自控理論第一第四章第二章

第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本章提綱第一節(jié)導(dǎo)論第二節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程第三節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第四節(jié)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖第五節(jié)應(yīng)用MATLAB控制系統(tǒng)仿真小結(jié)本章提要

描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，叫做系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實際存在的系統(tǒng)的動態(tài)性能都可以通過數(shù)學(xué)模型來描述（例如微

分方程、傳遞函數(shù)等）?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型關(guān)系到對系統(tǒng)性能的分析結(jié)果，所以建立合理的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析中最重要的事情。本章將對系統(tǒng)和元件數(shù)學(xué)模型的建立、傳遞函數(shù)的概念、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的建立及簡化等內(nèi)容加以論述。第一節(jié)導(dǎo)論數(shù)學(xué)模型有動態(tài)模型與靜態(tài)模型之分?？刂葡到y(tǒng)的動態(tài)模型，即線性定常微分方程，分析系統(tǒng)的動態(tài)特性。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時，必須：全面了解系統(tǒng)的特性，確定研究目的以及準(zhǔn)確性要求，決定能否忽略一些次要因素而使系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型簡化。根據(jù)所應(yīng)用的系統(tǒng)分析方法，建立相應(yīng)形式的數(shù)學(xué)模型，有時還要考慮便于計算機求解。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有兩條途徑：第一種途徑是采用演繹的方法建立數(shù)學(xué)模型。第二種途徑是根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，通過測量所得到的大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第二節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的運動狀態(tài)和動態(tài)性能可由微分方程式描述，微分方程式就是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟如下：在條件許可下適當(dāng)簡化，忽略一些次要因素。根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出元件的原始方程式。列出原始方程式中中間變量與其它因素的關(guān)系式。這種關(guān)系式可能是數(shù)學(xué)方程式，或是曲線圖。將上述關(guān)系式代入原始方程式，消去中間變量，就得元件的輸入輸出關(guān)系方程式。求出其它元件的方程式。從所有元件的方程式中消去中間變量，最后得系統(tǒng)的輸入輸出微分方程式。一、微分方程式的建立（一）彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)圖2-1表示一個彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)。當(dāng)外力f(t)作用時，系統(tǒng)產(chǎn)生位移y(t)，要求寫出系統(tǒng)在外力f(t)作用下的運動方程式。f(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出。列出的步驟如下：運動部件質(zhì)量用M表示.列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有：圖2-1

彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)d2

y式中f

1(t)——阻尼器阻力；f

2(t)——彈簧力。（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，找出它們與其它因素的關(guān)系。阻尼器阻力與運動方向相反，與運動速度成正比，故有：f

(t)

-

f1

(t)

-

f2

(t)

=

M

dt

2

(2.1)(2.2)1dtf

(t)

=

B

dy(t)(2.3)式中B

——

阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧為線性彈簧，則有：f2

(t)

=

Ky(t)式中K——彈性系數(shù)。（4）將式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系統(tǒng)的微分方程式:d2

y(t)

dy(t)Mdt

2

dt式中M、B、K均為常數(shù)，此機械位移系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。式(2.4)還可寫成:+

B

+

Ky(t)

=

f

(t)(2.4)(2.4a)1M

d2

y(t)

B

dy(t)K

dt

2

+

K

dt+

y(t)

=

f

(t)KBTK=

B2MTM

=

K則有(2.4b)21d2

y(t)dy(t)TMdt

2dt+TB+

y(t)

=

f

(t)K令TB和TM是圖2-1所示系統(tǒng)的時間常數(shù)。1/K為該系統(tǒng)的傳遞系數(shù)，它的意義是：靜止時系統(tǒng)的輸出與輸入之比。列寫微分方程式時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項列寫在方程式左端，輸入項列寫在右端。由于一般物理系統(tǒng)

均有質(zhì)量、慣性或儲能元件，左端的導(dǎo)數(shù)階次總比右端的高。（二）R-L-C電路圖2-2所示R-L-C電路中，R、L、C均為常值，

ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路。要求列出uc(t)與ur(t)的方程關(guān)系式。(2.5)rdtL

di

+

Ri

+

1idt

=

u

(t)C

圖2-2

R-L-C電路（1）根據(jù)克?；舴蚨煽蓪懗鲈挤匠淌剑海?）式中i是中間變量，它與輸出uc(t)有如下關(guān)系：(2.6)cu

(t)

=

1

idtC

（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中間變量i后，便得輸入輸出微分方程式：d

2

u

(t

)

du

(t

)dt

2dtLC

c

+

RC

c

+

uc(t

)

=

ur

(t

)或(2.8)(2.7）式中T1=L/R，T2=RC為電路的兩個時間常數(shù)。當(dāng)t的單位為秒時，它們的單位也為秒。圖2-2電路的傳遞系數(shù)為1。式(2.7)或式(2.8)是線性定常系統(tǒng)二階微分方程式，式中左端導(dǎo)數(shù)項最高階次為2。du

c

(t

)dt+

uc

(t

)

=

ur

(t

)+

T

22dtT

1

T

2d

2

u

c

(

t

)（(三）直流電動機1.1.電樞控制的直流電動機(a)線路原理圖

(b)結(jié)構(gòu)圖圖2-3

電樞電壓控制的直流電動機磁場固定不變（激磁電流If=常數(shù)），用電樞電壓來控制的直流電動機。控制輸入為電樞電壓ua

，輸出軸角位移

q或角速度w

為輸出，負載轉(zhuǎn)矩ML變化為主要擾動。求輸入與輸出關(guān)系微分方程式。不計電樞反應(yīng)、渦流效應(yīng)和磁滯影響；當(dāng)If為常值時，磁場不變，電機繞組溫度在瞬變過程中不變。列寫原始方程式。首先根據(jù)克希霍夫定律寫出電樞回路方程式如下：aaadiLdt+

Rai

+

Kew

=

u式中La——電樞回路總電感（亨）；Ra——電樞回路總電阻（歐）；Ke——電勢系數(shù)（伏/弧度/秒）；w

——電動機角速度（弧度/秒），；ua——電樞電壓（伏）；ia

——電樞電流（安)。(2.9)又根據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)定律，可寫運動方程式式中J——轉(zhuǎn)動部分轉(zhuǎn)動慣量（公斤·米2）；ML——電動機軸上負載轉(zhuǎn)矩（牛頓·米）；Md——電動機轉(zhuǎn)矩（牛頓·米）。（3）Md和ia是中間變量。電動機轉(zhuǎn)矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，磁通恒定，有:L

ddtJ

dw

+

M

=

MMd

=

Kmia(2.10)(2.11)式中Km——電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)（牛頓·米/安）。（4）將式(2.11)代入式(2.10)，并與式(2.9)聯(lián)立求解，整理后得：1e

me

me

e

me

mRL

dMK

K

dt2K

K

dtKK

KK

K

dtL

J

d2wR

J

dw

a

+

a

+w

=ua

-

a

ML

-

a

L1eT T

T

dMdt

2

dt

KJ

J

dtd2wdw+Tm

+w

=ua

-

m

ML

-

a m

L

或

TaTm(2.12)(2.13)mTa

——電動機電樞回路時間常數(shù)，一般要比Tm小，e

mRa

J

（秒）；式中

T

——機電時間常數(shù)，TmK

K=aaaLRT

=（秒）。式(2.13)是電樞電壓控制的直流電動機微分方程式。其輸入為電樞電壓ua，輸出為角速度w，負載轉(zhuǎn)矩ML擾動輸入。ML變化會使w隨之變化，對電動機的正常工作產(chǎn)生影響。若輸出為電動機的轉(zhuǎn)角q

，則按式(2.13)有:式(2.14)是一個3階線性定常微分方程。eT

T

dMTaTmdt3

dt

2

dt

K

JJ

dtd3q

d2q

dq

1

T+Tm

+

=ua

-

m

ML

-

a m

L

（2.14）二、非線性方程的線性化幾乎所有元件或系統(tǒng)的運動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運動來說，把這些關(guān)系看作是線性關(guān)系，是不會產(chǎn)生很大誤差的。方程式一經(jīng)線性化，就可以應(yīng)用迭加原理。研究非線性系統(tǒng)在某一工作點（平衡點）附近的性能，（如圖2-10，x0為平衡點，受到擾動后，x(t)偏離x0，產(chǎn)生Δx(t)，Δx(t)的變化過程，表征系統(tǒng)在x0附近的性能），可用下述的線性化方法得到的線性模型代替非線性模型來描述系統(tǒng)：圖2-10

小偏差過程磁場控制的直流電動機。電樞電壓ua為常值，輸出為w

，控制輸入為uf

。研究它的小偏差過程，例如控制輸入uf改變一個微量Δuf引起的變化過程。以下是如何求出電動機輸出輸入偏量的線性化微分方程式。（1）對激磁電路有：（2）找出中間變量j與其它變量的關(guān)系，同時線性化。小偏差過程可用以下辦法使之線性化。設(shè)在平衡點的鄰域內(nèi)，j

對if的各階導(dǎo)數(shù)（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒級數(shù)：0022

n0

ffnfdi2!

difn!

difdj

1

d2j

1

dnj0

f

n+1(

)

(Di

)

+

Rj

=

j

+(

)

Di

+

(

)

(Di

)

++(2.38)(2.39)f

f

fdtR

i

+

dj

=

udj

d2j…

dif

dif)0

,(

2

)0

,流，(式中Rn+1為余項，j0和if

0

為原平衡點的磁鏈和激磁電…為原平衡點處的一階、二階、…導(dǎo)數(shù)，(2.40)Δif

=if

-

if

0為激磁電流的偏量。式(2.39)右端第三項及其以后的各項均可忽略不計，式(2.39)變?yōu)椋篸if原平衡點是已知的，故djj

=

j0

+( )0

Dif(2.41)0fdi(

dj

)可由電動機的飽和曲線求得，如圖2-11。圖2-11

L'

的求取f0

ffdi(

dj

)=

tana

=

L

'(2.42)稱為動態(tài)電感，它為常值，在不同平衡點有不同的值。因此式(2.41)可寫為：j

=

j0

+

L

'

f

DiffL'(2.43)或fDj

=

j

-j0

=

L

'

f

Di在平衡點附近，經(jīng)過線性化處理（忽略偏量的高次項）后，激磁回路偏量間具有線性關(guān)系了。偏差愈小，這個關(guān)系愈準(zhǔn)確。（3）求以偏量表示的微分方程式，即線性化方程式。將uf

=

u

f

0+Δu

f，j

=j

0+L′

Δi

，i

=

i

+Δi

代入式'0df

f