高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)復(fù)習(xí)主要知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念與表示1.映射映射是指兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中一個(gè)集合中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著另一個(gè)集合中唯一的元素。如果這種對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足一定的條件，則可以稱為映射。映射通常用符號(hào)f:A→B表示，其中A和B分別表示兩個(gè)集合，f表示對(duì)應(yīng)的規(guī)律或函數(shù)。2.函數(shù)函數(shù)是一種特殊的映射關(guān)系，它由三個(gè)要素構(gòu)成：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域。其中，定義域是指函數(shù)的自變量可以取的值的集合，對(duì)應(yīng)法則是指函數(shù)的自變量和因變量之間的關(guān)系，值域是指函數(shù)的因變量可以取的值的集合。如果兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)要素相同，則可以認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)。二、函數(shù)的解析式與定義域1.求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)有四個(gè)：分式的分母不為零，偶次方根的被開方數(shù)不小于零，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1。根據(jù)這些依據(jù)，可以求出函數(shù)的定義域。2.求函數(shù)的定義域的兩個(gè)難點(diǎn)問題求函數(shù)的定義域時(shí)，有兩個(gè)難點(diǎn)問題。第一個(gè)問題是如何處理復(fù)合函數(shù)的定義域，需要注意復(fù)合函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)的定義域和外層函數(shù)的定義域共同決定的。第二個(gè)問題是如何處理含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，需要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)來確定函數(shù)的定義域。三、函數(shù)的值域1.求函數(shù)值域的方法求函數(shù)值域的方法有四種：直接法、換元法、判別式法和分離常數(shù)法。其中，直接法適用于簡單的復(fù)合函數(shù)，換元法適用于根式內(nèi)外皆為一次式的函數(shù)，判別式法適用于分母為二次且x∈R的分式，分離常數(shù)法適用于分子分母皆為一次式的函數(shù)（x有范圍限制時(shí)需要畫圖）。5種求函數(shù)值域的方法包括單調(diào)性法、圖象法、利用對(duì)號(hào)函數(shù)、幾何意義法和直接法。其中，二次函數(shù)必須畫草圖求其值域，含絕對(duì)值函數(shù)則可以利用幾何意義法求解。此外，函數(shù)的奇偶性也是求解函數(shù)值域的重要方法。要判斷函數(shù)的奇偶性，可以根據(jù)定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)在原點(diǎn)處取值為0。此外，奇函數(shù)與奇函數(shù)相加、偶函數(shù)與偶函數(shù)相加均為偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)相加為奇函數(shù)。舉例來說，對(duì)于一個(gè)定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈（-∞，）時(shí)，f(x)=x-x^4，則當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f(x)=-2x+b。而對(duì)于一個(gè)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)=（2+a）/（x+1），可以求出a=0，b=0。此外，若對(duì)于任意的t∈R，不等式f(t-2t)+f(2t-k)<恒成立，則k的取值范圍為(-∞，0)。另外，若奇函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，則f(5)=f(1)。在判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，需要比較函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性。在M上，如果f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，那么y=f(g(x))在M上是增函數(shù)。例如，如果f(x)是減函數(shù)，則y=f(g(x))在M上是減函數(shù)。例1：判斷函數(shù)f(x)=-x（x∈R）的單調(diào)性。該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=-1，恒小于0，因此f(x)在R上是單調(diào)遞減的。例2：函數(shù)f(x)對(duì)任意的m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1。證明：f(x)在R上是增函數(shù)；如果f(3)=4，則解不等式f(a+a-5)<2。⑴證明：設(shè)a<b，則f(b)-f(a)=f(b-a)=f((b-3)+(a-2))=f(b-3)+f(a-2)-1>1+1-1=1，因此f(x)在R上是單調(diào)遞增的。⑵由f(3)=4可得f(6)=7，因此f(a+a-5)<2化為f(2a-5)<-5，即f(2a-5)+f(7-2a)<-4。由于f(x)在R上是單調(diào)遞增的，因此f(2a-5)+f(7-2a)>f(2)+f(3)=5，因此不等式無解。例3：函數(shù)y=log(6+x-2x)/log10的單調(diào)增區(qū)間是________。由于log函數(shù)的定義域是(0,∞)，因此6+x-2x>0，解得x<6。又因?yàn)閘og函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是1/x，恒大于0，因此y=log(6+x-2x)/log10在區(qū)間(-∞,6)上是單調(diào)遞增的。例4：已知f(x)=???(3a-1)x+4a,x<1;logax,x>1。如果f(x)在(-∞,∞)上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）。由于f(x)在(-∞,∞)上是減函數(shù)，因此f'(x)在(-∞,∞)上恒小于0。當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)=3a-1<0，解得a<1/3；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)=1/(xlna)<0，解得a>1。因此a的取值范圍是(0,1)。六、函數(shù)的周期性：1.定義：如果f(x+T)=f(x)（T≠0），則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期。注意：nT也是f(x)的周期。推廣：如果f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，b-a是它的一個(gè)周期。對(duì)照記憶：f(x+a)=f(x-a)說明：f(a+x)=f(a-x)說明：周期是2af(x+a)=-f(x)；f(x+a)=f(x)說明：周期是2a例1：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為（）。由于f(x)是奇函數(shù)，因此f(6)=f(2+4)=-f(2)=f(0)=0。例2：定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(2+x)=f(2-x)，在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞減，設(shè)a=f(-1.5)，b=f(2)，c=f(5)，則a,b,c的大小順序?yàn)開____________。由于f(x)是偶函數(shù)，因此f(-1.5)=f(1.5)，a=f(1.5)；f(2)=f(0)=b；f(5)=f(-3)，因?yàn)閒(x)在[-2,0]上單調(diào)遞減，所以f(-3)>f(-2)>f(-1)>f(0)=b，因此c>f(-3)>a>b。例3：已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))，如果f(1)=2/3，則f(2005)=。由于f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))，因此f(x+4)=(1+f(x+2))/(1-f(x+2))，代入f(x+2)得f(x+4)=(1-f(x))/(1+f(x))，因此f(x+4)=-f(x)，因此f(x)是周期函數(shù)，其周期為4。因此f(2005)=f(2005-501×4)=f(1)=2/3。例4：已知f(x)是(-∞,∞)上的奇函數(shù)，f(2+x)=-f(x)，當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=x，