高中數(shù)學-倍角公式教學設計學情分析教材分析課后反思

3【課

題】《倍角公式》【教

材】人民教育出版社B版必修四【教學目標】1.掌握倍角公式的推導，體會特殊與一般、變換、化歸的數(shù)學思想.2.能正確運用二倍角公式求值、化簡、證明.【教學重點】二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的兩種變形.【教學難點】倍角公式與學過的同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和角公式的綜合應用.【教學流程】（課堂實錄）一、回顧復習課前請學生默寫兩角和的正弦、余弦、正切公式.設計意圖：通過復習和角公式，讓學生明確差角公式（用），倍角公式（令）都是經過變換得到的.二、探索新知這節(jié)課主要圍繞三個問題：什么是二倍角公式，如何推導二倍角公式，如何應用二倍角公式？1.關于引入好的引入能激發(fā)學生學習的興趣，調動學生的積極性.參考文獻[1][2]，本節(jié)課的引入有以下幾種方法：（1）提出問題：已知、，你能求出、的值嗎？一般情況，已知、，你能求出、的值嗎？由具體的引例，在解決問題的過程中獲得公式，符合知識的生成過程，但學生可能會用幾何方法求的值，要有預設.（2）提出實際問題：要把半徑為的半圓木板截成長方形，應怎樣截取，才能使長方形面積最大？除了用倍角公式外，還有另外三種解法，配方法、對稱法、基本不等式，參見文獻[1],可能會使造成設計意圖的失落，應有預設.（3）提出問題：討論是否成立？設計意圖：設置正誤辨析，引發(fā)學生認知沖突，讓學生質疑討論，舉出反例，提出正確的結論是什么？產生強烈的求知欲.但我在試講的時候，學生是這樣回答的：在學過的和角公式中，令，得到，否定.學生很熟練的把新課二倍角的公式推導出來，沒有按照設計意圖的想法舉出反例，引發(fā)認知沖突，思考正確的結論是什么？思考其中的原因一是、問題過于簡單，很容易想到此結論不成立；二是、學生對新課的推導比較容易想出.失去了設計意圖，但公式的推導過程是由學生自己探索完成，教師只是提出問題，抓住課堂上的突發(fā)情況，若處理得當，會變成亮點.教學設計就是不斷實施不斷修改的過程，最后決定，還是從本章的知識體系，從一般到特殊、變換的思想上來進行下面的引入：2.公式推導（3個）問題1由、、如何推導出、、？還能變換出什么公式來？設計意圖：這種開放問題的引入，讓學生經歷變換的體驗，由、、，令替換推導出、、，令推導出、、，學生容易想到，也符合這一章的知識體系，由一般到特殊、變換和化歸的思想，讓學生體會到變換思想的重要性，遺憾的是，學生沒有變換到其它公式.公式推導出后，問學生還有其它的推導方式嗎？學生很容易想到分子分母同除以得到.不同的推導方法，拓展學生的思維.和學生一起分析公式的結構特點、成立的條件，特別注意系數(shù)2，留一分鐘時間讓學生記住這三個公式.練習1由，可以得出：，，，.口答(1)(2)(3)設計意圖：練習1是以練習的形式為了理解二倍角的含義，以上三個公式都是用單角的三角函數(shù)值表示的正弦、余弦、正切值，稱為二倍角公式，簡稱倍角公式.也是的兩倍，也是的兩倍，也是的兩倍，也是的兩倍，代入二倍角公式，又可以變換出很多的公式來，改成練習的形式，讓學生進一步體會變換的思想.以口答的形式讓學生逆用公式，第一個口答困難，難在特殊角的函數(shù)值口答不熟練，和誘導公式的綜合應用.3.公式的變形（升、降冪公式）（2個+5個）問題2公式還有其它的變形嗎？學生很容易想到用，得出.這兩個公式也叫二倍角公式，接著我問：還能進一步的變形嗎？設計意圖：想讓學生進一步移項變形出，然后分析“二倍角”與“二次”的關系，從左往右看，公式有角的倍數(shù)降低，伴隨著次數(shù)增加，有降“角”升“次”的特點，比較常用，叫做升冪公式.接著變形出，從左往右看，公式有角的倍數(shù)增加，伴隨著次數(shù)降低，有升“角”降“次”的特點，叫做降冪公式.這一點變形學生很難想到，設計了老師問學生回答的填空形式=,=.,.進一步也可以變形出.但有個學生是這樣變形的：分子分母同除以，得到.學生推導出來萬能公式，接著學生應該很容易想到也可以做類似的變形，得到.這是兩個非常優(yōu)美的公式，用單角的正切值去表示，以前讓學生記住，為了減輕學生負擔，現(xiàn)在不要求記憶了.大膽的提問題放手讓學生去想，最大限度地開啟學生的內在潛力與學習動力，學生能推出很漂亮的公式.公式的變形較多，給學生留兩分鐘的時間記憶公式.口答(3)(4)(5)練習2若，.設計意圖：口答是為了及時檢測、鞏固練習變形后的公式，練習2是鞏固升冪公式，從課堂上來看，學生能做對，但公式較多，課堂容量大，選擇用哪個公式不熟練，做的慢些.三、精選典型例題,鞏固練習題型一：求值例1已知，求的值.設計意圖：為了節(jié)省時間，把的值改小了，這一點與教材例1不同，二倍角公式的正用，并盡可能讓學生想到不用求，直接用也能求出，這里求也沒有用到二倍角公式，拓展學生的解題方法，靈活運用公式.展示學生的學案，大部分學生都是先求，依次求的順序，我提問學生有沒有其它的做法，有個程度較好的學生直接用求出的.教學設計是一個不斷的思考、不斷嘗試、不斷實施的過程，在錄課時我把例1又換成了已知，求的值，數(shù)值一變大，刪去了求，求值的順序是，找學生板演：生試圖利用先求出，陷于數(shù)值較大，沒順利做出來，特別是利用開方困難，實際這題先求出的值，較容易做出來.變式訓練求的值.設計意圖：公式的靈活運用，很難想到分子分母同乘以，限于時間關系，課堂上沒留太多的時間，班里也就四五個學生能做出來.題型二：證明恒等式例2證明恒等式.設計意圖：證明恒等式，實際上是消除差異的很好的訓練，引導學生從角、函數(shù)名、次數(shù)、式子的結構特點四個方面去考慮，鍛煉學生的恒等變形、代數(shù)推理、邏輯推理能力，實際此題比較難.學生板演，想到利用倍角公式分子化，分母化，然后分子分母提取公因式，證畢.由于公式較多，可選擇性大，我在觀察學生做題時分母遇到的困難有以下兩個方面：①化，分母變成化，分母變成，不知道再怎么往下化簡，實際要用到，第一個式子分母進一步變形，也可以，也可以，第二個式子分母進一步變形②化來化去，看到化為或者或者，而看到又想到利用降冪公式化成倍角，結果里面既含有又含有.分析學生出現(xiàn)的情況，一一點撥，不管用哪種方法堅持做下去，關鍵找出化不下去的原因是什么？鼓勵學生一題多解.困難正好是本節(jié)課的難點：倍角公式與學過的同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和角公式的綜合應用，為了突破難點，我按照文獻[1]中的方法，從“角”都統(tǒng)一化為單角，“函數(shù)名”右邊是切函數(shù)，左邊是弦函數(shù)，把化為，“結構”也一致，都是分式結構，“次數(shù)”右邊是一次的，左邊自然想到降次數(shù)，不能用倍角公式降次，因為降次的同時角在增大，想到因子分解（提取公因式），四個方面一一突破難點.變式訓練證明恒等式.時間關系沒有實施.錄課時學生第二遍聽了，課上進行的快，又增加了題型三：化簡研究函數(shù)的性質.例3求下列函數(shù)的最大值、最小值和周期：(1)(2)(3)(4)設計意圖：此類題型是高考的熱點、考點，先選簡單的式子，讓學生體會用倍角降冪公式化為，再用輔助角公式化為正弦型函數(shù)，再用學過的正弦型函數(shù)的性質去解題，讓學生體會化歸這一重要的數(shù)學思想.四、課堂小結知識和思想方法兩方面去總結.設計意圖：讓學生去總結，去談談自己的感受，知識方面有10個公式：5個教材上的二倍角公式，5個變形后的升、降冪公式；例1一題兩解，例2三種變形方法，從角、函數(shù)名、次數(shù)、結構四個方面考慮.思想方法：特殊與一般、變換、化歸的思想.課堂上找了兩個學生去總結，基本上能總結全面知識方面，思想方法能總結變換的思想，我問學生還有什么？由、、推導出、、，學生回答：一般與特殊，我又問還學到什么思想方法：部分學生回答轉化，我及時跟進：很好，學習了轉化與歸結，簡稱化歸的數(shù)學思想，并強調重要性.整個教學流程學生配合的很好，很多精彩的回答，“教”始終圍繞“學”來開展，以最大限度地開啟學生的內在潛力與學習動力，正如蘇霍姆林斯基所說“學校里的學習不是毫無熱情地把知識從一個頭腦里裝進另一個頭腦里，而是師生之間每時每刻都不得在進行的心靈的接觸”.五、作業(yè)布置學案上的評價題，題目較難，放在第二課時去講.參考文獻[1]“同課異構”的演繹“倍角公式”的點評，羅增儒，中學數(shù)學教學參考，2015年第1-2期（上旬）.[2]二倍角的正弦、余弦、正切公式的教學，毛渭泉，上海中學數(shù)學，2011年第3期.從學生精彩的回答，反思自身教學設計的預設與生成，提高駕馭課堂能力教學中要充分發(fā)揮學生的主體作用，“教”始終圍繞“學”來開展，以最大限度地開啟學生的內在潛力與學習動力，正如蘇霍姆林斯基所說“學校里的學習不是毫無熱情地把知識從一個頭腦里裝進另一個頭腦里，而是師生之間每時每刻都不得在進行的心靈的接觸”。1、關于倍角公式新課的引入?yún)⒖嘉墨I[1][2]中本節(jié)課引入有以下幾種方案：（1）提出問題：已知、，你能求出、的值嗎？一般情況，已知、，你能求出、的值嗎？由具體的引例，在解決問題的過程中獲得公式，符合知識的生成過程，但學生可能會用幾何方法求的值，要有預設.（2）提出實際問題：要把半徑為的半圓木板截成長方形，應怎樣截取，才能使長方形面積最大？除了用倍角公式外，還有另外三種解法，配方法、對稱法、基本不等式，參見文獻[1],可能會使造成設計意圖的失落，應有預設.（3）提出問題：討論是否成立？設計意圖：設置正誤辨析，引發(fā)學生認知沖突，讓學生質疑討論，舉出反例，提出正確的結論是什么？產生強烈的求知欲.學生精彩回答（一）：在學過的和角公式中，令，得到，否定.反思：學生很熟練的把新課二倍角的公式推導出來，沒有按照設計意圖的想法舉出反例，引發(fā)認知沖突，思考正確的結論是什么？①教師應從學生的知識結構出發(fā)，設計多種預設的方案.②及時肯定學生的做法，接著可以提出如何得到的正確結論，學生自然會想到在同樣的令，這就是今天要學習的二倍角公式，公式的推導過程是由學生自己探索完成，教師只是提出問題，抓住課堂上的突發(fā)情況，若處理得當，會變成亮點.（4）由、、如何推導出、、？還能變換出什么公式來？設計意圖：最后采用這種開放問題的引入，讓學生經歷變換的體驗，由、、，令替換推導出、、，令推導出、、，學生容易想到，也符合這一章的知識體系，由一般到特殊、變換和化歸的思想，讓學生體會到變換思想的重要性，遺憾的是，學生沒有變換到其它公式.引入要遵循知識體系、內在的結構，從學生認知的角度，盡可能多的想出更多的預設.2、公式還有其它的變形嗎？學生很容易想到用，得出.接著我問：還能進一步的變形嗎？設計意圖：想讓學生變形出.學生精彩回答（二）：分子分母同除以，得到.反思：贊嘆不已，學生推導出來萬能公式，接著學生應該很容易想到也可以做類似的變形，得到.這是兩個非常優(yōu)美的公式，用單角的正切值去表示，以前讓學生記住，為了減輕學生負擔，現(xiàn)在不要求記憶了.大膽的提問題放手讓學生去想，最大限度地開啟學生的內在潛力與學習動力，學生能推出很漂亮的公式.參考文獻[1]“同課異構”的演繹“倍角公式”的點評，羅增儒，中學數(shù)學教學參考，2015年第1-2期（上旬）.[2]二倍角的正弦、余弦、正切公式的教學，毛渭泉，上海中學數(shù)學，2011年第3期.三角變換是三角運算的靈魂與核心，它包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結構的變換等。在這一章的學習中，學生要會推導公式，靈活運用公式。一．內容包括：“和角公式”，“倍角公式和半角公式”，“三角函數(shù)的積化和差與和差化積”，和角公式3.1.1兩角和與差的余弦2課時3.1.2兩角和與差的正弦1課時3.1.3兩角和與差的正切1課時倍角公式和半角公式2.1倍角公式1課時3.2.2半角的正弦、余弦、和正切1課時3.三角函數(shù)的積化和差與和差化積1課時二．課程目標1.知識與技能目標：1）經歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，掌握用向量證明問題的方法，進一步體會向量的作用。2）能從兩角差的余弦公式推導兩角和的余弦公式，以及兩角和與差的正弦，正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他們的內在聯(lián)系。3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換，解決有關的應用問題。2.過程與方法目標：1）引導學生推導和角公式，使學生認識整個公式體系的推理和形成過程。2）讓學生進一步提高運用聯(lián)系的觀點，化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會換元思想、方程思想等在三角恒等變換的作用。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過公式的推導，了解它們內在聯(lián)系和知識的發(fā)展過程，體會一般與特殊的關系與轉化，培養(yǎng)利用聯(lián)系、變化的辯證唯物主義觀點去分析問題的能力。內容編排本章的主要內容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函數(shù)的積化和差公式與和差化積公式。為了引起學生學習本章內容的興趣，同時為了加強三角變換的實際應用，本章的開篇從一個實際問題出發(fā)，通過數(shù)學化，得到一個必須通過三角變化才能解決的數(shù)學問題，從而激發(fā)學生對本章內容的學習興趣和求知欲，全章共分三大節(jié)。第一大節(jié)，首先利用向量的方法證明了兩角差的余弦公式，接著導出兩角和的余弦公式，再利用誘導公式推出兩角和、差的正弦公式，又利用同角三角函數(shù)關系式推出兩角和、差的正切公式。第二大節(jié)，推導出倍角公式和半角公式。第三大節(jié)，推導出積化和差與和差化積公式，并通過例題講解以上各公式的應用。二、地位與作用變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一。代數(shù)變換是學生熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形不變其質的，它可以揭示那些外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內在聯(lián)系。在本章，學生將運用向量方法推導兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導出其他的三角恒等變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。通過本章學習，學生的推理能力和運算能力將得到進一步提高。三角恒等變換在數(shù)學及應用科學中應用廣泛，同時有利于發(fā)展學生的推理能力和計算能力。本章將通過三角恒等變形揭示一些問題的數(shù)學本質。三、重點與難點重點:二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的兩種變形。難點:倍角公式與學過的同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和角公式的綜合應用。我所教的班級是一所全市重點高中的學生，全班48人，學生程度較好，從上課情況來看，師生配合的很好，有很多精彩的回答，萬能公式、例1的一題多解，包括最后的總結都是學生自己總結，但也有很多困難的地方。變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一.代數(shù)變換是學生熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形不變其質的.它可以揭示那些外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內在聯(lián)系.在本冊第一章，學生接觸了同角三角函數(shù)式的變換.通過本章學習，學生的推理能力和運算能力將得到進一步的提高。本章內容三角恒等變換公式較多，三角恒等變換主要側重在變換，在學生解題時往往存在不知如何變換的問題，也就是學生不能掌握轉化的數(shù)學思想.具體表現(xiàn)在學生不知道選用哪些公式來解題，特別是公式的變形用，逆用.其次，余弦二倍角公式的變形以及降冪公式應用不夠熟練.教學重點：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的兩種變形：.教學難點：倍角公式與以前學過的同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和角公式的綜合應用. 1.化簡.2.證明下列恒等式：(1);(2);（3）.3.求函數(shù)的最大值、最小值和周期.4.已知,求的值.5.(2017浙江18題)（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間．6.圓心角為的扇形的半徑為，是弧上一點，作矩形，如圖，當點在什么位置時，這個矩形的面積最大？這時的等于多少度？3、5、6題設計意圖：此類題型是高考的熱點、考點，先選3題簡單的式子，讓學生體會用倍角降冪公式化為，再用輔助角公式化為正弦型函數(shù)，再用學過的正弦型函數(shù)的性質去解題，讓學生體會化歸這一重要的數(shù)學思想，其中6題教難，考察學生數(shù)學建模解決實際問題的能力，也是新課標的核心素養(yǎng)之一.第一組口答(1)(2)(3)以口答的形式讓學生逆用公式，第一個口答困難，難在特殊角的函數(shù)值口答不熟練，和誘導公式的綜合應用.公式的變形較多，給學生留兩分鐘的時間記憶公式.第二組口答(3)(4)(5)練習2若，.練習2是鞏固升冪公式，從課堂上來看，學生能做對，但公式較多，課堂容量大，選擇用哪個公式不熟練，做的慢些.題型一：求值例1已知，求的值.大部分學生都是先求，依次求的順序，我提問學生有沒有其它的做法，有個程度較好的學生直接用求出的.