高考試題中統(tǒng)計問題的類型與解法

高考試題中統(tǒng)計問題的類型與解法

統(tǒng)計問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一?？梢赃@樣毫不夸張地說，高考試卷中，每卷必有統(tǒng)

計問題。從題型上看，可能是選擇題或填空題，也可能是大題，難度為中檔或低檔?？v觀近

幾年高考試卷，歸結(jié)起來統(tǒng)計問題主要包括：①隨機(jī)抽樣的基本方法；②統(tǒng)計表，統(tǒng)計圖和

統(tǒng)計指標(biāo)；③兩個隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系；④線性回歸方程及回歸分析；⑤獨立性檢驗等

幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實

際解答統(tǒng)計問題時到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確的解答問題呢？下面通過

典型例題的詳細(xì)解析來回答這個問題。

【典例1］解答下列問題：

1、為了加強(qiáng)全民愛眼意識，提高民簇健康素質(zhì)，1996年，衛(wèi)生部，教育部，團(tuán)中央等12個

部委聯(lián)合發(fā)出通知，將愛眼日活動列為國家節(jié)日之一，并確定每年的6月6日為''全國愛眼

日”，某校高二（1）班有40名學(xué)生，學(xué)號為01到40,線采用隨機(jī)數(shù)表法從該班抽取5名學(xué)

生參加“全國愛眼日”宣傳活動，己知隨機(jī)數(shù)表中第六行至第七行的各數(shù)如下：

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

若從隨機(jī)數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第5名學(xué)生的學(xué)號是（）（成都市2021

高三零診）

A17B23C35D37

【解析】

【考點】①隨機(jī)數(shù)表法抽樣的定義與性質(zhì)；②隨機(jī)數(shù)表法抽樣的基本方法。

【解題思路】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法抽樣的性質(zhì)和隨機(jī)數(shù)表法抽樣的基本方法，結(jié)合問題條件確定

出第5名學(xué)生的學(xué)號就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?抽樣是從隨機(jī)數(shù)表第6行第9列的數(shù)開始向右讀，.?.第1名學(xué)生的學(xué)號為39,

第2名學(xué)生的學(xué)號為17,第3名學(xué)生的學(xué)號為37,第4名學(xué)生的學(xué)號為23,第5名學(xué)生的學(xué)

號為35,nC錯誤，，選C。

2、某中學(xué)有高中生1500人，初中生1000人，為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽

樣的方法從高中學(xué)生和初中學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，若樣本中高中學(xué)生恰有30人，

則n的值為（）（成都市2020高三二診）

A20B50C40D60

【解析】

【考點】①樣本容量定義與性質(zhì)；②分層抽樣定義與性質(zhì)；③分層抽樣各層抽樣數(shù)的計算公

式及運用；④計算分層抽樣各層抽樣數(shù)的基本方法。

【解題思路】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，運用分層抽樣各層抽樣數(shù)的計算公式，結(jié)合問題條件得

到關(guān)于n的方程，求解方程求出樣本容量n的值就可得出選項。

15001500+1000

【詳細(xì)解答】??T500+1000n=30,，n=1500x30=50,=B正確，，選B。

3、下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣方法的是（）

A在某年明信片的銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號

碼的后四位為2700的為三等獎；B某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30

分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；C某學(xué)校分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2

人，14人，4人了解對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見；D用抽簽的方法從10件從產(chǎn)品中抽取3件進(jìn)行

質(zhì)量檢驗。

【解析】

【知識點】①簡單隨機(jī)抽樣的定義與性質(zhì)；②簡單隨機(jī)抽樣的基本方法。

【解題思路】運用簡單隨機(jī)抽樣的性質(zhì)和簡單隨機(jī)抽樣的基本方法，對各選項進(jìn)行判斷就可

得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?對A,在100萬張明信片中，后四位為2700的明信片每一萬張中就有一張，

屬于系統(tǒng)抽樣，，A不正確；?.?對B,在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，

屬于等距抽樣，，B不正確；?.?對C,分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，

4人屬于分層抽樣，；.C不正確；?.?對D,用抽簽的方法從10件從產(chǎn)品中抽取3件符合簡單

隨機(jī)抽樣的特征，；.D正確，即選D。

4、某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2------

840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落在區(qū)間[481,720]的人數(shù)為（）

A11B12C13D14

【解析】

【知識點】①系統(tǒng)抽樣的定義與性質(zhì)；②系統(tǒng)抽樣的基本方法。

【解題思路】運用系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)和系統(tǒng)抽樣的基本方法，確定出k的值，再確定[481,720]

含k的個數(shù)就可得出選項。

【詳細(xì)解答】vk=^=20,720~46Q=36-23=13,編號落在區(qū)間[481,720]的人數(shù)為

4220

13人，=C正確，，選C。

5、將參加夏令營的600名學(xué)生編號為001,002,——，600,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個

容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003,這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300

在第I營區(qū)，從301到495在第n營區(qū)，從496到600在第IH營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)

依次為（）

A26,16,8B25,17,8C25,16,9D24,17,9

【解析】

【知識點】①系統(tǒng)抽樣的定義與性質(zhì)；②系統(tǒng)抽樣的基本方法。

【解題思路】運用系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)和系統(tǒng)抽樣的基本方法，確定出k的值，再確定區(qū)間[001,

300],[301,485],[496,600],分別含k的個數(shù)就可得出選項。

，田田地田.600300

【詳細(xì)解答】—~=n,——=25495-300*3,6。。-495=8+2,三個營區(qū)

501212121212

被抽取的人數(shù)分別為25人，17人，8人，=8正確，.?.選B。

6、某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加，為調(diào)查該地區(qū)某

種野生動物的數(shù)量，將其分為面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法

抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（七，%）（i=l,2,——，20）,其中匕和3分

20

別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位:公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得：工玉二60,

/=i

20202020

Z%=1200,苫（芭-君2=80,Z（%-9）2=9000,WA-君（必-y）=800。

/=1i=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動

物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

(2)求樣本(xi,yQ(i=l,2,,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地

區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由（2020

全國高考新課標(biāo)IDO

20

附：相關(guān)系數(shù)r=「-,V2?1.414.

乞（—運（州一刃2

V/=1/=1

【解析】

【考點】①統(tǒng)計數(shù)據(jù)平均數(shù)的定義與求法；②求統(tǒng)計估計值的基本方法；③相關(guān)系數(shù)的定義

與基本求法；④隨機(jī)抽樣的定義與性質(zhì)；⑤給定抽樣對象，確定抽樣方法的基本方法。

【解題思路】（1）運用求統(tǒng)計數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件求出樣本的平均數(shù)，根

據(jù)統(tǒng)計估計值的基本方法就可求出該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值；（2）運用求相關(guān)系

數(shù)的基本方法和公式通過運算就可求出樣本的相關(guān)系數(shù)；（3）依據(jù)研究對象的特征，利用確

定抽樣方法的基本方法就可作出選擇。

【詳細(xì)解答】（1）:程=60,￡=60x200=12000（支），該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的

20

Z（x,-幻（必一歹）

800272

估計值為12000支;i=l------?0.94；

rio2o

￡（—這（,—刃2780x90003

/=!/=1

（3）.?.各地塊間植物覆蓋面積差異很大，.?.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，根據(jù)分層抽樣的特征，應(yīng)該采用分層抽樣的簡單隨機(jī)抽樣方法。

7、為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi)A,B,C三類行業(yè)共200

個單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進(jìn)行了考核評估，考評分?jǐn)?shù)達(dá)到80分及其以上的單位被稱為“星

級”環(huán)保單位，未達(dá)到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位，現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得

了這三類行業(yè)的20個單位,其考評分?jǐn)?shù)如下:

A類行業(yè)85,82,77,78,83,87；

B類行業(yè)76,67,80,85,79,81；

C類行業(yè)87,88,76,86,75,84,90,82o

（1）試估算著三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個數(shù)；

（2）若在A行業(yè)抽樣的這6個單位中，隨機(jī)選取3個單位進(jìn)行交流發(fā)言，求選出的3個單位

中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的概率（2020成都市高三零診）

【解析】

【考點】①分層抽樣的定義與性質(zhì)；②求統(tǒng)計估計值的基本方法；③古典概率的定義與基本

求法。

【解題思路】（1）運用分層抽樣的性質(zhì)和分層抽樣各層抽樣數(shù)計算的基本方法，結(jié)合問題條

件通過運算就可得出各類行業(yè)的單位個數(shù)；（2）（理）根據(jù)組合數(shù)計算的基本方法和古典概率

的基本求法，結(jié)合問題條件通過運算就可得出所求概率；（文）根據(jù)畫樹狀圖基本方法和古典

概率的基本求法，結(jié)合問題條件通過運算就可得出所求概率。

20

【詳細(xì)解答】設(shè)A,B,C三類行業(yè)的單位個數(shù)分別為〃2即，々，.??￡LX〃A=6,

200

2002020020200

H—6x---=60；*.*----xn=6,n=6x----=60；---xYI=8,n=8x----=80,

a420200RR20200Cr20

；.A,B,C三類行業(yè)的單位個數(shù)分別為60,60,80；（2）（理）設(shè)選出的3個單位中既有“星

級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的事件為D,?.?在A類行業(yè)抽樣的這6個單位中,

6x5x4

隨機(jī)選取3個單位的基本事件數(shù)n=C：==20,選出的3個單位中既有“星級”環(huán)保

3x2x1

單位，又有“非星級”環(huán)保單位的基本事件數(shù)111=仁.《+=4xl4+x=3x2=4+12=16,

2x1

ni164

.'.P（D）=-=—=-?（文）設(shè)選出的3個單位中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”

n205

環(huán)保單位的事件為D,A類行業(yè)的6個單位分別為A1,A3,A"4,人，?.?在A類

行業(yè)抽樣的這6個單位中，隨機(jī)選取3個單位的基本事件數(shù)n為：4A4,A,AA4,

AA?4,A〕A24,AA3A4,AA34,

A4A6,4A44,444,444,A2A3A4,4A34,A2A34,A2A4

AA44,A244,A3AlA,A3A44,A344,A444共20個，選出的3個單

位中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的基本事件數(shù)m為：aA24,4AA4,

AAA4,4A34,AA34,AA44,A144,A24A4,A2A34,A2A34,

4A5，A?A4,A3A4，A3A4?A3A5A共16個,

工思考問題1J

（1）【典例1】概率與統(tǒng)計中隨機(jī)抽樣基本方法的綜合問題，解答這類問題需要理解古典概率,

隨機(jī)抽樣的定義，了解隨機(jī)抽樣中各種抽樣方法的特征與適用范圍，掌握求古典概率和各種

隨機(jī)抽樣的基本方法；

（2）求某個事件的概率，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概率的計算公式通過運算就可求出某個事

件的概率；

（3）運用抽簽法必須注意兩個基本條件：①抽簽是否方便，②號簽是否容易攪勻，一般地當(dāng)

總體容量和樣本容量較小時可以采用抽簽法；

（4）運用隨機(jī)數(shù)時，若遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可以選擇隨機(jī)數(shù)表中某行某列的數(shù)字計起，每

三個（或四個）作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或重復(fù)號碼舍去；

（5）系統(tǒng)抽樣的特征是：①總體容量較大，②樣本容量較大，③總體中各個個體之間沒有明

顯的差異，④每個個體被抽到的可能性相等；

（6）系統(tǒng)抽樣的基本方法是：①將總體中的個體進(jìn)行統(tǒng)一編號，②把總體平均分成若干個部

分（若總體容量不能被樣本容量整除時，可以將總體隨機(jī)剔除幾個個體來確定分段間隔），③

在第一個部分用簡單隨機(jī)抽樣的方法確定開始的個體編號x,④按照每一組的個體數(shù)確定個體

之間相隔的距離抽取樣本；

(7)分層抽樣的特征是：①總體容量較大，②總體由幾個個體差異明顯的部分構(gòu)成;

該層個體數(shù)

(8)各層樣本單位數(shù)的確定可按公式：某層抽取的樣本數(shù)=x樣本數(shù)，通過計

總體個體數(shù)

算來確定。

【典例2］解答下列問題：

1、為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)

查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()(2021全國高考甲卷)

A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D根據(jù)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【解析】

【考點】①頻率分布直方圖的定義與性質(zhì)；②頻率的定義與基本求法；③統(tǒng)計估計的基本方

法；④平均數(shù)計算公式及運用。

【解題思路】根據(jù)樣頻率分布直方圖的性質(zhì)和求頻率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出該

地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶，低于10.5萬元的農(nóng)戶和介于4.5萬元至8.5萬元之

間的農(nóng)戶的頻率，運用計算平均數(shù)的公式求出該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值，利用統(tǒng)計估計

的基本方法就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為(0.02+0.04)xl

=0.06,A正確；?.?該地農(nóng)戶家庭年收入低于10.5萬元的農(nóng)戶比率(0.02+0.04+

0.1x3+0.14+0.20x2)x1=0.90,，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為

1-0.90=0.10,即B正確；?.?該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為0.02x(3+12+13+14)+0.04x

(4+11)+0.10x(5+9+10)+0.14x6+0.20x(7+8)=7.68>6.5,.1C錯誤，=C結(jié)論不正確,

...選C。

2、有一組樣本數(shù)據(jù)為，x2,---,x?,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,%，——，為，

其中y=x,-+c(i=l,2,――,n),c為非零常數(shù)，則()(2021全國高考新高考D

A兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【解析】

【考點】①樣本定義與性質(zhì)；②樣本平均數(shù)定義與性質(zhì)；③樣本中位數(shù)定義與性質(zhì)；④樣本

標(biāo)準(zhǔn)差定義與性質(zhì)；⑤樣本極差定義與性質(zhì)；⑥求一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差

的基本方法。

【解題思路】根據(jù)樣本，樣本平均數(shù)，樣本中位數(shù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本極差的性質(zhì)，運用求

一組數(shù)據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出兩個樣本數(shù)據(jù)

的平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?樣本數(shù)據(jù)再，x2------Z的平均數(shù)亍=，+芍++/，新樣本

n

皿卬AA-T7XA.—X+C+Z+C^------------+0———

數(shù)據(jù)月,為，----，y〃的平均數(shù)y=--------z-----------------------=x+c,xwy,

n

一.A錯誤；?.?樣本數(shù)據(jù)為，x2,----,相的中位數(shù)x中與新樣本數(shù)據(jù)％,y2,-----，%的

中位數(shù)二%+c,尢中wx中+c,「.B錯誤；?.?樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，x2,----，x”的標(biāo)準(zhǔn)差

￡（七一?。?

Z（M-9了

2=1上--------，新樣本數(shù)據(jù)%,為，%的標(biāo)準(zhǔn)差叫尸V上七——

n

22(X,.+C-X-C)2Z(%_亍)2

上--------=<7,,.1C正確；?.?樣本數(shù)據(jù)西，X2，——，X”的極

=\n

差二”極大-尤極小，新樣本數(shù)據(jù)y,,y2,---->y?的極=>極大7極小=》極大+c-x極小-c=x極大-x極小，

二D正確，=C,D正確，.?.選C,Do

3、下列統(tǒng)計量中，能度量樣本演，--一，招的離散程度的是（）

A樣本內(nèi)，/，——，居的標(biāo)準(zhǔn)差B樣本芯，x2,——，x”的中位數(shù)

C樣本玉，x2,----,x”的極差D樣本X1,x2,----,x”的平均數(shù)

【解析】

【考點】①樣本定義與性質(zhì)；②樣本平均數(shù)定義與性質(zhì)；③樣本中位數(shù)定義與性質(zhì)；④樣本

標(biāo)準(zhǔn)差定義與性質(zhì)；⑤樣本極差定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)樣本，樣本平均數(shù)，樣本中位數(shù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本極差的性質(zhì)，確定出

能夠度量樣本數(shù)據(jù)玉，與，--…，居離散程度的統(tǒng)計指標(biāo)就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?樣本王，4，%的標(biāo)準(zhǔn)差反映的是樣本%，/，X“的離散程

度，樣本須，與，-一一，%的中位數(shù)反映的是樣本再，%2,--一，龍”的集中趨勢，樣本演，

x2,---,X”的極差反映的是樣本X,x2,----,X”的離散程度，樣本再，x2,----,xn

的平均數(shù)反映的是樣本須，/，——，X”的集中趨勢，=>A,C正確，.,.選A,Co

4、甲乙兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機(jī)床每天出的次品數(shù)分別是：豆，耳分

別表示甲乙

甲0102203121

乙2211121101

兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，S「S2分別表示甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差，則下列選項正確的是（）（成都

市2021高三一診）

A豆=耳，S]>S?BJ,>x,,S,>52C<I,,S,<S2D豆>豆，S1<S2

【解析】

【考點】①平均數(shù)的定義與性質(zhì)；②方差的定義與性質(zhì)；③求平均數(shù)的基本方法；④求方差

的基本方法。

【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，運用求平均數(shù)和方差的基本方法，結(jié)合問題條件分

別求出司，可，s/s2的值就可得出選項。

0+1+0+2+2+0+3+1+2+4

【詳細(xì)解答】???司==1.5（:件）,

10

2+2+1+1+1+2+1+1+0+1

10

=1.2（件），?,X]>X,,

02.25+0.25+2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+6.25

?S1=-------------------------------------------------------------=1.75,

110

。0.64+0.64+0.04+0.04+0.04+0.64+0.04+0.04+1.44+0.04。。

==0.36,,,3>3）,

21012

nB正確，二選B。

5、某市環(huán)境保護(hù)局公布了該市A,B兩個景區(qū)2014年至2020年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天

數(shù)的數(shù)據(jù)，現(xiàn)根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確

的是（）（成都市2021高三三診）

A景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為98B景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中

位數(shù)為283C分別記景區(qū)A,B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為叫，m2,則網(wǎng)〉加2

D分別記景區(qū)A,B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為電，52,則電

“16丁”棒，??，*

*'KA???***

【解析】

【考點】①極差的定義與性質(zhì)；②確定統(tǒng)計數(shù)據(jù)極差的基本方法；③中位數(shù)的定義與性質(zhì)；

④確定統(tǒng)計數(shù)據(jù)中位數(shù)的基本方法；⑤眾數(shù)的定義與性質(zhì)；⑥確定統(tǒng)計數(shù)據(jù)眾數(shù)的基本方法;

⑦標(biāo)準(zhǔn)差的定義與性質(zhì)；⑧求統(tǒng)計數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的基本方法。

【解題思路】根據(jù)極差，中位數(shù)，眾數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和確定的基本方法分別確定景區(qū)A,景

區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差，中位數(shù)，眾數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為320-200=120498,A錯誤，

???景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為280H283,：.B錯誤，?.?分別記景區(qū)A,B

這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為網(wǎng)，m2,〃71=260,m2=260,班=機(jī)2，C錯誤，?/

從折線圖可知景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的波動性比景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天

數(shù)的波動性大，??.若分別記景區(qū)A,B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為》,$2,則》>52,

=>D正確，.?.選D。

4

6、(理)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為P],p2,py,p4,且

/=1

則下列四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

=

AP1—P4—0.1,P2~P3BP1—P4—0.4Jp?-P30.1

CP]=P4=S2,P2二，3二0,3DP]=P4p?—p?=0.2

(文)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)無I,%,----,%的方差為0.01,則數(shù)據(jù)107,10x2,-----10

的方差為()(2020全國高考新課標(biāo)III)

A0.01B0.1C1D10

【解析】

【考點】①樣本平均數(shù)定義與性質(zhì)；②求樣本平均數(shù)的基本方法；③樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義與性質(zhì)；

④求樣本標(biāo)準(zhǔn)差的基本方法。

【解題思路】(理)根據(jù)樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和求樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的基本方法，

結(jié)合問題條件分別求出數(shù)據(jù)0,p2,P3,P4的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較得出標(biāo)準(zhǔn)差最大

的一組數(shù)據(jù)就可得出選項。(文)根據(jù)樣本平均數(shù)，方差的性質(zhì)和求樣本平均數(shù)，方差的基

本方法，結(jié)合問題條件求出數(shù)據(jù)10玉，IO%，-----10x”的方差就可得出選項。

【詳細(xì)解答】(理)對A,歐=°」x(1+4)+0.4x(2+3)=2.5,

〃=J(1-2.5。x0.1+(2-2.5)2x0.4+(3-2.5『x0.4+(4-2.5尸x0.1=7(165；對B,

,?,弓=0.4x(1+4)+0.1x(2+3)=2.5,

2222

sB=7(1-2.5)X0.4+(2-2.5)x0.1+(3-2.5)x0.1+(4-2.5)x0.4=VL85；對C,

?.,元=0.2x(1+4)+0.3x(2+3)=2.5,

22222

5C=--5)x0.2+(2-2.5)X0.3+(3-2.5)x0.3+(4-2.5)x0.2=VL05，對D,

vxo=0.3x(1+4)+0.2x(2+3)=2.5,

2222

sD=yl(l-2.5)x0.3+(2-2.5)x0.2+(3-2.5)x0.2+(4-2.5)x0.3=V145,

?.?S8>S〃>SC>SA，，B組數(shù)據(jù)對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大，=B正確，.?.選B。(文)?.?數(shù)據(jù)

,X.的平均數(shù)元=方差

n

2(JV]—I)2+(4—x)2+-+07)=0.01,r.數(shù)據(jù)10再，10%,,-------,10x?

n

〃▼”“”一10(x.+xH----------------+x“)_―乂

的平均數(shù)再二---!----0-----------------=10x,方差

n

222

2100r(%,-X)+(X2-X)+----------+(X?-X)l2…

5,=——L--------------------------------------------------------------=L=1005-=100X0.01=1,=c正確,

n

...選c。

7、如圖，是某賽季甲，乙兩名籃球運動員9場比賽甲乙

所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（）（2008

20成都市高三零診）A甲所得分?jǐn)?shù)的極差為22B75111268

乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18C兩人所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)相42202022

等D甲所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)低于乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)3231

【解析】

【考點】①莖葉圖的定義與性質(zhì)；②極差的定義與求法；③中位數(shù)的定義與求法；④眾數(shù)的

定義與求法；⑤平均數(shù)的定義與求法。

【解題思路】運用莖葉圖的性質(zhì)，結(jié)合問題條件分別求出甲所得分?jǐn)?shù)的極差，乙所得分?jǐn)?shù)的

中位數(shù)，甲，乙所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)就可得出選項。

【詳細(xì)解答】?.?甲所得分?jǐn)?shù)的極差為33-11=22,.??A正確；???乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18,，B

正確；?.?甲，乙所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)分別為22,22,；.C正確；?.?甲，乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)分別

為

11+15+17+20+22+22+24+32+33

尤甲=---------------------------------------------------------?21.8,

9

8+11+12+16+18+20+22+22+31

?17.8,21.8>17.8,=D錯誤，

9

選Do

8、某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類”的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得

分都在［50,

100］內(nèi),按得分分成5組：［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］,得到如

圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)得分的中位數(shù)為（）（2020成都市高三一診）

A72.5B75C77.5D80

【解析】

【考點】①頻率的定義與性質(zhì)；②統(tǒng)計條形圖的定義與運用；③中位數(shù)的定義及組局?jǐn)?shù)列中

位數(shù)的基本求法。

【解題思路】根據(jù)中位數(shù)的定義和組距數(shù)列中位數(shù)的基本求法，先確定中位數(shù)所在的組，再

運用中位數(shù)就是使頻率為0.5的數(shù)的特征求出中位數(shù)。

【詳細(xì)解答】?.?分?jǐn)?shù)在［50,70）的頻率=（0.010+0.030）x10=0.4<0.5,分?jǐn)?shù)在［50,80）的

頻率=（0.010+0.030+0.040）xl0=0.7>0.5,.?.中位數(shù)在［70,80）這一組內(nèi),設(shè)中位數(shù)為70+x,

?/0.4+0.040x=0.5,Ax=-^-=2.5,n這100名同學(xué)得分的中位數(shù)為70+2.5=72.5（分）

0.040

=A正確，.?.選A。

1、某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一

臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別為亍和了，樣本方差分別記為

s；和s；。

（1）求元，y,s；,s；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果歹-522

『+4則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯

著提高）（2021全國高考乙卷）。

【解析】

【考點】①樣本平均數(shù)的定義與性質(zhì)；②樣本方差的定義與性質(zhì)；③求樣本平均數(shù)的基本方

法；④求樣本方差的基本求法。

【解題思路】（1）根據(jù)樣本平均數(shù)，方差的性質(zhì)和求樣本平均數(shù)，方差的基本方法，結(jié)合問

題條件通過運算就可求出無，歹，S：,的值：（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果分別求出尸-亍和

/22

2J包產(chǎn)值，通過比較就可得出結(jié)論。

，、小小電忖、/、-9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7

［詳細(xì)解答］（1）x=------------------------------------------------------------=10,

10

_10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=----------------------------------------------------------------=10.3,

10

20.04+0.09+0+0.04+0.01+0.04+0+0.01+0.04+0.09八…

5,=------------------------------------------------------------=0.036，

10

20.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04___________

s；=----------------------------------------------------------------=0.04；（2）-y-x

10

0360

=10.3-10.0=0.03,25；乜=2x^0-+-°￡=2x7（X0076=V0.0304<J0.09=0.3,

???能夠認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

2、（理）甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽

前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者

下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被

淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束。

經(jīng)抽簽，甲，乙首先比賽，丙輪空。設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為L。

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率。

（文）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,1）四個

等級，加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品，B級品，C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元,

20元，對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元，該廠有甲，乙兩個分廠可承接加工業(yè)

務(wù)，甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件，廠家決定由哪個分廠承

接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCI)等級ABCD

頻數(shù)40202020頻數(shù)28173421

（1）分別估計甲，乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

（2）分別求甲，乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選

哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？（2020全國高考新課標(biāo)I）

【解析】

【考點】①古典概率的定義與基本求法；②頻率的定義與基本求法；③統(tǒng)計估計值的基本方

法；④統(tǒng)計數(shù)據(jù)平均數(shù)的定義與基本求法。

【解題思路】（理）（1）運用求古典概率中相互獨立事件同時發(fā)生概率的基本方法，結(jié)合問題

條件通過運算就可求出甲連勝四場的概率；（2）運用求古典概率中相互獨立事件同時發(fā)生和

互斥事件恰有一個發(fā)生概率的基本方法，結(jié)合問題條件通過運算就可求出需要進(jìn)行第五場比

賽的概率；（3）運用求古典概率中相互獨立事件同時發(fā)生和互斥事恰有一個發(fā)生概率的基本

方法，結(jié)合問題條件通過運算就可求出丙最終獲勝的概率。（文）（1）運用求頻率的基本方

法，結(jié)合問題條件分別求出甲，乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的頻率，從而就可分

別估計甲，乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；（2）運用統(tǒng)計數(shù)據(jù)平均數(shù)的基本

求法，結(jié)合問題條件分別求出甲，乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，

利用計算結(jié)果就可作出選擇。

【詳細(xì)解答】（理）（1）設(shè)甲連勝四場的事件為A,???每場比賽甲獲勝的概率為'，；.

2

P（A）=（-）4=—.（2）設(shè)需要進(jìn)行第五場比賽的事件為B,??.每場比賽甲，乙，丙獲勝的

概率都為L：.P（B）=C；xd）5+d）4=^-+,=L（3）設(shè)丙最終獲勝的事件為C,.??每

22216168

場比賽甲，乙，丙獲勝的概率都為L：.p（C）=1-1--工1=3。（文）???甲分廠加工出來

161684

的一件產(chǎn)品為A級品的頻率=---=0.4,乙1加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的頻率=----

=0.28，，估計甲，乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率分別為0.4,0.28；（2）

...焉=90x40+50x20+20x20-50x20-25x1。。=""-（亓）

90x28+50x17+20x34-50x21-20x1001000

=10（元），務(wù)》功,.,.以平均利

潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)。

3、某公司為加強(qiáng)對銷售員的考核與管理，從銷售部門隨機(jī)抽取了2019年度某一銷售小組的

月均銷售額，該小組各組員2019年度的月均銷售額（單位：萬元）分別為：3.35,3.35,3.38,

3.41,3.43,3.44,3.46,3.48,3.51,3.54,3.56,3.56,3.57,3.59,3.60,3.64,3.64,3.67,3.70,

3.70（2020成都市高三三診）。

（1）根據(jù)公司人力資源部門的要求，若月均銷售額超過3.52萬元的組員不低于全組人數(shù)的

65%,則對該銷售小組給予獎勵，否則不予獎勵，判斷該公司是否需要對抽取的銷售小組發(fā)放

獎勵；

（2）（理）在該銷售小組中，已知月均銷售額最高的5名銷售員中有一名的月均銷售額造假,

為找出月均銷售額造假的組員，現(xiàn)決定請專業(yè)機(jī)構(gòu)對這5名銷售員的月均銷售額逐一進(jìn)行審

核，直到能確定出造假組員為止，設(shè)審核次數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（文）從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員，求選取的2名

組員中至少有1名月均銷售額超過3.68萬元的概率。

【解析】

【考點】①求百分?jǐn)?shù)的基本方法；②隨機(jī)變量概率分布列的定義與求法；③隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期

望的定義與求法；④古典概率的定義性質(zhì)；⑤求古典概率的基本方法。

【解題思路】（1）結(jié)合問題條件確定出該組組員銷售額不低于平均數(shù)的人數(shù)，根據(jù)求百分?jǐn)?shù)

的基本方法求出該組組員銷售額不低于平均數(shù)的百分?jǐn)?shù)就可作出判斷；（2）（理）運用求隨

機(jī)變量概率分布列的基本方法求出隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)分布列利用求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期

望的基本方法通過運算就可求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；（文）運用求古典概率的基本方法通

過運算就可求出從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員至少有

1名月均銷售額超過3.68萬元的概率。

【詳細(xì)解答】（1）該小組組員中有11名組員銷售額超過3.52萬元，.?.月均銷售額超過

3.52萬元的百分?jǐn)?shù)為：Uxl00%=55%,??.55%<65%,.?.該公司不需要對抽取的銷售小組發(fā)

20

C'1

放獎勵；（2）（理）：隨機(jī)變量X的可能取值為：1,2,3,4,P（X=1）=T=—,

C5

clc'1C：C；p(x=4)=C\2

P(X=2)=N.2」，P(X=3)m.--=—，

c\C\5C\5

隨機(jī)變量X的分布列為:X1234

1112

P____

5555

111214

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=1x—1-2x—h3x—F4x—=—；（文）該小組組員中有5名組員

55555

銷售額超過3.6萬元，設(shè)從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組

員至少有1名月均銷售額超過3.68萬元的事件為A,組員銷售額超過3.6萬元但沒有超過3.68

萬元的組員分別為用，B2,反，組員銷售額超過3.68萬元的組員分別為C，C2,

從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員的基本事件有g(shù)B,,

BjB3,B]G，B,C2,B2B3,B2cI，82c2,83G，B3c2,6。2共1。個，從該銷

售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員，至少有1名月均銷售額超過

3.68萬元的基本事件有51孰，BC，B?C],B2c2，質(zhì)6，B3C2,共7個，，P

7

(A)=一，即從該銷售小組月均銷售額超過3.60萬元的銷售員中隨機(jī)抽取2名組員至少有

10

7

1名月均銷售額超過3.68萬元的概率為—o

10

「思考問題2」

(1)【典例2】是概率與統(tǒng)計中的統(tǒng)計表，統(tǒng)計圖和統(tǒng)計指標(biāo)相關(guān)綜合問題，解答這類問題需

要理解古典概率，統(tǒng)計表，莖葉圖，頻率分布直方圖，平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的定義，掌握

求古典概率的基本方法，莖葉圖