X—石）（工一/），其中必，M是二次函數(shù)與X軸的交點的橫坐標(biāo)，a制.

知識點：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式二次函數(shù)*（心b,c是常數(shù)，a豐0）

h

對稱軸產(chǎn)--

2a

b4ac-b2

頂點（一，）

2a4a

a的符號3>0求0

小卡7

圖象

開口方向開口向上開口向下

當(dāng)4-2b時，當(dāng)2時，

2a2a

最值

_4ac-b2_4ac-b2

y最小值y最大值

4。4。

最點拋物線有最低點拋物線有最高點

當(dāng)晨一二b時，v隨x的增大而減??；當(dāng)當(dāng)晨一2時，y隨*的增大而增大；當(dāng)x>

2a2a

增減性

x>-2時，y隨x的增大而增大b

-一時，y隨x的增大而減小

2a2a

【變式1］（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點（0,-1）,頂點在第四象限,

記P=2a-6,則P的取值范圍是（）

A.O<P<1B.1<P<2C.0<P<2D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點（-1,0）、（0,-1）即可得到a-b=l,c=-l,再根據(jù)頂點在第四象限，即可求出。的取

值范圍，則P的取值范圍可求.

【詳解】???拋物線yX+bx+c過點（-1,0）、（0,-1）,

.??有〈,,且顯然存0,

[c=-l

a-b=\,c=-l,

將拋物線yna^+fov+c配成頂點式：y="（x+2）2+艇士，

2a4a

頂點坐標(biāo)為：J,

2a4〃

???拋物線頂點坐標(biāo)在第四象限，

>0,

2a

*/a-b-\,

A-->0,

la

解得：（Xa<l,

■:P=2a-b,a-b=\?

/.P=2a-b=a+a-b=a+1，

:（XaVl,

A1<?+1<2,

\<P<2,

故選:B.

【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的4的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵.

【變式2]（2022.浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點（0,-1）,頂點在第四象限,

記P=2a-6,則P的取值范圍是（）

1<P<2C.0cp<2D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(-1,0)、(0,-1)即可得到c=-l,再根據(jù)頂點在第四象限,即可求出。的取

值范圍,則P的取值范圍可求.

【詳解】:拋物線丫=以2+灰+。過點(-1,0)、(0,-1),

a-b+c=0

...有c=-l,且顯然"O,

a-b=\,c=-l,

將拋物線>=以2+灰+。配成頂點式：丫二儀,白尸+若盧

???頂點坐標(biāo)為：(上產(chǎn)一叭,

2a4。

???拋物線頂點坐標(biāo)在第四象限,

',-A，

a-b=1,

解得：0<?<1,

■:P=2a-b,a-b=l?

P=2a-b=a+a-b=a+1,

(XaVl,

???lVa+lV2,

\<P<2,

故選：B.

【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的“的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵.

【變式3】(2022?江蘇鹽城?濱?？h第一初級中學(xué)校考三模)如圖1,對于平面內(nèi)的點A、P,如果將線段以

繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段P8,就稱點B是點A關(guān)于點尸的“放垂點”.如圖2,已知點A（4,0）,點P

是），軸上一點，點8是點A關(guān)于點尸的“放垂點”，連接AB、OB,則08的最小值是.

【答案】2夜

【分析】①當(dāng)P點縱坐標(biāo)K）時，過點8作8C_Ly軸于C,由△8PC絲△%?？傻?c=P。，PC^AO,設(shè)OP

長度為x由兩點距離公式建立二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；②當(dāng)P點縱坐標(biāo)＜0時，過點B作

8CJ_y軸于C,同理可得08的表達式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；

【詳解】解：①當(dāng)P點縱坐標(biāo)K）時如圖，過點8作軸于C,

NCBP+NCPB=90°,ZOR\+ZCPB=90°,貝附，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PB=PA,

△2PC和△B4O中：ZPBC=ZAPO,NBCP=NPOA=90。,BP=PA,

：./\BPC^/\PAO(AAS),

：.BC=PO,PC=AO,

設(shè)。尸長度為x，貝l」PC=AO=4,BC=x,B(x,x+4)

/.OB=M+(X+4)2=j2(x+2j+8

Vx>0,

.,.x=0時OB最小，最小值為4,

②當(dāng)P點縱坐標(biāo)<0時，如圖，過點B作軸于C,

同理可得△BPCg△物O（AAS）,BC=PO,PC=AO,

設(shè)OP長度為x,則PC=AO=4,BC=x,B（-x,4-x）

*2

JOB=信+（4_力2=^2（X-2）+8

Vx>0,

x=2時OB最小，最小值為2夜,

綜上所述：。8最小值為2夜，

故答案為：2點；

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)尸點位置

分類討論是解題關(guān)鍵.

【變式4］（2022.吉林長春.?？寄M預(yù)測）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為

“互異二次函數(shù)”.如圖，在正方形。ABC中，點A（0,2）,點C（2,0）,則互異二次函數(shù)y=（x-⑼?-機與正

方形0ABe有公共點時m的最大值是

八）

A---------

［答案］止叵

2

【分析】根據(jù)拋物線頂點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系得出拋物線頂點的運動軌跡，結(jié)合正方形的位置，則可得到當(dāng)拋

物線經(jīng)過點8時,"取最大值，依此列式求解即可.

【詳解】解：二?拋物線頂點坐標(biāo)為（孫-切），

二拋物線頂點在直線產(chǎn)-x上移動，

?四邊形AO8C為正方形，點A（0,2）,點C（2,0）,

???點8坐標(biāo)為（2,2）,

解得正呼或續(xù)（舍去）,

故答案為：2m.

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)和圖象平移的特點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及

圖象平移的特點.

【變式5］（2021?湖北隨州?一模）如圖，拋物線、=?2+。”>0/<0）與x軸交于A,B兩點（點（在點A

的右側(cè)），其頂點為C,點尸為線段OC上一點，且PC=!。。.過點P作分別交拋物線于。，E

4

（1）直接寫出A,B,C三點的坐標(biāo)；（用含。，k的式子表示）

（2）猜想線段DE與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（3）若NODC=90。，k=-4,求”的值.

用°）、（m°）、（叫

【答案】（1）點4,B,C的坐標(biāo)分別為

（2）DE=^AB,理由見解析

⑶a=g

2

【分析】（1）y=ax+k=01求出x的值可得點A,8的坐標(biāo)，令x=0,求出），的值，可得點C的坐標(biāo);

（2）根據(jù)PC=!（?C求出點尸的縱坐標(biāo)，

代入解析式，求出點。，E的橫坐標(biāo)，進而求出。E的長度，再根

4

據(jù)點A,8的坐標(biāo)求出A8的長度，即可得出。E=；A3：

（3）當(dāng)％=-4時，求出OP,PC,PD,再通過導(dǎo)角證明NO￡＞尸=ZDCP,得出tanNQDP=tan"CP,進

而得出PD2=OP-PC,代入即可求解.

（1）

解：對于丫=爾+4，

令y=ax2+k=0,解得x=土，

令x=0,則y=%,

故點A,B,C的坐標(biāo)分別為卜杉,o]、（杉，°）、（°，%）；

（2）

解：DE=^-AB,理由：

2

?.?c（o,&）,點C在），軸負半軸，

...OC=-k,

：.PC=-OC^-x（-k}=--k,

44''4

13

貝|]%,=4一:左二：%,

44

故點P的坐標(biāo)為（o?’,

33.

當(dāng)y=2%時，則己攵=々？+左,

44

由點A,8的坐標(biāo)得：AB2DE,

：.DE=-AB；

2

(3)

解：當(dāng)無=-4時,

由⑴（2）知，點尸的坐標(biāo)為（0,-3）,點C的坐標(biāo)為（O,Y）,DE

AOP=3,OC=4,PC=OC-OP=4—3=1,PD=-DE=

2

NO￡>C=90°,

ZODP+ZCDP=90°,

又?/NCDP+ZDCP=90°.

:.ZODP=ZDCP,

tanZODP=tanZDCP,

.OPPD,

，?而=正，^anPD-=OPPC,

解得

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數(shù)或三角

形相似均可得出PD2=OPPC，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)y=加+%的圖象及性質(zhì).

核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

0氟題華寬

gl|（2021?廣西河池?統(tǒng)考中考真題）點（冷兇）,仁,力）均在拋物線尸/-1上，下列說法正確的是（）

C.若0cxi<%,貝1]%>%D.若芭<%<0,則

【答案】D

【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有

A.若%=%，則％=±々，原說法錯誤；

B.若玉=，則y=%，原說法錯誤；

c.若0<%<當(dāng)，則乂<必，原說法錯誤；

D.若王<々<0,則必>必，原說法正確.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

甌（2021.湖南婁底.統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)y=x?+2的圖象與反比例函數(shù)

y=W的圖象的交點的橫坐標(biāo)與所在的范圍是（）

x

111133

-氏<%-<C<<<%<

44-2-2-4-D.4--

【答案】D

【分析】在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，來判斷出交點橫坐標(biāo)與所在的范圍.

【詳解】解：在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：

當(dāng)面==3時，將其分別代入y=』+2與y=24計算得；

4x

9c4128

11616233.

4

8415c

「必一X=-----=—>0，

2131648

此時反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，

3

*-4<%<)~1

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，再通過關(guān)鍵點

得出答案.

22

甌(2020?廣西貴港?中考真題)如圖，對于拋物線x=-f+x+i,y2=-x+2x+],yi=-x+3x+],

給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點c(o,i)；②拋物線力的對稱軸可由拋物線％的對稱軸向右平移1

個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線丁=1的交點中，相鄰兩點

之間的距離相等.其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題.

2

【詳解】將C（O,1）分別代入拋物線X=-f+x+l,y2=-x+2x+\,%=--+3》+1中，可知，這三條拋

物線都經(jīng)過點C,故①正確;

拋物線％=-/+x+l的對稱軸為x=-g=g,

拋物線%=-—+3x+l的對稱軸為“=4=ax=?a可由x=］1向右平移1個單位而得到，故②正確;

拋物線y=—x2+x+i=—（x——）2+j的頂點為A（Q弓）

拋物線%=一/+2%+1-)2+2的頂點為B(1,2)

拋物線％="+3x+1=-（X-于+號的頂點為C弓芋

,_1_2_3135

3T7=53芋

----1

222

，三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤;

將y=l分別代入三條拋物線，得占=0或1,馬=0或2,工3=0或3,

可知，相鄰兩點之間的距離相等，故④正確，

綜上所述，正確的是①②④，

故選：①②④.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及將一般式化為頂點式等知識，是重要考點，難度較易，掌握

相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

厚命題線確

知識點'拋物線的三要素：開口方向'對稱軸'頂點.

①。決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)。<0時，開口向下；同相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=/z.特別地，y軸記作直線x=0.

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)。相同，那么拋物線的開口方向、開口大小

完全相同，只是頂點的位置不同.

知識點、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2

小八7、+2,(bY^ac-b.TH上日,b4ac-b\

(1)公式法：y-ax'+bx+c-ax+—+-------,..頂點是(----，--------),

2a)4a2a4a

對稱軸是直線x=-2.

2a

⑵配方法：運用配方法★魏物線的解析式化為J=a(x-h)2+k的形式，

得到頂點為(〃，Q,對稱軸是x=〃.

⑶運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋

物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★

知識點、直線與拋物線的交點

(1))，軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為(O,c)

(2)與y軸平行的直線x=〃與拋物線y+匕九+。有且只有一個交點(〃，“/J+hh+c').

⑶拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y=a/+0x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)X1、看,是對應(yīng)一元二次方程

公2+"+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與X軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點o△>0。拋物線與A-軸相交；

②有一個交點(頂點在A-軸上)oA=0。拋物線與X軸相切；

③沒有交點o△<0o拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為

k,則橫坐標(biāo)是，。2+法+，=左的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù)y=kx+〃(k豐0)的圖像/與二次函數(shù)y=a/+bx+c(a+0)的圖像G的交點，由方程組

的解的數(shù)目來確定：

y=ar?+Z?x+c

①方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點；

②方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時oI與G沒有交點.

⑹拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=aV+笈+c與x軸兩交點為A&,0),B(X2,0),由于

,bc

Xi、是方程+Z?x+c=0的兩個根，故X\+x-,--―,xi-x,=—

aa

【變式1】(2022?四川瀘州??？寄M預(yù)測)二次函數(shù)y=a/+法+。(。/0)的自變量x與函數(shù)y的部分對

應(yīng)值如下表：

X-101234

y=ax2+hx+c830-103

則這個函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)是()

A.(2,-1)B.(—1,2)C.(—1,8)D.(4,3)

【答案】A

【分析】由圖表數(shù)據(jù)可知，函數(shù)圖像與x軸的兩個交點為（1,0）和（3,0）,故可知圖像對稱軸為：x=2,即可

對照表格得出頂點坐標(biāo).

【詳解】解：:由表可知：當(dāng)x=l時，y=o；當(dāng)x=3時，y=o,即函數(shù)圖像與x軸的兩個交點為（1,0）和（3,0）,

由此可知：圖像對稱軸為：x=^=2,對照表格可知：當(dāng)x=2時，y=-l,

即頂點為（2,-1）,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)信息，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)畫出草

圖分析.

【變式2】《2022?山東日照??？家荒＃┰O(shè)A（-2,yJ,B（l,y2）,C（2,%）是拋物線y=-（x+l）2+2上的三點,

則為,X，%的大小關(guān)系為（）

A.yfB.yt>y3>y2

c.D.%>%>%

【答案】A

【分析】把點的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得y/,"，”的值，比較大小即可.

【詳解】解：：A（-2,yJ,B（l,y2）,。（2,必）是拋物線y=—（x+l）2+2上的三點，

22

y=-（-2+1尸+2=1,y2=-（l+l）+2=-2,=-（2+1）+2=-7,

Vl>-2>-7,

故選：A.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象匕點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵.

【變式3］（2021?陜西西安??？寄M預(yù)測）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)必=?/的圖

象如圖，則4,%的大小關(guān)系為?（用連接）

［答案］al>a2>a3

【分析】拋物線的開口方向和開口大小由。的值決定的，系數(shù)絕對值越大，開口越小.

【詳解】解：：拋物線開口都向上，

，二次項系數(shù)都大于0.

丁二次函數(shù)X=%/的開口最小，二次函數(shù)為=的開口最大，

/.4>%>，

故答案為：at>a2>a3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)產(chǎn)底（存0）的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握.熟練掌握拋物線開口大小

與|。|有關(guān)，間越大圖象開口越小，⑷越小圖象開口越大是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4】（2022.廣西.統(tǒng)考二模）如圖，拋物線丫=以2+法+。與x軸的一個交點A在點（-2,0）和（-1,0）

之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍是

3?

【答案】

【分析】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，當(dāng)頂點C與。點重合，可以知道頂點坐

標(biāo)為（1,3）且拋物線過（-1,0）,則它與x軸的另一個交點為（3,0）,由此可求出a；當(dāng)頂點C與尸

點重合，頂點坐標(biāo)為（3,2）且拋物線過（-2,0）,則它與x軸的另一個交點為（8,0）,由此也可求”，

然后由此可判斷“的取值范圍.

【詳解】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，

當(dāng)頂點C與。點重合，頂點坐標(biāo)為（1,3）,則拋物線解析式）=4（X-1）2+3,

”(-2-1)2+34031

由，解得

?(-1-1)2+3>0'

當(dāng)頂點C與尸點重合，頂點坐標(biāo)為（3,2）,則拋物線解析式產(chǎn)a（x-3）2+2,

?(-2-3)2+2<012

解得--<6F<--；

a(-l-3)2+2>0o

?.?頂點可以在矩形內(nèi)部，

32

，——<a<——.

425

32

故答案為：———

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式5］（2022?河南南陽?統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2-4依+2.

（1）拋物線的對稱軸為直線，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為；

（2）若當(dāng)x滿足時，y的最小值為-6,求此時），的最大值.

【答案】（l）x=2,（0,2）

42

⑵當(dāng)a>0時，），的最大值為12,當(dāng)a<0時，y的最大值為不

【分析】（1）根據(jù)對稱軸的表達式計算求值，再令戶0求得y值即可解答；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，可得x=2時），取得最小值，進而可得拋物線解析式,

由對稱軸42可得，45時y取得最大值；②當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，可得可得45時y取得最小值，

42時取得最大值，計算求值即可；

（1）

解：拋物線丫=d-45+2的對稱軸為戶-=上=2,

令x=0,則尸2,

.?.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,2）：

（2）

解：①當(dāng)a>0時，拋物線開口向上,

x=2時，y取得最小值-6,

4々一8々+2=~6,解得。=2,

???該拋物線的解析式為y=2f—8x+2,

V|5-2|>|1-2|,拋物線的對稱軸為x=2,

..?當(dāng)x=5時，y取得最大值，

y最大=2x5?-8x5+2=12；

②當(dāng)“<0時，拋物線開口向下，

V|5-2|>|1-2|,拋物線的對稱軸為戶2,

.?.當(dāng)x=5時，），取得最小值-6,

Q

25a-20a+2=-6,解得。=-,

Q09

,該拋物線的解析式為y=-|f+黃+2,

當(dāng)x=2時，y取得最大值，

8c232~"42

）齒大二—x2=H--x2+2=-

J最人555f

42

綜上所述，當(dāng)〃>0時，y的最大值為12,當(dāng)4<0時，y的最大值為彳：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，求二次函數(shù)的最值，根據(jù)”的正負分類討論

是解題關(guān)鍵.

核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

。氟題磔究

@3（2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=o?+法+。的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線

戶-1,有以下結(jié)論：①HcvO；②若r為任意實數(shù)，則有③當(dāng)圖象經(jīng)過點（1,3）時，方程

以2+法+。-3=0的兩根為不，々（不<々），則不+3々=0,其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用拋物線開□方向得到〃>0,利用拋物線的對稱軸方程得到力=2a>0,利用拋物線與），軸的交

點位置得到cVO,則可對①進行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)A-1時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數(shù)

丁=依2+/比+。與直線尸3的一個交點為（1,3）,利用對稱性得到：次函數(shù)yju'+bx+c與直線產(chǎn)3的另一

個交點為（-3,3）,從而得到x/=-3,工2=1,則可對③進行判斷.

【詳解】,?,拋物線開口向上，

JQ>0,

??,拋物線的對稱軸為直線x=-1,即1=_==—1,

2a

b=2a>0f

,/拋物線與y軸的交點在x軸下方，

c<0,

abc<0>所以①正確；

時，y有最小值，

a-b+c<at2+bt+c（f為任意實數(shù)），即a-初4。/+匕，所以②正確；

???圖象經(jīng)過點（1,3）時，代入解析式可得c=3-3a,

方程依2+法+0-3=0可化為3a=0,消a可得方程的兩根為4=-3,々=1,

?..拋物線的對稱軸為直線X=-1,

二次函數(shù)y=+bx+c與直線y=3的另一個交點為（-3,3）,

x,=-3,X2=1代入可得為+3々=0,

所以③正確.

綜上所述，正確的個數(shù)是3.

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時,

拋物線向上開口；當(dāng)“V0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)

。與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)。與b異號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋

物線與），軸交于（0,c）.

例目（2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題）己知二次函數(shù)產(chǎn)湛+法+c（q/））的部分圖象如圖所示，對稱軸為x=1,

且經(jīng)過點（-1,0）.下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點（3,>2）是拋物線上的兩點，則丫/勺2；③106-3c=0；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由對稱軸為x=|即可判斷①；根據(jù)點（3,），2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)

過點（-1,0）,得出a3c=0,對稱軸得出〃=-與，代入即可判斷③；根據(jù)：次函數(shù)的性質(zhì)

以及拋物線的對稱性即可判斷④.

【詳解】解：；對稱軸*=一二="

2a2

h=-3af

/.3tz+/?=0,①正確；

???拋物線開口向上，點到對稱軸的距離小于點（3,線）的距離，

??小勺2，故②正確；

???經(jīng)過點（-1,0）,

；?a-fe+c=0,

?.?對稱軸x=-3=1,

2a2

.1,

??〃=—b?

3

—b—b+c=0,

3

?3c=4b,

.'.4/>-3c=0,故③錯誤；

3

?.?對稱軸》=彳，

2

，點（0,c）的對稱點為（3,c）,

:開口向上，

ySc時，0勺53.故④正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2021?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=o?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，?>0）經(jīng)過（0,0）,（4,0）

兩點.則下列四個結(jié)論正確的有一（填寫序號）.

①4a+b=0；

②5a+3>2c>0；

3

③若該拋物線y^ax^+bx+c與直線y=-3有交點，則a的取值范圍是a>^

④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程加+bx+c-f=0（f為常數(shù)，r<0）的根為整數(shù)，貝h的值只有

3個.

【答案】①③④

【分析】將（0,0）,（4,0）代入拋物線表達式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個

問題.

【詳解】將（0,0）,（4,0）代入拋物線表達式，得：

（c=0\c=0

<>解何：］,

16a+4b+c=0b=—4a

二拋物線解析式為y=ax2-4ax.

①匕=Ya,則4〃+。=0,故①正確，符合題意；

②5a+3。+2c=5a+3x（—4a）=—7a,又a>0,

-7a<0,故②錯誤，不符合題意；

③若該拋物線y=a?2+6x+c與直線y=-3有交點，則有-3=a/一4ax，即一元二次方程ax?-4奴+3=0有

實數(shù)根，

則^=16a2-4ax3=a(16a-12)>0,

V?>0,

3

A16^-12>0，解得：，故③正確，符合題意;

4

④如圖，

?：一元二次方程a/+&v+c7=0。為常數(shù)，Z<0）的根為整數(shù)，

一元二次方程可化為a*=0，即拋物線>=小-4依與直線y=f（/為常數(shù)，/<0）的交點橫

坐標(biāo)為整數(shù)，如圖，則橫坐標(biāo)可為0,1.2,3,4,有3個，滿足.故④正確，滿足題意.

故答案為：①③④

【點睛】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點、各項系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)

形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

知識點、二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c的關(guān)系

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

水0開口向下

b=Q對稱軸為y軸

bab>0（3與6同號）對稱軸在y軸左側(cè)

aXO（a與6異號）對稱軸在y軸右側(cè)

c二0經(jīng)過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<Q與y軸負半軸相交

b2-4^0=0與X軸有唯一交點（頂點）

k)-4ac片-4ac>0與X軸有兩個交點

6_4HC<0與X軸沒有交點

常用公式及方法：

（1）二次函數(shù)三種表達式:

表達式頂點坐標(biāo)對稱軸

2

(b4ac-bb

一般式y(tǒng)=ax2+〃x+c12-4a)x=------

2a

頂點式y(tǒng)=Q(X-〃J2+k（〃,攵）x=h

2

f4-x2a(x1-x2)X=.+*2

交點式^=a(x-x)(x-x)12，4J

I2'—2

（2）韋達定理：若二次函數(shù)y=辦2+Ox+c圖象與x軸有兩個交點且交點坐標(biāo)為（再，0）和（％,0）,

bc

則用+々=，Xj,%2=一°

aa

（3）賦值法：在二次函數(shù)y=依2+/?尤+c中，令x=l,則丁=。+〃+。；令1=—1,則y一〃+c；

令x=2,貝I]y=4a+2Z?+c；令尢=一2,貝I]y=4a-2〃+c；利用圖象上對應(yīng)點的位置來判斷含有。、b、

c的關(guān)系式的正確性。

吩客盅期綴

【變式1]（2022.遼寧丹東??？级＃┒魏瘮?shù)尸五+法+9、b、。為常數(shù)，且"0）的工與》的部分

對應(yīng)值如下表：（其中〃>1）

有下列結(jié)論：①。>0；②4。-26+1>0；③x=-3是關(guān)于x的一元二次方程52+。_1卜+。=0的一個根；

④當(dāng)-34x4〃時，ax2+（h-\）x+c>0.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)表中x與y的部分對應(yīng)值畫出拋物線的草圖，由開口方向即可判斷①，由對稱軸x=-i可得

b=2a,代入4a—3+1可判斷②，根據(jù)直線y=x過點(-3,-3)、(〃,〃)可知直線^=%與拋物線n=涼+辰+。

交于點(-3,-3)、(〃,〃)，即可判斷③，根據(jù)直線)，=》與拋物線在坐標(biāo)系中位置可判斷④.

【詳解】解：根據(jù)表中》與〉的部分對應(yīng)值，畫圖如下：

由拋物線開口向上，得4>0,故①正確；

拋物線對稱軸為x=W=T，即-3=7，

22a

b=2a,

則4。一力+1=4。-4。+1=1>0,故②正確；

一直線y=x過點(-3,-3)、(",“)，

直線y=X與拋物線y=ar2+6x+c交于點(-3,-3)、(〃,〃),

即X=-3和X="是方程ox2+bx+c=x,即以2+(b—])x+c=0的兩個實數(shù)根，故③正確；

由圖象可知當(dāng)-34x4〃時，直線丫=》位于拋物線丫=苗2+云+。上方，

x>ax2+bx+c>

.-.ar2+(Z?-l)x+c<0,故④錯誤；

故選：B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與直線交點、一元二次方程的解，根據(jù)表中數(shù)

據(jù)畫出二次函數(shù)圖象的草圖是解題的前提，熟練掌握拋物線與直線、拋物線與一元二次方程間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

【變式2】(2022?四川廣安?統(tǒng)考二模)對稱軸為直線；1=1的拋物線》=以2+"+以4,b,c為常數(shù)，且。/0)

如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①而c<0,②從>4ac,③4a+2Z?+c>0,④3a+c>0,

⑤。+匕4機（4帆+3（機為任意實數(shù)），⑥當(dāng)x<-l時，y隨x的增大而增大.其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

【答案】A

【分析】由拋物線的開口方向判斷。的符號，由拋物線與了軸的交點判斷。的符號，結(jié)合對稱軸判斷①，然

后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況判斷②，根據(jù)對稱性求得》=2時的函數(shù)值小于0,判斷③；根據(jù)戶-1

時的函數(shù)值，結(jié)合6=-2。，代入即可判斷④，根據(jù)頂點坐標(biāo)即可判斷⑤，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷⑥.

【詳解】解：①由圖象可知：。>0,c<0,

???對稱軸為直線：x=-^-=\,

2a

：.b=-2a<0,

:.abc>0,故①錯誤；

②?..拋物線與x軸有兩個交點，

b2-4ac>Q-

b2>4ac,故②正確;

③?.?對稱軸為直線x=l,則x=0與x=2的函數(shù)值相等，

.?.當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c<0,故③錯誤；

④當(dāng)時，y=a-b+c=a-（-2a）+c>0,

：.3a+c>0,故④正確：

⑤當(dāng)x=l時，>取到最小值，此時，y=a+h+c,

而當(dāng)x=,"時，y=am2+bm+c,

Wr以a+6+c4am2+bm+c>

故a+Ha，/+勿〃，即。+方4加（卬"+匕），故⑤正確,

⑥當(dāng)x<-l時，），隨x的增大而減小，故⑥錯誤,

綜上，正確的是②④⑤共3個，

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)